LOGIQUE RESUME

بسم الله الرحمن الرحيم مبادئ في المنطق العبارة نعتبر النصوص الرياضية التالية : حيث تعريف العبارة هي كل نص رياضي له معنى إما صحيحا و إما خاطئا ولا يمكن أن يكون صحيحا وخاطئا في آن واحد . أمثلة العبارة عبارة صحيحة ، نقول أن قيمة حقيقتها هي صحيحة ونرمز لذلك ب V (Vrai ) . العبارة عبارة خاطئة ، نقول أن قيمة حقيقتها هي خاطئة ونرمز لذلك ب F (Faux ) . ملاحظة : إذا كانت العبارة A صحيحة نقول لدينا A مثال صحيحة نقول لدينا جدول حقيقة عبارة نعلم أن كل عبارة A يمكن أن تكون إما صحيحة و إما خاطئة نلخص هذه الإمكانيات في جدول يسمى جدول الإمكانيات وهو كالتالي : دالة عبارية -خاصية نلاحظ إذن أنه كلما أعطينا ل x قيمة نحصل على عبارة و أن قيمة حقيقة مرتبطة ( أو بدلالة ) بالمتغير x نقول أن دالة عبارية ونرمز لها غالبا ب تعريف الدالة العبارية هي كل نص رياضي يحتوي على متغير ينتمي إلى مجموعة معينة، ويصبح عبارة كلما عوضنا هذا المتغير بعنصر محدد من هذه المجموعة . أمثلة : حيث حيث ملاحظة إذا كانت الدالة العبارية تصبح عبارة صحيحة من أجل العنصر المحدد a نقول : a يحقق الدالة العبارية أو تتحقق من أجل a . أمثلة 0 يحقق B لأن عبارة صحيحة حيث نلاحظ أن 1 يحقق ( المعادلة ) و كذلك المعادلة تتحقق من أجل المكممات – العبارات المكممة أمثلة 1- حيث " " مهما يكن x من " مثال : حيث حيث " حيث ملاحظات لتكن دالة عبارية العبارتين و غير مرتبطتين ب x تمارين حدد قيمة حقيقة كل من العبارات التالية : 1- ---- 2- -- 3- الاستدلال بالمثال المضاد بين أن العبارة خاطئة العدد 2 لا يحقق و منه العبارة خاطئة طريقة الاستدلال بالمثال المضاد لكي نبين أن عبارة من نوع خاطئة ، يكفي أن نجد عنصرا a من E لا يحقق الخاصية العنصر a يسمى مثالا مضادا و هذا الاستدلال يسمى الاستدلال بالمثال المضاد مثال : -*- العمليات المنطقية نفي عبارة تعريف نفي عبارة هي العبارة التي نرمز لها ب أو و التي تكون خاطئة إذا كانت صحيحة و صحيحة إذا كانت خاطئة . مثال : " 7 عدد فردي " جدول حقيقة نفي عبارة نلاحظ أن العبارتين و لهما نفس قيم الحقيقة نقول أن لهما نفس المعنى أو أنهما متكافئتين نفي خاصية ( دالة عبارية ) مثال : نعتبر الخاصية التالية حيث " حيث " بصفة عامة نفي الخاصية هي الخاصية أمثلة حيث " حيث " حيث " حيث " (ط 1 م العددي ) نفي عبارة مكممة أمثلة نفي العبارة هي العبارة نفي العبارة هي العبارة بصفة عامة نفي العبارة هي العبارة نفي العبارة هي العبارة أمثلة اعط نفي العبارات التالية " لكل x من لدينا " ترميز المكمم ( يوجد عنصر وحيد ) العبارة " يوجد عنصر وحيد x من بحيث صحيحة ويمكن كتابتها على الشكل المكمم يكافئ " يوجد عنصر وحيد " أمثلة اعط نفي العبارات السابقة ؟ بصفة عامة نفي العبارة هي العبارة لا يوجد أي عنصر من E يحقق أو يوجد أكثر من عنصر يحقق مثال العطف المنطقي تعريف لتكن P و Q عبارتين عطف العبارتين P و Q هو العبارة التي نرمز لها ب و التي تكون صحيحة فقط إذا كانت P و Q صحيحتين معا 2- الفصل المنطقي تعريف لتكن P و Q عبارتين فصل العبارتين P و Q هو العبارة التي نرمز لها ب و التي تكون خاطئة فقط إذا كانت P و Q خاطئتين معا تمرين بين أن و لهما نفس قيم الحقيقة بين أن و لهما نفس قيم الحقيقة من خلال الجدول نستنتج أن العبارتين و لهما نفس قيم الحقيقة نقول أنهما متكافئتان كما نلاحظ أيضا أن و لهما نفس قيم الحقيقة إذن و متكافئتين و متكافئتين أمثلة اعط نفي العبارات التالية C : " 6 عدد زوجي و 6 يقبل القسمة على 3 " D : " و 5 عدد زوجي " E : " 6 عدد زوجي أو 6 يقبل القسمة على 3 " F : " أ و 5 عدد زوجي " G : " 6 عدد أولي أو 3 عدد زوجي " دوال عبارية بعدة متغيرات مثال حيث و " عبارتين إذا أخذنا و نحصل على حيث " و هي خاصية ل y إذا أخذنا F إذا أخذنا V ملاحظة دالة عبارية بمتغيرين إذا أعطينا x و y معا قيمتين محددتين نحصل على عبارة إذا أعطينا x قيمة محددة نحصل على خاصية للمتغير y إذا أعطينا y قيمة محددة نحصل على خاصية للمتغير x التعميم على أكثر من متغيرين ... عبارات بعدة مكممات أمثلة حيث و " حدد قيمة حقيقة كل من العبارات التالية حيث و " حيث و " حيث و " حيث و " نعتبر الخاصيتين التاليتين حيث و " حيث و " خلاصة لتكن خاصية لمتغيرين x و y و E و F مجموعتين غير فارغتين 1- عبارة يمكن كتابتها على شكل 2- عبارة يمكن كتابتها على شكل 3- عبارة 4- عبارة ( غير مرتبطة ب x أو ب y ) ملاحظة ترتيب المكممات ليس له أهمية إذا كانت المكممات من نفس الطبيعة أو ترتيب المكممات له أهمية إذا كانت المكممات ليست من نفس الطبيعة أو أمثلة 1- 2- 3- 4- الإستلزام l'implication تعريف لتكن P وQ عبارتين العبارة والتي تكون خاطئة فقط إذا كانت P صحيحة و Q خاطئة تسمى استلزام P و Q ونرمز له ب أو ونقرأ P تستلزم Q . أمثلة "زوجي " " 9 مضاعف ل 3 4 عدد أولي " " حيث x من " ملاحظة الاستلزام يسمى الاستلزام العكسي للاستلزام إذا كانت العبارة صحيحة ، نقول أن Q استنتاج منطقي ل P للبرهنة على أن صحيحة يكفي أن نفترض أن P صحيحة و نبين أن Q صحيحة . نقول أن P شرط كاف لتحقيق Q مثال 1 ليكن n من بين أن مثال 2 ليكن x من التكافؤ المنطقي L'équivalence تعريف لتكن P وQ عبارتين العبارة ( ) تسمى تكافؤ العبارتين P وQ ، و تكون صحيحة إذا كانت P وQ لهما نفس قيم الحقيقة و نرمز لها ب ونقرأ P تكافئ Q أو P إذا وفقط إذا Q مثال القوانين المنطقية Les Lois Logiques أنشطة حدد جدول حقيقة العبارة A V F V F V V تعريف كل عبارة مكونة من عبارتين أو عدة عبارات ( P ، Q ، R ، ... ) مرتبطة فيما بينها بعمليات منطقية و تكون صحيحة مهما كانت العبارات تسمى قانونا منطقيا . مثال ( قوانين منطقية ) 1- 2- 3- قاعدة الإستدلال الاستنتاجي العبارة V تسمى قاعدة الاستدلال الاستنتاجي أي إذا كانت P صحيحة و صحيحة نستنتج أن Q صحيحة . مثال بين أن Q : ( P: ) بعض القوانين المنطقية قوانين موركان العبارات التالية قوانين منطقية 1- 2- 3- 4- تطبيق حل في الاستدلال بالتكافؤات المتتالية العبارة قانون منطقي ( الاستدلال بالتكافؤات المتتالية ) نتيجة نستنتج من هذا القانون أنه إذا كانت و فإن تطبيق بين أن الاستدلال بالاستلزام المضاد للعكس مثال بين أن نتيجة العبارة قانون منطقي مثال لكي نبين أن يكقي أن نبين أن الاستدلال بالخلف لكي نبين أن أن عبارة P صحيحة باستعمال الاستدلال بالخلف نفترض أنها خاطئة أي أن نفيها صحيح ثم نبين أن يستلزم عبارة C صحيحة وخاطئة في أن واحد و هذا تناقض ، وبالتالي نستنتج أن P صحيحة مثال نعتبر مستقيمين و من المستوى بحيث و يقطع بين أن يقطع تمرين بين أن الاستدلال بفصل الحالات ملاحظة أمثلة بين أن حل في المعادلة تمرين ادرس حلول المعادلة التالية حسب قيم البارامتر m مبدأ الترجع Principe de Récurrence تقديم نفترض أننا أمام سلم ونريد الصعود إلى أعلى نفترض أننا نعلم كيفية الصعود إلى الدرجة الأولى ( مرحلة البدء ) فإذا علمنا كيفية الانتقال من درجة إلى أخرى ( الصعود إلى الدرجة n الصعود إلى الدرجة n+1 ) فهذا كاف للصعود إلى جميع درجات السلم . خاصية لتكن خاصية للمتغير n ( صحيح طبيعي ) إذا كان يوجد من بحيث صحيحة و إذا كانت العبارة فإن العبارة صحيحة عمليا للبرهنة على أن العبارة صحيحة نتبع الخطوات التالية التحقق نتحقق من أن صحيحة افتراض الترجع نفترض أن صحيحة حيث و نبين أن صحيحة الاستنتاج نستنتج أن صحيحة أمثلة بين أن يقبل القسمة على 7 مهما يكن n من يقبل القسمة على 9 مهما يكن n من الدرس 1 : مبادئ في المنطق 1 ع ت - د 1 1 / 8 2007/2008 ذ اسمايلي عبد الكريم mathrap@gmail.com Smaili 2007/2008 Smaili 2007/2008