Medición del riesgo en Acciones

METODOS E INDICADORES PARA LA MEDICIÓN DEL RIESGO DE MERCADO Aplicación a Cartera de Acciones Edinson Caicedo Cerezo, MSc. Universidad del Valle Grupo de Investigación en Solvencia y Riesgo(GISR) Cali - Colombia 22 de Octubre de 2009 Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 1 / 54MEDICIÓN DEL RIESGO DE MERCADO CARTERA DE ACCIONES TEMAS DE LA PRSENTACIÓN Temario TEMAS: Introducción Objetivos Revisión a la Literatura Motivaciones Metodología Resultados Conclusiones Referencias Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 2 / 54INTRODUCCIÓN MEDICIÓN DEL RIESGO DE MERCADO CONCEPTO DE RIESGO Denición Riesgo de Mercado DEFINICIÓN DE RIESGO Riesgo es el daño potencial que puede surgir por un proceso presente o suceso futuro. Diariamente en ocasiones se utiliza como sinónimo de probabilidad, pero en el asesoramiento profesional de riesgo, el riesgo combina la probabilidad de que ocurra un evento negativo con cuanto daño dicho evento causaría. Es decir, en palabras claras, el riesgo es la posibilidad de que un peligro pueda llegar a materializarse. También es la probablidad de que un resultado esperado no ocurra. Guillen(2008). Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 3 / 54INTRODUCCIÓN MEDICIÓN DEL RIESGO DE MERCADO Tipos de riesgos en las empresas Riesgo de mercado: Riesgo de que cambie la posición nanciera en relación a los instrumentos nancieros en los que se sustenta (acciones bonos, tipo de cambio, . . . ). Posibilidad de pérdida de clientes. Riesgo de crédito: Riesgo de no percibir las amortizaciones de créditos o los dividendos establecidos en las inversiones, debido a la insolvencia del deudor Riesgo operacional: Riesgo de pérdidas ocasionadas por la ineciencia o fallo de los procesos internos, los empleados o los sistemas, así como los acontencimientos externos relacionados con la actividad de la entidad. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 4 / 54INTRODUCCIÓN MEDICIÓN DEL RIESGO DE MERCADO Métodos de Medición Según Mcneil, Frey y Embrechts (2005) y Guillen(2008), cuando se desean modelar el riesgo de una cartera de acciones, el método de la Varianza-Covarianza, Simulación Histórica y el Monte Carlo, al igual que otras técnicas multivariantes como el Análisis Factorial o el Método de las Cópulas son empleadas para analizar el riesgo de la cartera. El método de la Varianza-Covariaza, supone que la distribución conjunta de los rendimientos de las acciones que componen la cartera es Normal; el método de Monte Carlo, supone algún tipo de distribución conjunta para los factores de riesgo que conforman la cartera. Si la distribución de los rendimientos no es Normal, entonces el método de Simulación Histórica o el Método de las Cópulas pueden utilizarse como alternativa para modelar el riesgo de la Cartera. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 5 / 54OBJETIVO MEDICIÓN DEL RIESGO DE MERCADO OBJETIVO Medición del riesgo de Mercado en una cartera de Acciones OBJETIVO Ilustrar de manera empírica la aplicación de los métodos e indicadores de riesgo antes mencionados para un portafolio conformado por tres acciones: una que cotizan en la Bolsa de Valores de Colombia y las otras dos en la Bolsa de Valores de New York. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 6 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA INDICADORES DE MEDICIÓN DEL RIESGO INDICADORES DE RIESGO Principales magnitudes Según Basilea(2004), Claramunt(2008), Guillen(2008), Kaas(2008), Markowizt(1959), Messuti, Alvarez y Gra¢ (1992), Uryasev Y Rockafellar (2000), Uryasev S. Y Rockafellar R.T. (2002) y Uryasev S., Palmquist, J.,Y Krokhmal. P. (2002), se pueden mencionar los siguientes indicadores de riesgo asociados a la inversión en acciones: Factores de Riesgo y Distribución de pérdidas, Prot & Loss Varianza, Coeciente de variacón, Coeciente de Asímetria Covarianzas, Coecientes de Correlación Value at risk, VaR Expected shortfall (ES) Tail VaR (TVaR) Conditional Tail Expectation (CTE) Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 7 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA INDICADORES DE MEDICIÓN DEL RIESGO INDICADORES DE RIESGO Factores de Riesgo - Cartera de acciones Consideramos una cartera con d acciones y denotamos por li como el número de las acciones i que se tienen en la cartera en el momento t El proceso estocástico de precios de cada acción es: (St,i )t2N Usaremos el logaritmo de precios como instrumento (factor de riesgo): Zt,i := ln St,i , i = 1, ..., d Los cambios en los factores de riesgo son: Xt+1,i = ln St+1,i 􀀀 ln St,i Los Xt+1,i son los rendimienos de la i en el periodo t + 1. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 8 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA INDICADORES DE MEDICIÓN DEL RIESGO INDICADORES DE RIESGO Función de pérdida Consideramos un espacio de probabilidad: (W, F, P) Denotamos el VALOR de una cartera en el momento s como V (s). Diremos que V (s) es una variable aleatoria observable en el período s. Para un horizonte D , la PÉRDIDA (loss) de la cartera es: L[s ,s+D] := 􀀀[V (s + D) 􀀀 V (s)] La distribución de L[s ,s+D] se denomina DISTRIBUCIÓN DE PÉRDIDA La función de BENEFICIOS Y PÉRDIDAS (prot and loss) es 􀀀L[s ,s+D] Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 9 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA INDICADORES DE MEDICIÓN DEL RIESGO INDICADORES DE RIESGO Función de Perdida El valor de la cartera es: Vt.i = då i=1 liSt,i = då i=1 li exp(Zt,i ) Por lo tanto: Lt+1 = 􀀀(Vt+1 􀀀 Vt ) = 􀀀 då i=1 liSt,i [exp(Xt+1,i ) 􀀀 1] Linealizando, podemos aproximar la función de pérdida como: LDt+1 = 􀀀 då i=1 liSt,iXt+1,i = 􀀀Vt då i=1 wt,iXt+1,i donde wt,i = li St,i Vt proporción de inversión en la acción i en el momento t. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 10 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA INDICADORES DE MEDICIÓN DEL RIESGO INDICADORES DE RIESGO Función de Perdida (Notación Matricial) Si escribimos LDt+1 = 􀀀Vt ådi=1 wt,iXt+1,i como producto escalar tenemos: (wt,1, ...,wt,d )0B@ Xt+1,1 ... Xt+1,d 1CA= ådi=1 wt,iXt+1,i = w0x Por lo tanto escribimos el operador lD[t ](x) = 􀀀Vtwt 0x. Si consideramos que los cambios en los factores de riesgo son aleatorios 0B@ Xt+1,1 ... Xt+1,d 1CA= 0B@ ln St+1,1 􀀀 ln St,1 ... ln St+1,d 􀀀 ln St,d 1CA entonces podemos calcular su esperanza y varianza y aplicarlo a la pérdida aleatoria lD[t ](X). Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 11 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA INDICADORES DE MEDICIÓN DEL RIESGO INDICADORES DE PERDIDAS Esperanza y Varianza de la Pérdida Como lD[t ](X) = 􀀀Vtwt 0X entonces E(lD[t ](X)) = 􀀀Vtwt 0E(X) = 􀀀Vtwt 0μ (1) var (lD[t ](X)) = V2 t wt 0var (X)wt = V2 t wt 0Swt (2) Lo que permite calcular intervalos de conanza condionales y no condicionales. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 12 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA INDICADORES DE MEDICIÓN DEL RIESGO INDICADORES DE RIESGO Denición Values-at-Risk(VaR) y Tail Value-at-Risk(TVaR) Valor en Riesgo (VaR) El VaR es "Pérdida máxima posible que no será superada con una elevada probabilidad ya jada" VaRL(a) = inf fl : P(L l ) ag Tail Value-at-Risk (TVaR) El TVaR es la suma ponderada de los valores que exceden al VaR TVaRL(a) = 1 1􀀀a Z1a VaRL(s)ds Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 13 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA INDICADORES DE MEDICIÓN DEL RIESGO INDICADORES DE RIESGO Expected Shortfall(ES) y Conditional Tail Expectation (CTE) Expected Shortfall (ES) El ES es la esperanza de las diferencias positivas de los valores de la perdida y el VaR. ESL(a) = E (L 􀀀 VaRL(a))+Conditional Tail Expectation (CTE) El CTE es la esperanza condicional de los valores de las pérdida que son mayores que el VaR. CTEL(a) = E [LjL > VaRL(a)] Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 14 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA INDICADORES DE MEDICIÓN DEL RIESGO INDICADORES DE RIESGO Relacion entre VaR, TVaR, ES y CTE TVaRL(a) = VaRL(a) + 1 1􀀀aESL(a) CTEL(a) = VaRL(a) + 1 1􀀀FL (VaRL (a))ESL(a) Para distribuciones continuas se cumple que: TVaRL(a) = CTEL(a) Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 15 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA INDICADORES DE MEDICIÓN DEL RIESGO Indicadores de Riesgo Propiedades de las Medidas de Riesgo Propiedades de una medida de riesgo Y(L) Propiedad 1. Invarianza por Translación Y(L + c) = Y(L) + c 2. Homogeneidad Positiva Y(cL) = cY(L) 3. Monotinicidad LA LB ! Y(LA) Y(LB ) 4. Subaditividad Y(LA + LB ) Y(LA) + Y(LB ) Se dice que una medida de riesgo es coherente si cumple las cuatro propiedades anteriores. El VaR no es una medida de riesgo coherente pues no cumple con la cuarta propiedad. Sin embargo se sigue utilizando el VaR como criterio para cuanticar las perdidas por nivel de riesgo. ¿Por qué? Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 16 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA INDICADORES DE MEDICIÓN DEL RIESGO Indicadores de Riesgo VaR y TVaR para la Distribución Normal y la t- Student VaR y ES para la Distribución Normal y t de Student INDICADOR Distribución Normal Distribución t VaR μ + sF􀀀1(a) μ + st􀀀1 n (a). TVaR μ + sf(F􀀀1(a)) 1􀀀a . μ + sgn(t􀀀1 n (a)) 1􀀀a n+(t􀀀1 n (a))2 n􀀀1 . Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 17 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA METODOS DE MEDICIÓN DE RIESGO MÉTODOS DE MODELACIÓN Cartera de accionesMÉTODOS DE MEDICIÓN De acuerdo con Bolancè y Guillen(2008), Guillen(2008) y McNiel, Frey and Embrechts(2005), el riesgo de una cartera de acciones se puede modelar a través de los siguientes métodos: MÉTODO VARIANZA - COVARIANZA MÉTODO DE SIMULACIÓN HISTÓRICA MÉTODO DE MONTE CARLO MÉTODO DE CÓPULAS Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 18 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA METODOS DE MEDICIÓN DE RIESGO Método de Varianza Covarianza Supuestos Se basa en que la distribución de la pérdida es Normal con media y varianza dadas por: E(lD[t ](X)) = 􀀀Vtwt 0E(X) = 􀀀Vtwt 0μ (3) var (lD[t ](X)) = V2 t wt 0var (X)wt = V2 t wt 0Swt (4) VaR y ES para la Distribución Normal y t de Student INDICADOR Distribución Normal Distribución t VaR μ + sF􀀀1(a) μ + st􀀀1 n (a). TVaR μ + sf(F􀀀1(a)) 1􀀀a . μ + sgn(t􀀀1 n (a)) 1􀀀a n+(t􀀀1 n (a))2 n􀀀1 . Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 19 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA METODOS DE MEDICIÓN DE RIESGO Método de Varianza Covarianza Ventajas e inconvenientes Ventajas: Fácilmente aplicable Solución analítica al cálculo del VaRa y al TVaRa. Generalizable a la distribución t de Student Inconvenientes: Se basa en dos hipótesis simplicadoras: La linealización de la función de pérdida La hipótesis de normalidad Puede incurrir en sub-estimación de la cola (probabilidad de los valores extremos) Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 20 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA METODOS DE MEDICIÓN DE RIESGO Método de Simulación histórica Características En lugar de suponer un modelo paramétrico explícito para Xt+1, se trabaja con la función de pérdida Se calcula LDs = lD[t ](Xs ) : s = t 􀀀 n + 1, ..., t para los n periodos anteriores Se tiene una serie retrospectiva de la pérdida, pero se tratará como cross-section en el método no condicional y como serie temporal en el método condicional Con las n observaciones de LDs la pérdida, se puede estudiar su histograma (distribución empírica). Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 21 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA METODOS DE MEDICIÓN DE RIESGO Método de Simulación histórica en la distribución empírica VaRaTVaRa Se ordenan los valores de LDs : s = t 􀀀 n + 1, ..., t en orden ascendente de magnitud. Los valores ordenados se pueden denotar por: eL(1) eL(2) ... eL(3) eL(n) El VaRa para la distribución empírica es: VaRa(L) =eL([(1􀀀a)n]) Para calcular TVaRa se hace la media aritmética de los valores de eLj ,nque exceden VaRa(L) Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 22 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA METODOS DE MEDICIÓN DE RIESGO Método de Simulación histórica en la distribución ajustada VaRaTVaRa Se toman los valores de LDs : s = t 􀀀 n + 1, ..., t Se ajusta una distribución paramétrica (por ejemplo, normal o t-student) El VaRa se calcula utilizando los parámetros de la distribución ajustada El TVaRa se calcula utilizando los parámetros de la distribución ajustada Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 23 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA METODOS DE MEDICIÓN DE RIESGO Método de Simulación histórica Ventajas e inconvenientes Ventajas: Fácilmente aplicable No requiere suponer una distribución multivariable para los cambios en los factores de riesgo Xt+1 Solución analítica al cálculo del VaRa y al TVaRa. Puede generalizarse a otras distribuciones univariantes mejores para el tratamiento de extremos Inconvenientes: Se basa en dos hipótesis simplicadoras: La linealización de la función de pérdida El ajuste de la distribuciíon utilizado Si no hay muchas observaciones el valor de n puede ser demasiado escaso. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 24 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA METODOS DE MEDICIÓN DE RIESGO Método de Montecarlo Denición Supongamos que X N(μ, s2) luego un valor simulado xi por el método de Montecarlo estaria determinado por: xi = μ + s F􀀀1(ai ) donde ai es un número aleatorio entre 0 y 1 y F􀀀1(ai ) denota la cuantila de distribución Normal Estándar correspondiente a ai . Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 25 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA METODOS DE MEDICIÓN DE RIESGO Método de Montecarlo Denición Elección de un modelo de comportamiento histórico para cada uno de los factores de riesgo (Xt􀀀n+1, ...Xt ). Generar aleatoriamente m secuencias de comportameinto de los factores de riesgo: (X(1) t+1, ...X(m) t+1) Calcular m valores de la función de pérdida L(j ) t+1 = l[t ](X(j ) t+1) : j = 1, ...,m Emplear la distribución empírica o ajustar una distribución paramétrica para medir el riesgo. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 26 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA METODOS DE MEDICIÓN DE RIESGO Método de Montecarlo Ventajas e inconvenientes Ventajas: Una vez se dispone de los m valores de la pérdida Solución directa para el cálculo del VaRa y al TVaRa. Inconvenientes: Es difícil justicar el comportamiento estocástico de Xt+1. Si la cartera es amplia pueden haber demasiados factores de riesgo a modelizar No hay un criterio claro para jar cuantas réplicas hay que realizar: jar m Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 27 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA METODOS DE MEDICIÓN DE RIESGO Método de Simulación por Cópulas Denición DEFINICIÓN Una es una función que junta una función de distribución multivariante con sus funciones de distribución marginales univariantes. Una cópula d-dimencional es una función de distribución denida en [0, 1]d con distribuciones marginales uniformes [0, 1]. Sea C(u) = C(u1, u2, ....ud ) es una función de distribución multivatiante que es una cópula, luego: C : [0, 1]d ! [0, 1] De modo más informal, si consideramos las variables aleatorias X1,X2, ....Xd con funciones de distribución marginales FX1 (x1), FX2 (x2), ....FXd (xd ) y función de disbribición conjunta F (x1, x2, ..., xd ) una cópula es la representación: C : [FX1 (x1), FX2 (x2), ....FXd (xd )] ! F (x1, x2, ..., xd ) Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 28 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA METODOS DE MEDICIÓN DE RIESGO Método de Simulación por Cópulas Denición - Propiedades de una Cópula PROPIEDADES C(u1, u2, ....ud ) es creciente en cada componente ui . C(1, ...1, ui , 1, ...., 1) = ui 8i = 1, ..., d ui 2 [0, 1] 8(a1, ........, ad ), (b1, ........, bd ) 2 [0, 1]d , con ai bi tenemos: 2å i1=1... 2å id=1(􀀀1)i1+......+id C(u1i1 , ......, udid ) > 0 donde uj1 = aj y uj2 = bj 8j = 1, ..., d Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 29 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA METODOS DE MEDICIÓN DE RIESGO Método de Simulación por Cópulas Teorema de Sklar Teorema de Sklar Theorem Toda función de distribución multivariante contiene una cópula y estas pueden usarse conjuntamente con las funciónes de distribución univariante (marginales) para construir la función de distribución multivariante. Sea F una función de distribución conjunta con marginales F1, .....Fd . Existe una cópula C : [0, 1]d ! [0, 1] tal que para todo x1, ......xd en R = [􀀀¥,+¥] se tiene que: F ( x1, ......xd ) = C(F1(x1), ......, Fd (xd )) C( u1, ......ud ) = F (F1 (u1), ......, Fd 􀀀(ud )) F i (ui ) = inf fxi : Fi (xi ) > ui g , 8i = 1, ..., d, F i () es la inversa generalizada de F. Si las funciones de distribución marginales son continuas, entonces C es unica. Inversamente, si C es una cópula y F1, .....Fd son funciones de distribuciones univariantes, entonces F es la función de distribución conjunta con marginales F1, .....Fd . Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 30 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA METODOS DE MEDICIÓN DE RIESGO Método de Simulación por Cópulas Tipos de Cópulas Según Bolancè y Guillen(2008), las Cópulas poden ser de los siguientes tipos:Cópulas fundamentales Cópulas Implicitas Cópulas Explicitas Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 31 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA METODOS DE MEDICIÓN DE RIESGO Método de Simulación por Cópulas Cópula explicita de Gumbel En este trabajo se aplicó la Cópula de Gumbel, la cual esta dada por: CGU q (u1,u2, u3) = exp 􀀀(􀀀ln(u1))q + (􀀀ln(u2))q + (􀀀ln(u3))q1q , 1 q < ¥ Grado de dependencia, q = 1 􀀀 1 rt Coeciente de correlación de Kendall rt Coeente de dependencia de la cola, lu = 2 􀀀 21q Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 32 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA METODOS DE MEDICIÓN DE RIESGO Método de Simulación por Cópulas Proceso de Simulación por cópulas PROCEDIMIENTO A SEGUIR: 1 Se estima el grado de interdependencia de los rendimientos de las acciones a través del coeciente de correlación de Kendall. 2 Se estima el grado de dependencia de la cópula de Gumbel, q. 3 Se generan a través de la cópula de Gumbel m valores u1,u2, u3. 4 Se obtienen para cada tripa de valores F i (ui ) = inf fxi : Fi (xi ) > ui g , 8i = 1, ..., 3, asumiendo que las distribuciones marginales son Normales. los xi hacen referencia a los rendimientos de las acciones simulado. 5 Con los valores de los rendimientos simulados se cuantica la perdida y se estiman los indicadores de riesgo. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 33 / 54REVISIÓN DE LA LITERATURA METODOS DE MEDICIÓN DE RIESGO Método de Simulación Cópulas Ventajas y Desventajas VENTAJAS Aplica cuando los rendimientos de una cartera no es Normal Multivariante ni Elíptica entonces. Modela la estructura de la dependencia y el comportamiento marginal de la función de distribución asociada a un vector aleatorio multivariante de los rendimientos de las acciones. Expresan dependencia en una escala cuantílica, que es de utilidad para describir la dependencia en valores extremos (Bolancè y Guillen(2008)). DESVENTAJA Se parte del supuesto que se conoce la función de destribución marginal de los factores de riesgo. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 34 / 54MOTIVACIÓN IMPORTANCIA DE LA MEDICIÓN DE RIESGO DE MERCADO IMPORTANCIA DE LA MEDICIÓN DEL RIESGO RIESGO DE LAS INVERSIONES Las empresas nancieras tinen un marco regulador que podría garantizar su solvencia. En el sector bancario -> Basel I, Basel II En el sector asegurador -> Proyecto Solvencia II La necesidad de cuanticar el riesgos en los que se incurren al realizar las inversiones Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 35 / 54MOTIVACIÓN IMPORTANCIA DE LA MEDICIÓN DE RIESGO DE MERCADO IMPORTANCIA DE LA MEDICIÓN DEL RIESGO REQUERIMIENTOS MINIMOS DE CAPITAL Según Basilea(2004), las instituciones bancaria y nancieras utilizan el concepto de INTERNAL MODEL (IM) para el riesgo de mercado. La fórmula es: RCt IM(MR) = maxfVaRt,10 0.99 , k 60 60å t=1 VaR60􀀀t+1,10 0.99 g + CSR Donde : VaRj ,10 0.99 es el VaR calculado el día j, a horizonte 10 días y nivel de conanza del 99%. t es el día actual El factor k se llama STRESS FACTOR, entre 3 y 4, se determina en función de la calidad del modelo interno. CSR es un recargo por riesgo especíco. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 36 / 54METODOLOGIA Modelos y Datos METODOLOGIA MEDICIÓN DEL RIESGO Indicadores y metodos mencionados Test de Jarque y Bera - Normalidad Individual Acciones Test de Mardias - Normalidad Multivariante Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 37 / 54METODOLOGIA Modelos y Datos METODOLOGIA DATOS, FUENTES Y PROCESAMIENTO Cartera de tres acciones: ECOPETROL, IBM y HP; la primera se cotiza en la Bolsa de Valores de Colombia y las otras dos en la Bolsa de Valores de New York. Datos: 207 precios de cierre diarios, periodo 27/11/2007 al 23/09/2008. Fuente de los Datos: http://nance.yahoo.com y http://www.grupoaval.com Procesamiento : VisualMVO Ecient Solutiond Inc., The R project for statistical computing, Excel, Word y Scientic Workplace(Latex). Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 38 / 54RESULTADOS CARTERA ECOPETROL, IBM y HP REDIMIENTO DE LAS ACCIONES Las regularides observadas en las series nancieras, son razones para asegurar que probablemente los rendimientos de las acciones no se distribuyen Normal: Escasa o nula estructura relugar dinámica en las meria ( generalmente se modela a través AR(1) ), Distribuciones Leptocúrticas(Colas mas alargadas que la Normal), Asimetrícas, Agrupamiento de Volatilidaad, Efecto Apalancamiento(Volatidad se incrementa en mayor medida cuando el rendimientoes negativo) y Efectos Estacionales(efecto día de la semana). Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 39 / 54RESULTADOS CARTERA ECOPETROL, IBM y HP ESTADÍSTICAS BÁSICAS INDICADORES ECOPETROL IBM HP Número de Acciones 348 8 3 Proporción(w) 29,85% 60,98% 9,17% Media (u) 0,17% 0,05% 0,02% Desviación 2,36% 1,60% 2,03% Coeficiente de Variación 1398,71% 3154,65% 10976,09% pValue Normalidad ,0000 ,3510 ,0020 ACCIONES ECOPETROL IBM HP ECOPETROL 0,0005581702 0,0000102952 0,0000362298 IBM 0,0000102952 0,0002575371 0,0002156215 HP 0,0000362298 0,0002156215 0,0004122853 ACCIONES ECOPETROL IBM HP ECOPETROL 1,0000000000 0,0183645700 0,0565145900 IBM 0,0183645700 1,0000000000 0,7064497200 HP 0,0565145900 0,7064497200 1,0000000000 Cuadro 1. Proporción de las Riqueza, Estadísticas Básicas y Varianzas Covarianzas de los Rendimientos de Tres Acciones Fuentes: http://finance.yahoo.com, http://www.grupoaval.com. Calculos Realizados en Exce y Rl. Enero 22 de 2009 Perido 27 de Noviembre de 2007 a 23 de Septiembre de 2008 VARIANZA COVARIANZAS DE LOS RENDIMIENTOS COEFICIENTE DE CORRELACION DE KENDALL En primera instancia los resultados del Cuadro 1 indican que los rendimientos de las acciones de IBM se pueden considerar Normal mientras que no sucede lo mismo con las acciones de HP y ECOPETROL. El test de Mardias, indica que la distribución conjunta de las tres acciones no se puede considerar como una Normal Multivariante. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 40 / 54RESULTADOS CARTERA ECOPETROL, IBM y HP METODO VARIANZA-COVARIANZA INDICADOR Normal TStudent Grados de libertad 4 Perdida Esperada 0,81 0,81 Varianza de perdida 186,36 139,77 Desviación 13,65 11,82 INDICADOR Normal TStudent alfa 95% z 1,96 LI 27,57 LS 25,94 INDICADOR Normal TStudent alfa 95% 95% VaR 21,64 25,39 VaR Mean 22,45 25,20 TVaR 27,34 37,05 INDICADOR Normal TStudent Valor de Perdidad 10,00 z 0,792 Probabilidad de Perdida Menor 78,59% Probabilidad de Perdida Mayor 21,41% Medidas de Riesgo de una Cartera de Tres Acciones Cuadro 2. Fuentes:Calculos Realizados en Excel. Enero. 22 de 2009 INTERVALO DE CONFIANZA VALOR EN RIESGO PROBABILIDAD Conformada por ECOPETROL, IBM y HP Perido 27 de Noviembre de 2007 a 23 de Septiembre de 2008 MEDIA Y DESVIACION DE LA PERDIDA Existiría un riesgo del 5% que la perdida en un día fuera superior a 21.64 e (VaR). Los resultados también indican que la probabilidad de obtener una perdida superior a 10 e, en un día, es de 0.2141 equivalente al 21,41% Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 41 / 54RESULTADOS CARTERA ECOPETROL, IBM y HP METODO VARIANZA-COVARIANZA 90,0000% 95,0000% 97,5000% 99,0000% 99,5000% 99,9000% 99,9900% 99,9990% 99,9999% VaR 16,68 21,64 25,94 30,93 34,35 41,37 49,95 57,41 64,08 TVaR 23,14 27,34 31,1 35,57 38,66 45,15 53,22 60,32 66,74 VaR 17,31 24,39 32,01 43,48 53,62 83,99 153,27 275,02 490,73 TVaR 28,73 37,05 46,4 60,91 73,96 113,7 205,44 367,42 654,83 Fuente: Cálculos Realizados en R. Enero 22 de 2009 INDICADOR Distribución Nornal Distribución t NIVEL DE CONFIANZA (alfa) Perido 27 de Noviembre de 2007 a 23 de Septiembre de 2008 Metodo de la VarianzaCovarianza Cuadro 3. Medidas de Riesgo de una Cartera de Tres Acciones Conformada por ECOPETROL, IBM y HP Tanto el VaR como el TVaR calculados con el supuesto de normalidad, son inferiores al VaR y al TVaR calculados con la Distribución t Student. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 42 / 54RESULTADOS CARTERA ECOPETROL, IBM y HP METODO SIMULACIÓN HISTORICA Normal T Student Empirica Perdida Esperada 0,7089 0,6074 0,709 VaR 21,35 26,23 19,99 TVaR 26,95 39,1 26,93 INDICADOR Cuadro 4. Medidas de Riesgo de una Cartera de Tres Acciones Fuente: Cálculos Realizados en R. Enero 22 de 2009 Conformada por ECOPETROL, IBM y HP Perido 27 de Noviembre de 2007 a 23 de Septiembre de 2008 Método de Simulación Histórica Distribución Asumiendo normalidad (JB - 3.76 , p-value=0.1525). se podría esperar una ganancia de la cartera de 0.7089 e y que existe un riesgo del 5% que la perdida de la cartera conformada por las tres acciones consideradas en este documento, supere los 26.95e. Trabajando con la distribución empírica de la pérdida, se podría manifestar que existe un riesgo del 5% que la perdida de la cartera conformada por las tres acciones, supere los 19.99 e. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 43 / 54RESULTADOS CARTERA ECOPETROL, IBM y HP METODO DE SIMULACIÓN MONTECARLO Perdida Esperada 0,8009 VaR 21,7 TVaR 27,3 Cuadro 5. Medidas de Riesgo de una Cartera de Tres Acciones Conformada por ECOPETROL, IBM y HP Perido 27 de Noviembre de 2007 a 23 de Septiembre de 2008 Fuente: Cálculos Realizados en R. Enero 22 de 2009 Método de Montecarlo INDICADOR Distribución Normal Multivariante El Método de Monte Carlo se aplicó para 100.000 repeticiones, los resultados obtenidos(Cuadro 5) sugieren que se podría esperar una ganancia de la cartera de 0.8009 e y que existe un riesgo del 5% que la perdida de la cartera conformada por las tres acciones consideradas en este documento, supere los 21.7e. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 44 / 54RESULTADOS CARTERA ECOPETROL, IBM y HP METODO DE SIMULACIÓN POR CÓPULAS Correlación de Kendal ECOPETROL IBM 0,01836457 Parámetro de dependencia de Gumbel 1,0187 Coeficiente de Dependencia de la Cola Superior 0,0253 Perdida Esperada 0,7773 VaR 19,9 TVaR 25,2 Fuente: Cálculos Realizados en R. Enero 22 de 2009 Cuadro 6. Medidas de Riesgo de una Cartera de Tres Acciones Conformada por ECOPETROL, IBM y HP Perido 27 de Noviembre de 2007 a 23 de Septiembre de 2008 Método de Cópulas de Gumbel INDICADOR Distribución Normal Multivariante El método de las Cópulas se aplicó para 100.000 repeticiones suponiendo marginales Normales, los resultados obtenidos(Cuadro 6) sugieren que se podría esperar una ganancia de la cartera de 0.7773 e y que existe un riesgo del 5% que la perdida de la cartera conformada por las tres acciones consideradas en este documento, supere los 19.89e (VaR); el TVaR para la cartera de acciones se estima en 25.2e. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 45 / 54RESULTADOS CARTERA ECOPETROL, IBM y HP COMPORTAMIENTO DE LA PERDIDA ECOPETROL IBM HP Vt USD dólar/Euro Vt Euros Perdida (usd) Perdida (Euros) 23/09/2008 1.470,00 1,479 994,18 24/09/2008 0,96% 0,95% 0,21% 1.473,92 1,466 1005,68 3,92 11,49 25/09/2008 1,58% 3,09% 1,95% 1.497,04 1,462 1023,83 23,12 18,15 26/09/2008 0,60% 0,58% 0,23% 1.494,84 1,461 1023,10 2,20 0,73 29/09/2008 1,53% 4,24% 7,06% 1.439,97 1,462 985,27 54,87 37,83 30/09/2008 2,83% 2,16% 3,72% 1.451,28 1,444 1005,04 11,31 19,77 01/10/2008 0,89% 6,02% 2,78% 1.398,56 1,410 992,03 52,72 13,01 02/10/2008 0,09% 5,02% 3,88% 1.351,47 1,402 964,30 47,09 27,72 03/10/2008 1,03% 1,25% 0,60% 1.336,28 1,382 966,99 15,19 2,68 Periodo Septiembre 24 de 2008 al 3 de Octobre de 2008 Rendimiento de las Acciones Valor de la Cartera y Perdida Diaria Cuadro 7. Fuentes: http://finance.yahoo.com, http://www.grupoaval.com. Calculos Realizados en Excel. Enero 22de 2009 RENDIMIENTO ACCIONES VALOR DE LA CARTERA PERDIDA DIARIA FECHA El 23 de Septiembre de 2007 el valor de la cartera de las acciones era de aproximadamente de 1.000 e, si consideramos la variación de los precios de las acciones desde el 23 de septiembre de 2008 hasta el 3 de octubre de 2008, la pedida diaria de la cartera es como se indica en el Cuadro 7. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 46 / 54CONCLUSIONES MEDICIÓN DEL RIESGO EN ACCIONES SOBRE LOS INDICADORES DE RIESGOS INDICADORES IMPORTANTES Value at risk, VaR Expected shortfall (ES) Tail VaR (TVaR) Conditional Tail Expectation (CTE) Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 47 / 54CONCLUSIONES MEDICIÓN DEL RIESGO EN ACCIONES SOBRE LOS METODOS DE MEDICIÓN MÉTODOS MÉTODO VARIANZA - COVARIANZA MÉTODO DE SIMULACIÓN HISTÓRICA MÉTODO DE MONTE CARLO MÉTODO DE CÓPULAS Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 48 / 54CONCLUSIONES MEDICIÓN DEL RIESGO EN ACCIONES COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS MONTE CARLO CÓPULAS D. Normal D. t Student D. Normal D. t Student D. Empírica D. Normal D. Normal Perdida Esperada 0,814 0,814 0,709 0,607 0,709 0,801 0,777 VaR 21,640 25,389 21,350 26,230 19,990 21,688 19,887 TVaR 27,344 37,051 26,950 39,100 26,930 27,339 25,207 Fuente: Cálculos Realizados en R. Enero 22 de 2009 Perido 27 de Noviembre de 2007 a 23 de Septiembre de 2008 Conformada por ECOPETROL, IBM y HP Cuadro 8. Medidas de Riesgo de una Cartera de Tres Acciones METODOS VARIANZACOVARIANZA SIMULACION HISTORICA Indicadores de Riesgo Según Métodos y Distribución (95% de Confianza) INDICADOR Aunque los métodos de la Varianza-Covarianza, Monte Carlo y Cópulas, se han empleado a manera de ilustración en este documento, puede observarse que los indicadores de riesgo como el VaR y el TVaR son mucho más altos cuando se trabaja con una Distribución t de Student que cuando se modela el riesgo con una Distribución Normal. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 49 / 54CONCLUSIONES MEDICIÓN DEL RIESGO EN ACCIONES COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS MONTE CARLO CÓPULAS D. Normal D. t Student D. Normal D. t Student D. Empírica D. Normal D. Normal Perdida Esperada 0,814 0,814 0,709 0,607 0,709 0,801 0,777 VaR 21,640 25,389 21,350 26,230 19,990 21,688 19,887 TVaR 27,344 37,051 26,950 39,100 26,930 27,339 25,207 Fuente: Cálculos Realizados en R. Enero 22 de 2009 Perido 27 de Noviembre de 2007 a 23 de Septiembre de 2008 Conformada por ECOPETROL, IBM y HP Cuadro 8. Medidas de Riesgo de una Cartera de Tres Acciones METODOS VARIANZACOVARIANZA SIMULACION HISTORICA Indicadores de Riesgo Según Métodos y Distribución (95% de Confianza) INDICADOR Cuando se supone Normalidad el VaR más altos se obtiene con el Método de Monte Carlo y TVaR más alto se obtiene con el método de la Varianza-Covarianza. Cuando se supone Distribución t de Student, los valores más altos para el VaR y TVaR se obtienen en el método de la Simulación Histórica. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 50 / 54BIBLIOGRAFIA Bibliograa Bibliografía básica REFERENCIAS BOLANCE Catalina y GUILLEN Montserrat (2008). Métodos Cuantitativos en Control de Riesgos. Modelación Multivariante del Riesgo de Perdida, Copulas y Dependencia. Universidad de Barcelona. Septiembre. Basilea (2004). Comité de Supervisión Bancaria de Basilea, Convergencia internacional de medidas y normas de capital. Marco revisado Junio. Press & Communications. CH-4002 Basilea (Suiza). CLARAMUNT. Bielsa. M. Mercè (2008). Solvencia en Seguros y Finanzas. Curso 2008- 2009. Universidad de Barcelona, España. GUILLEN Montserrat (2008). Métodos Cuantitativos en Control de Riesgos Parte I: QRM-Quantitative Risk Management. Universidad de Barcelona. Septiembre. KAAS, Rob(2008). Modernd Actuarial risk Theory. Amsterdam School of Economics. December. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 51 / 54BIBLIOGRAFIA Bibliograa Bibliografía básica REFERENCIAS MCNEIL, Alexander J., FREY, Rüdiger & EMBRECHTS, Paul (2005). Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques And Tools, Princeton University Press, 2005. MARKOWITZ, H. (1959). Portafolio Selection: Ecient Diversication of Investments. New YorK, Wiley. MESSUTI, D.S., ALVAREZ, V.A y GRAFFI (1992). Selección de Inversión. Introducción a la Teoría de la Cartera, Ediciones Machi, Buenos Aires. URYASEV S., y ROCKAFELLAR, R.T. (2000) Optimization of Conditional Value-At-Risk.The Journal of Risk, Vol. 2, No. 3, 2000, 21-41. URYASEV S. y ROCKAFELLAR R.T. (2002) Conditional Value-at-Risk for General LossDistributions. Journal of Banking and Finance, 26/7, 2002, 1443-1471. URYASEV S., PALMQUIST, J.,y KROKHMAL. P. (2002) Portfolio Optimization with Conditional Value-At-Risk Objective and Constraints. The Journal of Risk, Vol. 4, No. 2, 2002. Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 52 / 54BIBLIOGRAFIA Bibliograa Bibliografía básica REFERENCIAS Microsoft Excel 2003. Scientic WorkPlace 2007 The R project for statistical computing . http://www.r-project.org/ VisualMVO Ecient Solutiond Inc. 2003 http://nance.yahoo.com/q/hp?s=APD&a=03&b=6&c=1983&d=08&e=24&f=2008&g=d http://www.grupoaval.com/oc4j/portales/jsp/gaviframes.jsp Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 53 / 54MEDICIÓN DEL RIESGO DE MERCADO CARTERA DE ACCIONES FIN DE LA PRESENTACIÓN !...GRACIAS POR LA ATENCIÓN ...! FIN ... Edinson Caicedo Cerezo, MSc. (ECC) GISR - UNIVALLE 22 de Octubre de 2009 54 / 54