Probabilidades Cap. 1- Combinat¶oria ²Teorema Fundamental da Contagem garante que se num certo acontecimento ocor- ram n1 situa»c~oes diferentes, noutro acontecimento n2, num terceiro n3 e assim sucessivamente ent~ao o n¶umero total de modos diferentes em que os acontecimentos podem ocorrer na ordem indicada ¶e n1 £ n2 £ n3 : : : ¶Ehabitual numa experi^encia nestas condi»c~oes se utilizarem os tracinhos para cada acon- tecimento. Por exemplo, se num restaurante existem 3 tipos de entradas diferentes, 12 pratos principais e 5 sobremesas , ent~ao um cliente que coma uma entrada, um prato e uma sobremesa tem: entrada prato sobremesa 3 12 5 = 180 180 hip¶oteses distintas. ²Factorial: de um n¶umero natural n ¶e igual a: n! = n £ (n ¡ 1) £ ¢ ¢ ¢ £ 2 £ 1 Este valor utiliza-se quando se pretende saber o n¶umero de formas diferentes de ordenar n objectos distintos. Tamb¶em se chama a n! permuta»c~oes de n elementos. Obs.: ¶Esempre poss¶³vel a partir de um factorial n! chegar a um factorial inferior visto que n! = n £ (n ¡ 1)! de igual modo n! = n £ (n ¡ 1) £ (n ¡ 2)!. Este tipo de opera»c~oes s~ao muito utilizadas em exerc¶³cios de simpli¯ca»c~ao. ²Arranjos sem repeti»c~ao: de n elementos p a p ¶e igual a: nAp = n! (n ¡ p)! Este valor utiliza-se quando se pretende ordenar p objectos diferentes escolhidos entre n objectos dados. Note que n! =nAn. ²Arranjos com repeti»c~ao: de n elementos p a p ¶e igual a: nA0p = np Este valor utiliza-se quando se pretende ordenar p objectos diferentes ou n~ao escolhidos entre n objectos dados. Ou seja, a diferen»ca entre nAp e nA0p ¶e que no primeiro n~ao ¶e permitido que um mesmo objecto surja mais que uma vez na sequ^encia. ²Combina»c~oes: de n elementos p a p ¶e igual a: nCp = n! p!(n ¡ p)! Este valor utiliza-se quando se pretendem obter subconjuntos de p elementos escolhidos num conjunto com n elementos. A diferen»ca fundamental entre arranjos e combina»c~oes ¶e que no segundo caso n~ao interessa a ordem em que os objectos s~ao escolhidos. ²Na calculadora TI para obter os factoriais (!), arranjos sem repeti»c~ao (nPr) e combina»c~oes (nCr) basta seleccionar Math e ir µa op»c~ao Prb , enquanto que na Casio selecciona-se Optn de seguida clicar na seta µa direita e em Prob. ²Tri^angulo de Pascal: 1C 0 0 C0 1 C 1 1 C C C 2 2 2 0 1 2 C C C C 3 3 3 3 0 1 2 3 C C C C C 4 4 4 4 4 4 0 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 4 6 4 1 1 1 3 1 Propriedades: . Em cada linha, termos equidistantes dos extremos s~ao iguais. Isto ¶e o primeiro elemento de uma linha ¶e igual ao ¶ultimo, o segundo ao pen¶ultimo, etc. Por outras palavras: nCk = nCn¡k . Cada termo de uma linha ¶e igual µa soma dos termos da linha de cima. Ou seja: nCk + nCk+1 = n+1Ck+1 . A linha de ordem n + 1 corresponde µas combina»c~oes de n e tem n + 1 elementos. Por exemplo, a 5a linha do tri^angulo que tem 5 elementos corresponde a todas as combina»c~oes de 4 elementos, isto ¶e 4Ck; . A soma de todos os elementos de uma linha de ordem n + 1 ¶e igual a 2n. Ou seja, a soma de todas as combina»c~oes de n ¶e 2n: nC0 + nC1 + nC2 + nC3 + : : : + nCn = 2n . O primeiro e ¶ultimo elemento s~ao iguais a 1, o segundo e pen¶ultimo s~ao n, o terceiro e antepen¶ultimo s~ao iguais a n2¡n 2 . ²Bin¶omio de Newton: Para desenvolver a pot^encia da soma de dois elementos recorre-se ao bin¶omio de Newton: (a + b)n = nC0anb0 + nC1an¡1b1 + nC2an¡2b2 + : : : + nCn¡1a1bn¡1 + nCna0bn Mais simplesmente: (a + b)n = Xn p=0 nCpan¡pbp Se apenas se pretender obter um termo de ordem p + 1 tem-se que: Tp+1 = nCpan¡pbp Cap. 2- Probabilidades e Lei de Laplace ²Conjuntos: . Existem v¶arias formas de representar conjuntos: -em extens~ao isto ¶e elemento a elemento. Por exemplo: A = f2; 4; 6g -em compreens~ao descri»c~ao escrita do conjunto. Por exemplo: A = fn¶umeros naturais pares menores ou iguais a 6g. . O conjunto universal, acontecimento certo ou espa»co amostral S (ou ) ¶e o conjunto que cont¶em todos os resultados poss¶³veis de uma dada experi^encia. O conjunto vazio ou acontecimento imposs¶³vel ; (ou fg) ¶e o conjunto que n~ao cont¶em qualquer elemento. 2. Propriedades das opera»c~oes de conjuntos: Propriedade Reuni~ao Intersec»c~ao Comutativa A [ B = B [ A A \ B = B \ A Associativa (A [ B) [ C = A [ (B [ C) (A \ B) \ C = A \ (B \ C) Elemento Neutro A [ ; = A A \ S = A Elemento Absorvente A [ S = S A \ ; = ; Idempot^encia A [ A = A A \ A = A Distributiva A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) . O acontecimento contr¶ario A de um determinado acontecimento A ¶e o conjunto que tem todos os elementos de S que n~ao pertencem a A. Propriedade F¶ormula Dupla Nega»c~ao A = A Leis de De Morgan (1) (A [ B) = A \ B Leis de De Morgan (2) (A \ B) = A [ B . Um acontecimento A ¶e um qualquer subconjunto do conjunto universal S. Um acon- tecimento que apenas contenha um elemento ¶e dito elementar e com mais de um elemento ¶e dito composto. . Dois acontecimentos A e B s~ao ditos incompat¶³veis se n~ao tiverem elementos em comum, ou seja, A \ B = ;. E s~ao ditos contr¶arios se, al¶em de n~ao terem elementos em comum, os dois reunidos contiverem todos os elementos de S, isto ¶e, A \B = ; e A [B = S. . Dados dois acontecimentos A e B chamamos diferen»ca entre A e B ou A excepto B ao conjunto que cont¶em todos os elementos de A que n~ao est~ao em B. Representa-se por A ¡ B ou AnB. ²Lei de Laplace e Diagramas: . a Lei de Laplace garante que a probabilidade P(A) de qualquer acontecimento A ¶e igual a: P(A) = no de casos favor¶aveis no de casos poss¶³veis Existem 4 tipos de gr¶a¯cos ou esquemas que podem ajudar no c¶alculo de probabilidades: . O Diagrama de Venn que se aplica sempre que existem dois acontecimentos que podem ocorrer em simult^aneo (ex. gostar de cinema e teatro). A B S . O Diagrama de ¶ Arvore que se adequa a situa»c~oes em que a experi^encia ¶e composta por duas ou mais fases com poucos casos distintos (ex. tr^es lan»camentos de uma moeda). 3A1 A2 BCCCB3212 1 Deve de completar-se o diagrama com as respectivas probabilidades tendo em conta que a soma dentro de cada ramo ¶e igual a 1 (por exemplo, a soma das probabilidades de C1; C2 e C3 ¶e 1). . A Tabela de Dupla Entrada µa qual se recorre quando a popula»c~ao ¶e dividida atrav¶es de duas caracter¶³sticas distintas (ex. sexo masculino ou feminino e gostar ou n~ao de m¶usica). Resultados Operação Caracteristica 2 Caracteristica 1 . Como atr¶as descrito, tamb¶em o recurso aos "tracinhos"pode ser ¶util na resolu»c~ao de problemas. obs.: Note que todos os "esquemas"atr¶as descritos apenas se podem utilizar caso interesse a ordem, sen~ao devem utilizar-se as combina»c~oes. Em determinados exerc¶³cios o recurso µa probabilidade contr¶aria simpli¯ca os c¶alculos. Esta deve utlizar-se caso o c¶alculo directo tiver demasiadas situa»c~oes distintas. Um dos grandes obst¶aculos na resolu»c~ao de um exerc¶³cio de probabilidades ¶e de saber quando se deve multiplicar e quando se deve somar. Se se estiver a dividir o problema em casos distintos que n~ao podem ocorrer simultaneamente soma-se, caso contr¶ario multiplica-se. Por outras palavras se os casos estiverem separados por um ou soma-se, se for por um e multiplica-se. Cap. 3- Axiomas, Teoremas, Condicionada e Independ^encia ²Axiomas: . Axioma 1: A probabilidade ¶e sempre um n¶umero n~ao negativo, P(A) ¸ 0; . Axioma 2: A probabilidade do acontecimento certo ¶e igual a 1, P(S) = 1; . Axioma 3: A probabilidade da reuni~ao de dois acontecimentos disjuntos ¶e igual µa soma das probabilidades desses acontecimentos. Ou seja, se A \ B = ; ent~ao P(A [ B) = P(A) + P(B). ²Teorema: . Teorema 1: A probabilidade do acontecimento imposs¶³vel ¶e igual a 0, P(;) = 0; . Teorema 2: A probabilidade de qualquer acontecimento varia entre 0 e 1 inclusiv¶e, 0 · P(A) · 1; . Teorema 3: A probabilidade do acontecimento contr¶ario ¶e igual µa diferen»ca entre 1 e a probabilidade desse acontecimento, P(A) = 1 ¡ P(A); . Teorema 4: A Lei de Laplace garante que a probabilidade de um acontecimento ¶e igual ao quociente entre o n¶umero de casos favor¶aveis e os casos poss¶³veis desde que os aconteci- 4mentos elementares sejam equiprov¶aveis e incompat¶³veis. . Teorema 5: A probabilidade da reuni~ao ¶e igual µa soma das probabilidades dos acon- tecimentos a subtrair pela probabilidade da intersec»c~ao: P(A [ B) = P(A) + P(B) ¡ P(A \ B) A B AU A B B U { ²Probabilidade Condicionada: A probabilidade de B sabendo que A ocorre, chamada probabilidade de B condi- cionada por A ¶e dada pela f¶ormula: P(B=A) = P(A \ B) P(A) A probabilidade condicionada ¶e utilizada sempre que surgirem palavras como: sendo, sabendo, tendo veri¯cado isto ¶e sempre que se souber algo extra relativo µa experi^encia em causa. ²Acontecimentos Independentes: Dois acontecimentos s~ao ditos independentes se a realiza»c~ao de um n~ao interfere na reali- za»c~ao do outro. Em termos anal¶³ticos dois acontecimentos s~ao independentes se e s¶o se: P(A=B) = P(A) ou at¶e P(B=A) = P(B) Como alternativa dois acontecimentos s~ao independentes se e s¶o se P(A \ B) = P(A) £ P(B) Sendo esta ¶ultima f¶ormula a mais utilizada na resoluza»c~ao de exerc¶³cios. ²Acontecimentos Diferen»ca: A probabilidade do acontecimento diferen»ca de B por A ¶e igual µa diferen»ca entre a pro- babilidade de B e a intersec»c~ao de A e B: P(BnA) = P(B ¡ A) = P(B) ¡ P(A \ B) A B A B U B\ A ²Axiomas na Probabilidade Condicionada: A probabilidade condicionada satisfaz os axiomas (e teoremas) das probabilidades, por exemplo: 5. 0 · P(B=A) · 1 ; . P(S=A) = 1 . P(;=A) = 0 . P(B=A) = 1 ¡ P(B=A) . P((B1 [ B2)=A) = P(B1=A) + P(B2=A) ¡ P((B1 \ B2)=A) Cap. 4- Distribui»c~ao de Frequ^encias Relativas e Distribui»c~ao de Probabilidades ²Vari¶avel Aleat¶oria: . Uma vari¶avel aleat¶oria ¶e uma fun»c~ao que a cada elemento do espa»co amostral associa um n¶umero real. Uma vari¶avel ¶e dita discreta se assume um n¶umero ¯nito ou in¯nito numer¶avel de valores. . Chama-se distribui»c~ao de probabilidades de uma vari¶avel X µa aplica»c~ao que a cada valor xi da vari¶avel faz corresponder a respectiva probabilidade pi. X = xi x1 x2 x3 ¢ ¢ ¢ xn P(X = xi) p1 p2 p3 ¢ ¢ ¢ pn Note que a soma de todos os pi ¶e igual a 1 e estes valores s~ao todos n~ao negativos, ou seja: pi ¸ 0 para todo i 2 f1; 2; ; 3; : : : ; ng Pn i=1 pi = 1 . Para calcular a m¶edia ¹ recorre-se µa f¶ormula ¹ =Xn i=1 xipi . Para a vari^ancia ¾2: ¾2 = Xn i=1 x2ipi ¡ ¹2 . O desvio padr~ao ¾ ¶e igual µa raiz quadrada da vari^ancia. . Para calcular a m¶edia e desvio padr~ao na calculadora TI: Clicar em Stat de seguida em Edit e introduzir na primeira coluna os valores da amostra xi e na segunda as respectivas probabilidades pi (caso a amostra esteja por intervalos na primeira coluna coloca-se o valor central de cada intervalo). De seguida clicar em Stat, clicar para a direita, e em 1-Var Stats. Finalmente a seguir µa express~ao que surge no visor colocar (L1;L2). Na Casio: No Menu escolher a segunda op»c~ao Stat e tal como no caso da TI na primeira coluna introduz-se o xi e na segunda o pi. Escolher Calc e depois clicar em 1Var. Note que na op»c~ao Set na 1Var XList deve de estar a List1 e na 1Var Freq deve de estar a List2. . Existem dois tipos de gr¶a¯cos que se utilizam no caso de amostras relacionadas a vari¶aveis: -Gr¶a¯cos de Barras: no caso das amostras discretas, em que a cada valor se associa uma barra vertical cuja altura depende da frequ^encia. As barras est~ao separadas. 6-Histograma: nas amostras por intervalos cujas barras est~ao juntas. Caso se pretenda calcular percentagens (ou frequ^encias) para determinados intervalos deve utilizar-se a regra de 3 simples (de modo a obter uma estimativa). ²Vari¶avel Binomial: A vari¶avel binomial utiliza-se em experi^encias aleat¶orias com as seguintes caracter¶³sticas: 1) ¶Econstitu¶³da por n provas id^enticas; 2) Em cada prova apenas s~ao poss¶³veis dois resultados: sucesso ou insucesso; 3) O resultado de cada prova ¶e independente dos resultados anteriores; 4) A probabilidade de cada sucesso p n~ao varia de uma prova para outra. A vari¶avel X que representa o n¶umero de sucessos ¶e dita binomial e assume os valores 1; 2; : : : n, ou seja ¶e uma vari¶avel discreta. Quanto µa probabilidade de cada valor ¶e: P(X = r) = nCr pr (1 ¡ p)n¡r tal que r ¶e o n¶umero de sucessos. obs.: A vari¶avel binomial tem m¶edia ¹ = n p e vari^ancia ¾2 = n p (1 ¡ p) Para calcular a probabilidade P(X = r) de uma distribui»c~ao binomial X na calculadora TI:Clicar em Distr, escolher binompdf de seguida abrir um par^entesis primeiro coloca-se o valor de n, depois o p e no ¯nal o n¶umero de sucessos r, ou seja, binompdf(n; p; r). Na Casio, seleccionar Stat, escolher Dist ! Binm e ¯nalmente Bpd. O valor x corresponde a r e Numtrial corresponde a n. ²Vari¶avel Normal: . Caracter¶³sticas da distribui»c~ao normal: A distrubui»c~ao normal N(¹; ¾), tal que ¹ ¶e a m¶edia e ¾ o desvio padr~ao, tem as seguintes caracter¶³sticas: -¶Esim¶etrica relativamente ao valor m¶edio ¹; -Quanto maior for ¾ mais achatada ¶e a curva; -A ¶area total da curva ¶e igual a 1; -As probabilidades de alguns intervalos s~ao: ]x ¡ ¾; x + ¾[ tem probabilidade 68; 27% ]x ¡ 2¾; x + 2¾[ tem probabilidade 95; 45% ]x ¡ 3¾; x + 3¾[ tem probabilidade 99; 8% 95,45% 99,8% 68,27% . C¶alculo de probabilidades com o recurso µa tabela da distribui»c~ao normal Z = N(0; 1): Consideremos a um valor real positivo, b e c quaisquer valores reais: 71- P(Z · a) para calcular este tipo de probabilidades basta ir directamente µa tabela, tal que, na primeira coluna obtem-se a casa das unidades e a decimal de a e na primeira linha obtem-se a casa das cent¶esimas; 2- P(Z ¸ a) = 1 ¡ P(Z · a) pelo acontecimento contr¶ario, depois ¶e s¶o obter o valor na tabela; 3- P(Z ¸ ¡a) = P(Z · a) por simetria em torno da origem; 4- P(Z · ¡a) = 1¡P(Z ¸ ¡a) = 1¡P(Z · a) por contr¶ario e simetria respectivamente; 5- P(b · Z · c) = P(Z · c) ¡ P(Z · b) e depois basta utilizar uma das abordagens anteriores. Obs.: Desta forma se consegue calcular probabilidades na tabela de Z para qualquer situa»c~ao. . Para o c¶alculo de probabilidades de uma distribui»c~ao normal X = N(¹; ¾) recorre-se tamb¶em µa tabela de Z uma vez que X ¡ ¹ ¾ = Z Desta feita basta subtrair µa express~ao de probabilidade ¹ e dividir por ¾ e passa-se ao c¶alculo de probabilidade com Z: P(a · X · b) = P Ãa ¡ ¹ ¾ · X ¡ ¹ ¾ · b ¡ ¹ ¾ ! = P Ãa ¡ ¹ ¾ · Z · b ¡ ¹ ¾ ! . Para calcular a probabilidade P(a < X < b) de uma distribui»c~ao normal X na calcu- ladora TI: Clicar em Distr, escolher normalcdf de seguida abrir um par^entesis primeiro coloca-se o limite inferior do intervalo de a, depois o limite superior b e a m¶edia e ¯nalmente o desvio padr~ao, ou seja, normalcdf(a; b; ¹; ¾). Na Casio, seleccionar Stat, clicar em Dist ! Norm e ¯nalmente escolher Ncd. O valor de Lower corresponde a a, Upper para b, de seguida o desvio padr~ao e a m¶edia. 8