analízis sorozatok elmélet

Analízis SorozatokFüggvények definíciója Értelmezési tartomány, Df Képhalmaz Értékkészlet, RfFüggvények megadásaFüggvények szemléltetésef(x)=2x^2-3 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -8 -6 -4 -22468 x ySzámsorozatok Definíció: A számsorozat olyan függvény, amely a pozitív egész számokhoz valós számokat rendel. A számsorozat egészének jelölése: an A számsorozat tagjainak jelölése: a1=3,a2=6,a3=9, a4=12,...an=3n Pl.: a1, a2, a3, ... 1↦3, 2↦6,3↦9, 4↦12, ...Tulajdonságok • Monotonitás • Korlátosság • Konvergencia (határérték)Pl.: an=n2 a1=1, a2=4,a3=9, a4=16, a5=25,... 1 4 9 16 25 • Monotonitás: szigorúan monoton nő • Korlátosság: alulról korlátos, • Határérték: nincs véges, an≥1 an∞pl.: an=1n a1=1, a2= 12, a3= 13, a4= 14, a5= 15, ... 0 1 12 1314 15 • Monotonitás: szigorúan monoton csökken • Korlátosság: alulról és felülről is korlátos • Határérték: van 0≤an≤1 an0Számsorozatok határértéke• Azok az x számok alkotják, melyek „A”-hoz közelebb vannak, mint ε Egy „A” szám ε sugarú környezete A−xA ∣A−x∣ A− A A xpl.: an=1n a1=1, a2= 12, a3= 13, a4= 14, a5= 15, ... 0 1 12 1314 15 Konvergencia   Ha = 1 10, akkor a11−től Ha = 1 100, akkor a101−től Ha = 1 1000, akkor a1001−től A sorozat minden további tagja benne van a nulla ε sugarú környezetében. Bármilyen kicsi pozitív ε esetén létezik olyan küszöbindex, amelytől kezdve a sorozat minden tagja benne van a nulla ε sugarú környezetében. A sorozat határértéke: 0Definíció Egy an sorozat konvergens és határértéke A valós szám, ha bármilyen kicsi pozitív ε esetén létezik olyan n0 küszöbindex, amelytől kezdve a sorozat minden tagja benne van A valós szám ε sugarú környezetében. Másképpen:: tetszőleges 0 esetén létezik olyan n0, hogyha nn0, akkor ∣A−an∣ Jelölések: lim an=A lim n∞ an=A an A Elnevezések: ε: hibakorlát n0: küszöbindex-1 ε ε ( ) A sorozat legyen pl.: +1 -1, +1, -1, +1, -1, +1, -1, … vagyis an=(-1)n Van határértéke? NINCS! A határérték definíciója:ε ε ( ) A sorozat legyen pl.: +1 +1, +1, +1, +1, +1, +1, +1, … vagyis an=+1 Van határértéke? Van! Mégpedig a +1! A határérték definíciója:ε ε ( ) A sorozat legyen pl.: ??? an=2n3 n1 n an 1 2,5000 2 2,3333 3 2,2500 4 2,2000 5 2,1667 6 2,1429 7 2,1250 8 2,1111 9 2,1000 10 2,0909 11 2,0833 12 2,0769 13 2,0714 14 2,0667 15 2,0625 16 2,0588 17 2,0556 18 2,0526 19 2,0500 20 2,0476 Van? Talán a +2? A határérték definíciója:lim 2n3 n1 =lim 2n11 n1 =lim 2 1 n1=2lim 1 n1=2 Vagyis a határérték tényleg a 2! = 1 100 esetén mennyi a küszöbindex? (n0) 2 ε ε 1,99 2,01 Mikortól lesznek a sorozat tagjai a 2-től 1/100-nyi távolságon belül?Jelekkel: mennyi legyen az n értéke, ha azt akarjuk, hogy ∣an−A∣ an=2n3 n1 A=2 = 1 100 teljesüljön?! ∣2n3 n1 −2∣ 1 100 ∣2n3−2n1 n1 ∣ 1 100 ∣ 1 n1∣ 1 100 1 n1 1 100 100n1 99n közös nevezőre hozás a számláló egyszerűsítése absz. érték elhagyása „keresztbe”szorzás Vagyis a sorozat tagjai a 100. tagtól kezdve már a 2-höz közelebb vannak, mint 1/100. azaz n0=99n0-tól kezdve minden tagnak benne kell lenni mindkét intervallumban. Tétel: Konvergens sorozatnak pontosan egy határértéke van. ε ε ( ) ε ε ( ) A1 A2 Indirekt bizonyítás: Tegyük fel, hogy két határérték is van.Tétel: lim an bn=ABbn≠0, B≠0 limanα=Aα limc⋅an=c⋅A lima n±bn =A±B lima n⋅bn=A⋅B a.) b.) c.) d.) e.) ( c konstans) Ha lim(an)=A és lim(bn)=B (A és B valós számok), akkorDivergens ( nem konvergens sorozatok): Def .: Az an∞ , ha bármely P0 számhoz van olyan n0 , hogy bármely nn0 esetén anP. Def .: Az an−∞, ha bármely P0 számhoz van olyan n0 , hogy bármely nn0 esetén anP. Pl: an=2n Pl: an=− n2 2, 4 8, 16, 32, … -1, -4, -9, -16, -25, …an=−1n Pl.: ⋅n -1, 2, -3, 4, -5, 6, -7 … Ennek a sorozatnak nincs sem véges sem végtelen határértéke. Sorozatok osztályozása: konvergens (véges határérték) divergens tágabb értelemben konvergens még tágabb értelemben sem konvergens +∞-hez tartó -∞-hez tartó