OMCC 2009 dia 2

Girardot, Colombia, 2009 Segundo Da 7 de octubre Duracion: 4 horas y 30 minutos. Cada problema tiene valor de 7 puntos. Problemas Problema 4 Se desea colocar numeros naturales alrededor de una circunferencia cumpliendo la siguiente propiedad: Las diferencias entre cada par de numeros vecinos, en valor absoluto, son todas diferentes. 1. >Sera posible colocar los numeros del 1 al 2009 satisfaciendo la propiedad? 2. >Sera posible suprimir alguno de los numeros del 1 al 2009, de tal manera que los 2008 numeros restantes se puedan colocar satisfaciendo la propiedad? Problema 5 Dado ABC un triangulo acutangulo y escaleno, sea H su ortocentro, O su circuncentro, E y F los pies de las alturas trazadas desde B y C, respectivamente. La recta AO corta nuevamente al circuncrculo del triangulo en un punto G y a los segmentos FE y BC en los puntos X y Y , respectivamente. La recta AH corta a la tangente al circuncrculo trazada por G en un punto Z. Demuestre que HX es paralelo a Y Z. Problema 6 Encuentre todos los numeros primos p y q tales que p3 􀀀 q5 = (p + q)2.