ma

http://arabmaths.ift.fr 1 Moustaouli Mohamed المرجح القدرات المنتظرة ـ استعمال المرجح في تبسيط تعبير متجهي؛ ؛ (2 ≤ n ≤ نقطة ( 4 n ـ إنشاء مرجح ـ استعمال المرجح لإثبات استقامية ثلاث نقط من المستوى؛ ـ استعمال المرجح في إثبات تقاطع المستقيمات؛ ـ استعمال المرجح في حل مسائل هندسية وفيزيائية. مرجح نقطتين -I -1 النقطة المتزنة تعريف عددا حقيقيا α نقطة من المستوى و A لتكن .A وزن النقطة α أو العدد .α معينة بالمعامل A يسمى نقطة متزنة. نقول آذلك النقطة (A;α ) الزوج -2 مرجح نقطتين أنشطة نقطتين مختلفتين B و A لتكن (I GA − 4GB = حيث 0 G -1 بين أنه توجد نقطة وحيدة 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 ثم أنشئها 2GA + 3GB = حيث 0 G -2 بين أنه توجد نقطة وحيدة 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 ثم أنشئها عددين حقيقيين غير منعدمين β و α نقطتين مختلفتين و B و A لتكن (II αGA + βGB = حيث 0 G فان توجد نقطة وحيدة α + β ≠ -1 بين اذا آان 0 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 αGA + βGB = حيث 0 G فانه لا توجد أية نقطة α + β = -2 إذا آان 0 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 مبرهنة و تعريف .α + β ≠ نقطتين متزنتين من المستوى حيث 0 (B ;β ) و (A;α ) لتكن αGA + βGB = من المستوى حيث 0 G توجد نقطة وحيدة 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 (B ;β ) و (A;α ) تسمى مرجح النقطتين المتزنتين G النقطة ملاحظة لا تقبلان مرجحا. (B ;β ) و (A;α ) فان النقطتين المتزنتين α + β = إذا آان 0 -3 مرآز ثقل نقطتين تعريف المعينين بنفس المعامل الغير المنعدم. B و A هو مرجح B و A مرآز ثقل نقطتين خاصية [AB ] هو منتصف B و A مرآز ثقل نقطتين -4 الصمود k ∈􀁜* ليكن α + β ≠ 0 αGA + β GB = 0⇔ (B ;β ) و (A;α ) مرجح النقطتين المتزنتين G 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 kα + kβ ≠ 0 kαGA + kβ GB = 0⇔ 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 (B; kβ ) و ( A; kα ) مرجح النقطتين المتزنتين G ⇔ خاصية مرجح نقطتين لا يتغير إذا ضربنا وزنيهما في نفس العدد الغير المنعدم. تمرين في الحالتين (B ;β ) و (A;α ) مرجح G حيث β و α حدد2GA − 3GB = 5AB -أ 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 .B و G مرآز ثقل A -ب http://arabmaths.ift.fr 2 Moustaouli Mohamed -5 الخاصية المميزة نشاط α + β ≠ عددين حقيقيين حيث 0 β و α ليكن ∀M ∈(P) α MA + β MB = (α + β )MG تكافئ (B ;β ) و (A;α ) مرجح G -1 بين أن 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 (O;i ; j ) إلى معلم (P) -2 ننسب المستوى 􀁇 􀁇 OG α OA β OB أ/بين أن α β α β = + + + 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 B (x B ; y B ) و A (x A ; y A ) علما أن G ب/استنتج إحداثيتي B( و ( 1;4 A(− حيث( 2;3 (B; و ( 2 ( A;− مرجح مرجح ( 5 G' ح/حدد إحداثيتي مبرهنة α + β ≠ عددان حقيقيان حيث 0 β و α من المستوى M إذا و فقط إذا آان لكل (B ;β ) و (A;α ) مرجح G تكون α MA + β MB = (α + β )MG 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 نتيجة α + β ≠ عددان حقيقيان حيث 0 β و α AG ( ) AB إذا و فقط إذا آان (B ;β ) و (A;α ) مرجح G تكون β α β = + 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 BG ( α ) BA إذا و فقط إذا آان (B ;β ) و (A;α ) مرجح G تكون α β = + 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 ملاحظة (AB ) تنتمي إلى المستقيم B و A مرجح نقطتين مختلفتين -6 إحداثيتا مرجح نقطتين (O;i ; j ) في مستوى منسوب إلى معلم 􀁇 􀁇 G (x G ; y G ) و B (x B ; y B ) و A (x A ; y A ) . لتكن فان (B ;β ) و (A;α ) مرجح G إذا آان A B G A B G x x x y y y α β α β α β α β  = +  +   = +  + تمرين (B ; و ( 1 (A; مرجح ( 2 G ' ثم أنشئ (B ; و ( 3 (A;− مرجح ( 2 G أنشئ GG ' أحسب 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 AB بدلالة 􀁊􀁊􀁊􀁇 تمرين (B ;− و ( 4 (C ; مرجح ( 1 K و (B ; و ( 2 (A; مرجح( 1 J ثم (C ; و ( 1 (A; مرجح ( 2 I أنشئ (K ; و ( 3 (C ; مرجح ( 1 B -1 أثبت أن .[KI ] منتصف J -2 بين أن تمرين A ≠ B لتكن 3MA + 2MB = حيث 0 M -1 حدد مجموعة النقط 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 3MA + 2MB = 2MA + 3MB حيث M -2 حدد مجموعة النقط 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 B (− و ( 4;3 A (− حيث ( 1;2 (B ; و ( 6 (A;− مرجح ( 2 G تمرين حدد إحداثيتي مرجح ثلاث نقط -II -1 أنشطة نشاط 1http://arabmaths.ift.fr 3 Moustaouli Mohamed ثلث نقط من المستوى C و B و A لتكن GA + 2GB − 5GC = حيث 0 G -1 أنشئ 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 GA − 2GB +GC = حيث 0 G -2 هل يمكن إنشاء 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 نشاط 2 أعداد حقيقية λ وβ و α نقط مختلفة و C و B و A لتكن αGA + βGB +λGC = حيث 0 G نحدد 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 (*) الجواب (α + β +λ )AG = β AB +λ AC لدينا (*) تكافئ 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 AG ( β ) AB ( λ ) AC فان α + β +λ ≠ *-إذا آان 0 α β λ α β λ = + + + + + 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 αGA + βGB +λGC = حيث 0 G ومنه توجد نقطة وحيدة 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 β AB +λ AC = فان 0 α + β +λ = *-إذا آان 0 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 β AB +λ AC ≠ -إذا آان 0 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 αGA + βGB +λGC = حيث 0 G فانه لا توجد نقطة 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 β AB +λ AC = -إذا آان 0 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 αGA + βGB +λGC = فان جميع نقط المستوى تحقق 0 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 -2 مبرهنة و تعريف .α + β +λ ≠ نقط متزنة من المستوى حيث 0 (C ;λ ) و (B ;β ) و (A;α ) لتكن αGA + βGB +λGC = من المستوى حيث 0 G توجد نقطة وحيدة 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 (C ;λ ) و (B ;β ) و (A;α ) تسمى مرجح G النقطة ملاحظة لا تقبل مرجحا (C ;λ ) و (B ;β ) و (A;α ) فان النقط المتزنة α + β +λ = إذا آان 0 -3 مرآز ثقل ثلاث نقط تعريف المعينين بنفس المعامل الغير المنعدم. C و B و A هو مرجح C و B و A مرآز ثقل ثلاث نقط خاصية (C ; و ( 1 (B ; و ( 1 (A; هو مرجح ( 1 C و B و A مرآز ثقل ثلاث نقط خاصية ABC هي مرآز ثقل المثلث G تتلاقى في نقطة وحيدة ABC متوسطات مثلث GA +GB +GC = و تحقق 0 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 على التوالي فان ' 2 [AB ] و [AC ] و [BC ] منتصفات C ' و B ' و A ' اذا آان 3 AG = AA 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 و 2 ' 3 BG = BB 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 و ' 23 CG = CC 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 -4 خاصية مرجح ثلاث نقط لا يتغير إذا ضربنا وزنيهما في نفس العدد الغير المنعدم. -5 الخاصية المميزة نشاط α + β +λ ≠ أعداد حقيقية حيث 0 λ و β و α αMA +βMB +λMC = (α +β +λ)MG تكافئ (C ;λ ) و (B ;β ) و (A;α ) مرجح G -1 بين أن 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 (O;i ; j ) إلى معلم (P) -2 ننسب المستوى 􀁇 􀁇 OG α OA β OB λ OC أ/بين أن α β λ α β λ α β λ = + + + + + + + + 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 B (x B ; y B ) و A (x A ; y A ) علما أن G ب/استنتج إحداثيتي http://arabmaths.ift.fr 4 Moustaouli Mohamed مبرهنة α + β +λ ≠ أعداد حقيقية حيث 0 λ و β و α من المستوى M إذا و فقط إذا آان لكل (C ;λ ) و (B ;β ) و (A;α ) مرجح G تكون α MA + β MB +λMC = (α + β +λ )MG 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 -6 إحداثيتا مرجح ثلاث نقط (O;i ; j ) في مستوى منسوب إلى معلم 􀁇 􀁇 و C (x C ; y C ) و B (x B ; y B ) و A (x A ; y A ) . لتكن ( ; ) G G فان (C ;λ ) و (B ;β ) و (A;α ) مرجح G إذا آان G x y A B C G A B C G x x x x y y y y α β λ α β λ α β λ α β λ  = + +  + +   = + +  + + -7 خاصية التجميعية α + β +λ ≠ أعداد حقيقية حيث 0 λ و β و α α MA + β MB +λMC = (α + β +λ )MG ومنه (C ;λ ) و (B ;β ) و (A;α ) مرجح G 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 α MA + β MB = (α + β )MG ومنه 1 G تقبل مرجحا 1 (B ;β ) و (A;α ) فان α + β ≠ * لو آان 0 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 (α + β )MG1 +λMC = ((α + β ) +λ )MG وبالتالي 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 (C ;λ ) و (G1;α + β ) مرجح G إذن (C ;λ ) و (A;α ) مرجح G حيث 2 (B ;β ) و (G2 ;α +λ ) مرجح G * بنفس الطريقة نبين أن (C ;λ ) و (B ;β ) مرجح G حيث 2 (A;α ) و (G3 ;β +λ ) مرجح G * بنفس الطريقة نبين أن خاصية مرجح ثلاث نقط لا يتغير إذا عوضنا نقطتين بمرجحهما معينا بمجموع معامليهما الغير المنعدم. تمرين (C ; و ( 2 (B ; و ( 1 (A; مرجح ( 1 G أنشئ (C ;− و ( 1 (B ; و ( 2 (A;− مرجح ( 3 G ' أنشئ تمرين نقطة حيث 4 D و (C ;− و ( 2 (B ; و ( 4 (A; مرجح ( 1 G مثلث و ABC 5 AD = AB 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 أنشئ الشكل مستقيمية G و C و D بين أن تمرين 2MA + MB + MC = −2MA + MB + MC حيث M مثلث. حدد مجموعة النقط ABC 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 مرجح أربع نقط -III -1 مبرهنة و تعريف نقط متزنة من المستوى حيث (D;μ ) و (C ;λ ) و (B ;β ) و (A;α ) لتكن .α + β +λ + μ ≠ 0 αGA + βGB +λGC + μGD = من المستوى حيث 0 G توجد نقطة وحيدة 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇 (D;μ ) و (C ;λ ) و (B ;β ) و (A;α ) تسمى مرجح G النقطة ملاحظة لا تقبل مرجحا (D;μ ) و (C ;λ ) و (B ;β ) و (A;α ) فان النقط المتزنة α + β +λ + μ = إذا آان 0 -2 مرآز ثقل أربع نقط تعريف المعينين بنفس المعامل الغير D و C و B و A هو مرجح D و C و B و A مرآز ثقل أربع نقط المنعدم. http://arabmaths.ift.fr 5 Moustaouli Mohamed خاصية (D; و ( 1 (C ; و ( 1 (B ; و ( 1 (A; هو مرجح ( 1 D و C و B و A مرآز ثقل أربع نقط -3 خاصية مرجح أربع نقط لا يتغير إذا ضربنا وزنيهما في نفس العدد الغير المنعدم. -4 الخاصية المميزة مبرهنة α + β +λ + μ ≠ أعداد حقيقية حيث 0 μ وλ و β و α من المستوى M إذا و فقط إذا آان لكل (D;μ ) و (C ;λ ) و (B ;β ) و (A;α ) مرجح G تكون α MA + β MB +λMC + μMC = (α + β +λ + μ )MG 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 -5 خاصية التجميعية خاصية مرجح أربع نقط لا يتغير إذا عوضنا نقطتين بمرجحهما معينا بمجموع معامليهما الغير المنعدم أو عوضنا ثلاث نقط بمرجحها معينا بمجموع معاملاتها. تمرين متوازي الأضلاع ABCD (D; و ( 1 (C; و ( 2 (B ; و ( 1 (A; مرجح ( 1 G أنشئ G ∈(AC ) بين أن