Ecuaciones y desigualdades lineales en una variable Prof. Anneliesse Sánchez Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico en Arecibo Objetivos de esta lección: Saber si un número es solución o no de una ecuación Hallar la solución de una ecuación lineal Resolver ecuaciones lineales con fracciones Reconocer desigualdades lineales Determinar si un valor es parte de la solución de una desigualdad lineal Resolver desigualdades lineales Representar la solución de una desigualdad en notación de intervalo y gráficamente. Definir lo que es una fórmula. Conocer distintas fórmulas. Despejar fórmulas. Sitio: Cursos en Línea de la UPRA Curso: MATE3004-10-I Desarrollo de Destrezas Básicas en Matemáticas Libro: Ecuaciones y desigualdades lineales en una variable Imprimido por: Anneliesse Sánchez Zambrana Fecha: Monday, 27 de September de 2010, 22:13 Tabla de contenidos ● 1 Ecuaciones lineales en una variable ○ 1.1 Cómo resolver una ecuación lineal ○ 1.2 Ecuaciones con variables a ambos lados ○ 1.3 Ecuaciones que tienen fracciones ● 2 Desigualdades lineales ○ 2.1 Soluciones de una desigualdad ○ 2.2 Desigualdades dobles ● 3 Fórmulas ○ 3.1 Redondear 1 Ecuaciones lineales en una variable Definición Una ecuación es una oración que expresa la igualdad entre dos expresiones algebraicas. Esto es, expresión algebraica = expresión algebraica Ejemplos: 3x – 6 = 8x + 4log x – 2x5x3 – 5x = 2x + 5 2x – 5 = 5x + 1 Tipos de ecuaciones Lo que tienen en común todos los ejemplos anteriores es el signo de igualdad. Hay diferentes tipos de ecuaciones. Las hay logarítmicas, racionales, polinomiales (lineales, cuadráticas, cúbicas, etc.), con radicales, exponenciales, etc. Las que estudiaremos en esta sección son las ecuaciones lineales. Ecuaciones lineales Una ecuación es lineal, si las expresiones a ambos lados del signo de igualdad son polinomios de grado 1 ó 0, donde por lo menos uno de ellos es de grado 1. Ejemplo: 2x + 3 = 8 (a la izquierda grado 1; a la derecha grado 0) -4 = 6(2x – 5) + 3 (a la izquierda grado 0; a la derecha grado 1) 2(x+3) = 7x -2 (a la izquierda grado 1; a la derecha grado 1) Solución de una ecuación La solución de una ecuación, es el valor de la variable que la hace cierta. Ejemplo 1: Determine si x = 2 es solución de: 4x – 1 = 6x + 2 Sustituimos 2 en la x y tenemos: 4(2) – 1 = 6(2) + 2 8 -1 = 12 + 2 7 = 14 falso Por lo tanto concluimos que x=2 NO es solución de la ecuación 4x – 1 = 6x + 2. Ejemplo 2: Determine si x = -1 es solución de: 3x – 1 = 6x + 2 Sustituimos -1 en la x y tenemos: 3(-1) – 1 = 6(-1) + 2 -3 -1 = -6 + 2 -4 = -4 cierto. Por lo tanto concluimos que x=-1 SÍ es solución de la ecuación 3x – 1 = 6x + 2. Ejemplo 3: ¿Es 3 solución de 2x – 4 = 6x + 2? Veamos:2(3) – 4 = 6(3) + 2 6 – 4 = 18 + 2 2 = 20 Esto es falso. Por eso concluimos que 3 no es solución de la ecuación. 1.1 Cómo resolver una ecuación lineal Ecuación como balance Recordemos primero, que el signo de igualdad nos indica un balance entre dos expresiones. Para mantener ese balance, si hacemos algo a un lado, hay que hacer lo mismo al otro lado de la ecuación. si no, se rompe el balance… y ya no tenemos ecuación… La ecuación nos dice que dos expresiones son iguales. Si las cambiamos, tenemos que cambiarlas ambas de la misma manera para que sigan siendo iguales. Resolver una ecuación Para resolver una ecuación, tenemos que transformar la ecuación en una equivalente, pero más sencilla. Lo más sencillo que puede estar una ecuación es con la variable sola a un lado y un valor al otro lado. Para lograr escribir una ecuación como una equivalente pero más sencilla, lo que tenemos que hacer es manipular ambos lados de la ecuación utilizando un principio básico. Podemos sumar, restar, multiplicar y dividir por cualquier número distinto de cero a ambos lados de la ecuación y la ecuación que obtendremos será equivalente. Resolver ecuaciones sencillas Suponga que tiene la siguiente ecuación: x + 5 = 8 Si restamos 5 a ambos lados tenemos: x + 5 -5 = 8 -5 x = 3 Por lo tanto 3 es la solución de la ecuación. Note que si sustituimos 3 en la variable de la ecuación original, tenemos una oración cierta. Método para resolver ecuaciones Para resolver una ecuación, debemos hacer lo posible para dejar la variable sola a un lado de la ecuación. Para esto, debemos efectuar las operaciones inversas a las operaciones de la variable. En el ejemplo anterior, notaron que restamos 5 a ambos lados porque a la x se le estaba sumando un 5. Por lo tanto, para eliminar ese 5 sumado, tenemos que restar 5. Si lo hacemos en un lado, tenemos que hacerlo en el otro. Otro ejemplo:En este caso, como la y está dividida entre 4, para dejar la y sola tenemos que multiplicar por 4 a ambos lados. (multiplicación es la operación inversa a división) 4( ) = 4(3) y = 12 Note que si sustituye 12 en la variable original, tendrá una oración cierta. Más ejemplos Use siempre la operación inversa. A veces hay varias operaciones que debe efectuar. El orden en que lo haga, es importante. Ejemplo: 3x -4 = 5 En este caso, a la x se le está multiplicando por 3 y también se le está restando 4. Aunque podemos deshacernos del 3 primero, dividiendo entre 3, recuerde que tendría que dividir ambos lados entre 3. En ese caso tendría: y tendría que trabajar con fracciones. Puede hacerlo. Sin embargo, si se deshace del 4 primero, sumando 4 a ambos lados pues el 4 está restado, tenemos: 3x -4 + 4 = 5 + 4 3x = 9 Ahora divide entre 3 a ambos lados (pues el 3 está multiplicado) y tenemos: x = x = 3 El orden más conveniente Aunque cualquier orden al despejar una ecuación "funciona", si no comete errores, hay un orden que resulta más conveniente. Para saber cuál es este orden, note cual es el orden de las operaciones que tendría que seguir si estuviera sustituyendo la variable por un número. Para despejar, utilice el orden inverso. Ejemplo: 4(x -3) + 2 = 5 Si va a sustituir, el orden de las operaciones sería:1) restar 3 2) multiplicar por 4 3) sumar 2 Para despejar, utilice el orden inverso con las operaciones inversas. 1) restar 2 2) dividir entre 4 3) sumar 3 Veamos: 4(x -3) + 2 = 5 4(x -3) + 2 -2 = 5 -2 4(x -3) = 3 x = 15/4 ó x = 3.75 Más conveniente aún Más conveniente aún resulta simplificar antes de resolver una ecuación. En el ejemplo anterior: 4(x -3) + 2 = 5 si simplificamos primero tenemos: 4x -12 + 2 = 5 4x -10 = 5 Ahora, el orden de las operaciones al sustituir sería: multiplicar por 4 restar 10 El orden inverso de las operaciones inversas sería: sumar 10 dividir entre 4 4x -10 = 5 4x -10 + 10 = 5 + 10 4x = 15 x = 15/4 Resumen Para resolver una ecuación, simplifíquela lo más posible primero, y luego efectúe las operaciones inversas en el orden inverso al que corresponde si estuviera sustituyendo la variable. Si le piden que responda en decimal, utilice dos lugares decimales y revise las reglas de redondeo. Recuerde que un entero también es decimal. Si la respuesta tiene menos de 2 lugares decimales después del punto decimal, use los digitos que tenga. Ejemplos: 4.375 se escribe como 4.38 -2.432 se escribe como -2.43 5.1 se escribe como 5.1 4 se escribe como 4 Otro ejemplo 3(x -1) + 5x -2(x + 3) = 6 Simplificamos primero: 3x -3 + 5x -2x -6 = 6 6x -9 = 6 Ahora sumamos 9: 6x -9 + 9 = 6 + 9 6x = 15 Ahora dividimos entre 6: x = 15/6 x = 2.5 1.2 Ecuaciones con variables a ambos lados Las variables representan números, por lo tanto, se pueden sumar o restar a ambos lados de la ecuación para simplificarlas de manera que podamos encontrar su solución. Queremos la variable en un solo lado Para poder resolver una ecuación, debemos tener la variable en un solo lado de la ecuación. Por eso, si la variable aparece en ambos lados, lo sumamos o restamos de uno de ellos para que solo esté en un solo lado. Ejemplo: 5x + 3 = 2x -5 Para poder despejar, debemos tener la x en un solo lado. Por esto, restamos de cualquiera de los lados el término que tenga variable. 5x + 3 -2x = 2x -5 -2x Ahora simplificamos: 3x + 3 = -5 Ahora restamos 3: 3x + 3 -3 = -5 -3 y simplificamos: 3x = -8 Ahora dividimos entre 3: x = -8/3x = -2.67 Ejemplo 2: 5(3x -4) + 7 = 4 -2(5x -3) Primero debemos simplificar: 15x -20 + 7 = 4 -10x + 6 15x -13 = 10 -10x Ahora sumamos 10x: 15x -13 + 10x = 10 -10x + 10x y simplificamos: 25x -13 = 10 Ahora sumamos 13: 25x = 23 y finalmente dividimos entre 25: x = 23/25 x = 0.92 Debe hacer la práctica 2-1 (P2-1).