Ejemplo : Ejemplo p=17, q=19, y el número que queremos encriptar es M=123.
Ejemplo : Ejemplo First, let's choose the primes that form the foundation of our scheme, p and q: p = 17 and q = 19
By multiplying p and q, we get our modulus, N: N = 17 × 19 = 323
Now, we find T by subtracting 1 from both p and q and multiplying: T = (p-1) × (q-1) = (16) × (18) = 288
Next, we can select the encryption key, the public key, e, so that it has no common factors with 288. Let's let e = 11.
To find the decryption key, d, we need a number that, multiplied by e, gives a product that is congruent to 1 mod 288. Expressed mathematically, we need to find a number d such that:
11 × d = 1 + n(288)
Using trial and error, we find that 131 works because 11 × 131 = 1 + 5(288).
So, our public key is N = 323 and e = 11.
The private key is d = 131.
If someone wants to send us the message "ABC" securely, using this scheme, we tell them N and e. They first convert "ABC" to "123" and then do the following arithmetic:
123e = (123)11 mod 323 = 81
The sender could then send the message, "81," over a public line of communication with confidence.
To decrypt the code, "81," we can use N and d as follows:
81d = (81)131 mod 323 = 123
The message "81" becomes "123" after decryption, which we can then easily convert to "ABC," which was the intended message.
Notice that in order to break this scheme, a hacker would have to find the two numbers that when multiplied together yield 323. The square root of 323 is a little less than 18, so they would have to try a maximum of 7 divisors before they would be guaranteed to break the modulus into the original primes that were used to find the public and private keys. Using a computer, this would not be difficult, so real RSA encryption uses numbers that are sufficiently large so that even the fastest computers would take longer than a human lifespan to factor them. It is upon this foundation, the difficulty of factoring products of two large prime numbers, that modern data encryption rests.
Ecuación de Pell : Ecuación de Pell x²-Dy²=1
con D entero, pero no cuadrado perfecto
Ejemplo : Ejemplo x²-2y²=1
Encontrar dos soluciones.
Estan relacionadas estas dos soluciones?
Podemos producir más soluciones?
Supongamos que tenemos una solución (x,y). ¿Podemos producir mas soluciones a partir de esta? (1²=1)
¿Tenemos todas las posibles soluciones?
Teorema : Teorema Si (x,y) es la solución mas pequeña, podemos producir todas las otras soluciones a partir de esta. (Descenso infinito).
x(n)+vDy(n)=(x(1)+vDy(1))^n
x(n)-vDy(n)=(x(1)-vDy(1))^n
Ejercicio : Ejercicio Asuma que tiene l monedas. ¿Cuáles son los tres valores mas pequeños de l tales que puede acomodar las monedas tanto como un triángulo equilátero y como un cuadrado?
Ejercicio : Ejercicio Resuelva (x+1)³-x³=y² en los enteros positivos.
Ejercicio : Ejercicio Encuentre todos los enteros positivos m tales que m(m+1)/3 es un cuadrado perfecto.
Ejercicio : Ejercicio Demuestre que existe una infinidad de tripletas de enteros consecutivos cada uno de los cuales es la suma de dos cuadrados perfectos.
Ejercicio : Ejercicio Encuentre todos los triángulos cuyos lados son enteros consecutivos y cuyas áreas son tambien enteras.
Ejercicio : Ejercicio Demuestre que hay una cantidad infinita de enteros positivos n tales que n²+1 divide a n!.
Ejercicio : Ejercicio Muestre que la ecuación a²+b³=c4 tiene una cantidad infinita de soluciones enteras.