transformada de laplace de una función periódica

IPN ESIME-Z INVIERNO 2010 ICE MATEMÁTICAS Profesor:Fabián Martínez 1 Transformada de Laplace otas de clase Profesor: Fabián Martínez Semestre 2010-1 Lección: Transformada de una función periódica Si una función tiene la propiedad f (t +T) = f (t) , T > 0 se dice que f (t) es periódica de periodo T. Entonces la trasformada de f (t +T) es 0 [ ( )] ( ) st f t T e f t T dt ¥ − L + = + Para resolver la integral del lado derecho usamos el cambio de variable t = u +T por lo que du = dt , de esta manera si f (t) es periódica de periodo T ( ) 0 st ( ) s u T ( ) T e f t dt e f u T du ¥ ¥ − − + − = + Sin embargo, la trasformada de Laplace está definida para T > 0 , por lo que 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) s u T s u T s u T T T e f u T du e f u T du e f u T du ¥ ¥ − + − + − + − − + = + + + Donde la primera integral del lado derecho es nula, de esta manera 0 0 ( ) ( ) st sT su e f t dt e e f u T du ¥ ¥ − − − = + La integral del lado derecho se puede expresar en dos integrales 0 0 ( ) ( ) ( ) T st sT su sT su T e f t dt e e f u T du e e f u T du ¥ ¥ − − − − − = + + + Si consideramos en la primera integral que u = t −T y en la segunda integral que f (u +T) = f (u) ( f (t) es periódica) tenemos 0 0 ( ) ( ) ( ) T st st sT su T e f t dt e f t dt e e f u du ¥ ¥ − − − − = + IPN ESIME-Z INVIERNO 2010 ICE MATEMÁTICAS Profesor:Fabián Martínez 2 Por último, si para la segunda integral tenemos que u = t −T . Si t = T , entonces u = 0 y si t ®¥ , entonces u ®¥. De esta manera 0 0 0 ( ) ( ) ( ) T st st sT su e f t dt e f t dt e e f u du ¥ ¥ − − − − = + Sin pérdida de generalidad, en la segunda integral podemos sustituir u por t 0 0 0 ( ) ( ) ( ) T st st sT st e f t dt e f t dt e e f t dt ¥ ¥ − − − − = + Finalmente 0 0 1 ( ) ( ) 1 T st st sT e f t dt e f t dt e ¥ − − − = − Ejemplos 1) Sea f (t) definida como ( ) 1,0 1, 2 t a f t a t a £ < =− £ < Con periodo T = 2a y f (t + 2a) = f (t) para t > 2a 2 2 2 2 0 0 0 1 [ ( )] ( ) 1 ( 1) 1 a a a st st st as f t e f t dt e dt e dt e − − − − = = × + − × − L 2 2 2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 st st sa sa sa sa sa a a a e e e e e e s s e s s s s − − − − − − − = − + = − + + − − − 2 2 1 1 1 2 1 as sa sa e e e s s − − − − = + − Como ( ) ( ) 1 2as 1 sa 1 sa e e e − − − − = + × − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 as as as as sa as as as e e e e e s e s e s e − − − − − − − − − − − − = + = + − − + IPN ESIME-Z INVIERNO 2010 ICE MATEMÁTICAS Profesor:Fabián Martínez 3 2) Sea f (t) definida como ( ) ,0 , 2 sent t f t sent t p p p £ < =− £ < Conocida como “Rectificación de onda completa de sent . Con periodo T = 2p y f (t + 2np ) = f (t) para t > 2p . 2 2 2 0 0 1 [ ( )] ( ) 1 st st st s f t e f t dt e sentdt e sentdt e p p p p p − − − − = = − − L Integramos por partes u = sent st dv e dt − = y al desarrollar nos queda 2 2 2 0 0 1 1 1 ( ) cos cos 1 1 st st st s s e f t dt e tdt e tdt e e s p p p p p p − − − − − = − − − De nuevo integramos por partes u = cos t st dv e dt − = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 s st st st s s s e e f t dt e sentdt e sentdt e e s s s e p p p p p p p p − − − − − − − = + − − − − − Y como 2 2 0 0 st ( ) st st e f t dt e sentdt e sentdt p p p p − − − = − al sustituir 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 ( ) 1 1 s st s s s e e f t dt e s e s s p p p p − − − − + = + − − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 s s s s st s s s s s e e e e e f t dt e e s e e e s p p p p p p p p p p − − − − − − − − + + = = − − + − + Por último como ( ) ( ) cosh coth sinh s s s s s e e s s e e p p p p p p p −− + = = − encontramos que 2 2 0 1 coth ( ) 1 1 st s s e f t dt e s p p p − − = − + IPN ESIME-Z INVIERNO 2010 ICE MATEMÁTICAS Profesor:Fabián Martínez 4 Ejercicios 1) Graficar los ejemplos 1) y 2) y mostrar que f (t +T) = f (t) Para los siguientes ejercicios, encontrar el periodo mínimo de f (t) , laL[ f (t)] y graficar 2) 1,0 ( ) 0, 2 t a f t a t a £ < = £ < Respuesta ( ) 1 [ ( )] 1 s f t s e− = + L 3) ,0 ( ) , 2 a t t b b f t a t a b t b b £ < =− £ < Respuesta ( ) 1 [ ( )] 1 bs bs a e f t s bs e − − = − − L 4) ( ) ,0 1 2 ,1 2 t t f t t t £ < =− £ < Respuesta ( ) 2 2 tanh [ ( )] s f t s L =