dicotomie

Feuil3 Feuil2 Feuil1 Méthode de dichotomie et suites adjacentes. Théorème des valeurs intermédiaires.   On considère une fonction continue sur un intervalle I = [a ; b] et vérifiant f(a)f(b) < 0 donc s’annulant pour une valeur a de cet intervalle. On construit une suite d’intervalles « emboîtés » In = [an ; bn], tels que an ou bn soit le milieu de l’intervalle précédent In-1 et contenant la racine a. L’un des intérêts de cette étude est que les deux suites sont construites à partir d’une condition « si…alors » et non par une formule algébrique simple.     ·        Initialisation : a1 et b1. (ce choix dépend d’une étude préalable prouvant l’existence d’une racine unique sur l’intervalle [a1 ; b1]) ·        Itération : Il semble difficile de faire les élèves prouver la construction de deux suites adjacentes à partir de cet algorithme général. On peut simplifier les démonstrations en faisant une hypothèse supplémentaire : f est croissante strictement sur [a ; b]. ·        Initialisation :  on choisi a1 et b1 tels que f(a1)< 0 et f(b1) > 0.       (ce choix dépend d’une étude préalable prouvant l’existence d’une racine unique a sur l’intervalle [a1 ; b1]) ·        Itération : ·        Et on recommence cette opération dans l’intervalle [a2 ; b2], et ainsi de suite… On construit ainsi deux suites adjacentes qui convergent vers la solution a de l’équation  f(x) = 0 et une suite d’intervalles emboîtés. En ce qui concerne les démonstrations : ·        Par récurrence : 1.      Pour tout entier n, an<0 et bn>0. 2.      La suite (an) est croissante (non strictement). 3.      La suite (bn) est décroissante (non strictement). 4.      Pour tout entier naturel n : 5.      Pour tout entier n : Ces résultats prouvent que les deux suites construites sont adjacentes et convergent vers a ·        La fin de la démonstration nécessite la continuité de f en a.