math

МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2 ПОРЯДКА Матрицы и их виды. Опр. Матрицей размера (m x n) называется прямоугольная таблица чисел вида (1) Числа , …, - элементы матрицы. В записи (1) индексы элемента указывают: первый индекс - номер его строки, а второй – номер столбца. Так, – элемент 2-ой строки и 3-го столбца. Коротко равенство (1) записывают в виде . (m x n)- матрица имеет строк и столбцов. При матрица называется квадратной, а число – её порядком. Примеры. , (2) – (2х3) матрица (2 строки и 3 столбца); её элементы , … – квадратная (2х2) матрица, т.е. матрица 2-го порядка. (1 x n) матрица называется матрица-строка, (m x 1) – матрица-столбец. Матрицы равны, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны. Пример. , если a =1, b =2, c =5, d = –1. У квадратной матрицы элементы , , …, образуют главную диагональ. Другая диагональ называется побочной. У последней матрицы главную диагональ образуют элементы 1 и -1, а побочную 2 и 5. Квадратная матрица называется: треугольной, если все элементы над (или под) главной диагональю равны 0 диагональной, если все элементы вне главной диагонали равны 0. единичной, если все элементы на главной диагонали равны 1, а вне этой диагонали равны 0. Обозначение: или (- порядок матрицы). Примеры. , ,, треугольная диагональная единичные Опр. Транспонированной к матрице А называется матрица , строки которой являются столбцами матрицы А (и наоборот). Пример. . Сложение матриц и умножение на число. Опр. Чтобы сложить матрицы одинакового размера, надо сложить их соответствующие элементы. Пример. . Аналогично определяется вычитание матриц (опять-таки, одинакового размера). Опр. Нулевой называется матрица О, все элементы которой равны 0. Для любой матрицы , , если и – одинакового размера. Опр. Чтобы умножить матрицу на число, надо все её элементы умножить на это число. Пример. . Умножение матриц Сначала определим умножение одной строки на один столбец. Строка на столбец умножается поэлементно; получается число = . Отметим, что число элементов строки и столбца одинаково (равно ). Пусть А – (m x n)- матрица, – (n x p)- матрица. Опр. Произведением матрицы на матрицу называется матрица , у которой элемент равен произведению ой строки в на ый столбец в . Примеры. , Поэтому, вообще говоря, для матриц . Кроме того, умножение матриц определено лишь тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго. Например, для матриц А и В (формула (2)) произведение ВА определено, а АВ – нет. При умножении единичная матрица играет ту же роль, что и 1 для чисел, а нулевая матрица – ту же роль, что и 0 для чисел: – число А – матрица если эти произведения определены. Упражнение. Найти матрицы 2-го порядка А и В такие, что АВ=О, но , . Итак, произведение матриц (в отличие от чисел): не обладает свойством перестановочности не всегда определено может быть равно О, даже если оба сомножителя не равны О. В остальном умножение матриц имеет те же свойства, что и умножение чисел. Например, , если все эти произведения определены. Определители 2-го порядка. Каждой квадратной матрице сопоставляется число, обозначаемое , и называемое определителем (детерминантом) этой матрицы. Определитель матрицы 1-го порядка (т.е. числа) и есть это число. Определитель матрицы 2-го порядка: . Примеры. , . Свойства определителя. Определитель не меняется при транспонировании матрицы: = Пример: и Следствие. Любое свойство определителя остается верным при замене слова «строка» словом «столбец» (и наоборот). Общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя: . Пример: Определитель, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю: Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны, то её определитель равен 0: В частности, если две строки (столбца) матрицы равны, то её определитель равен 0. Пример. , т.к. строки пропорциональны (впрочем, столбцы тоже). При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак: = . Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов: . Определитель не меняется при прибавлении к одной строке другой, умноженной на число: . (умножили 1-ю строку на и прибавили ко второй). Примеры. , . ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Разложение определителя по элементам строки (столбца). Пусть A – квадратная матрица, – её элемент. Опр. Алгебраическим дополнением элемента называется число , умноженное на определитель матрицы, полученной из А вычеркиванием строки и столбца, в которых стоит . Обозначение: – алгебраическое дополнение элемента . Множитель проще определить по таблице , в которой + означает 1, а – означает –1. Пример 1. Теорема 1. а) Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения: (3) Это называется разложением определителя по элементам -ой строки. б) Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равна 0. Как и раньше, слово «строка» можно заменить словом «столбец». Пример 1 (продолжение). Найдем определитель матрицы разложением: по 1-й строке: , по 2-й строке: , по 3-му столбцу: Утверждение а) позволяет вычислять определители любого порядка. Для них верны свойства 1)-8), перечисленные ранее. Например, , т.к. определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Следствие. Для единичной матрицы E (любого порядка) . Определитель легче вычислять разложением по элементам той строки (или столбца), в которой имеется много нулей. Такие нули можно создавать, прибавляя к одной строке (столбцу) другую, умноженную на число (свво 7) определителей). Пример 2. . (умножили 1-ю строку на –2 и прибавили ко 2-й; умножили 1ю строку на –4 и прибавили к 3-й).