Cours de denombrement

http://www.0et1.com/http://www.0et1.com/Dénombrement التعداد مبدأ الجداء -I تمهيد : 1) رمي قطعة نقدية : F=Face , P=pile . P أو على الظهر F اذا رمينا قطعة نقدية فاننا نحصل اما على الوجه (a في هذه الحالة نقول أن لنا امكانيتين . و اذا رمينا القطعة النقدية مرتين فما هو عدد المكانيات الممكن الحصول عليها : (b FF ; FP ; PF ; PP و اذا رمينا القطعة النقدية ثلاث مرات فما هو عدد الامكانيات الممكن الحصول عليها: (c PPP ; PPF ; PFP ; FPP FFP ; FPF ; PFF ; FFF يمكن استعمال الشجرة " شجرة الامكانيات" على النحو التالي : P F P F P F P F P F P F P F 2) رمي النرد: . النرد هو مكعب عادة تكون وجوهه الستة مرقمة من 1 الى 6 إذا رمينا هذا النرد مرة واحدة و نسجل الرقم المحصل عليه بعد آل رمية فما هي النتائج الممكن (a .6 , 5 , 4 , 3 , 2 , المحصل عليها . الجواب : 1 لدينا إذا ستة إمكانيات . اذا قمنا برمي النرد مرتين و آنا نسجل الرقم المحصل عليه بعد آل رمية فما هي مجموعة جميع الامكانيات (b المتوقعة ؟ 1,1 )}. يمكن إعطاء جدول للنتائج. ) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , ( الجواب : {.....( 1,6 تظنن عدد جميع الإمكانيات إذا قمنا برمي النرد ثلاث مرات متتالية . (c 3) تكوين أعداد 6 -5 -4 -3 -2 -لدينا 6 بيدقات تحمل الأرقام : 1 (a ما هو عدد الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام و الممكن تكوينها بواسطة البيدقات . (a1 ما هو عدد الأعداد المكونة من ستة أرقام و الممكن تكوينها بواسطة البيدقات . (a2 ما هو عدد الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام . (b يعتبر عدد مكون من رقمين فقط . oxy ملاحظة : لعدد 5 1 3 http://www.0et1.com/http://www.0et1.com/خلاصة : مبدأ الجداء اختبار p نعتبر آيفية مختلفة n اذا آان : الاختبار الأول يتم ب 1 آيفية مختلفة n الاختبار الثاني يتم ب 2آيفية مختلفة np يتم ب p الاختبار n1 x n2 x………x np : فإن عدد الكيفيات التي تم بها هذا الاختيار هو تطبيقات: -1 صندوق يحتوي على 3 آرات بيضاء و 5 آرات سوداء نسحب من الصندوق 3 آرات واحدة تلو الأخرى و لا نعيد الكرة المسحوبة الى الصندوق (a أعط عدد جميع السحبات الممكنة (a1 أعط عدد السحبات التي تكون فيها جميع الكرات بيضاء. (a2 أعط عدد السحبات التي تكون فيها جميع الكرات سوداء. (a3 أعط عدد السحبات التي تكون فيها جميع الكرات لها نفس اللون. (a4 نفس الأسئلة علما أننا نعيد الكرة المسحوب إلى الصندوق قبل سحب الأخرى وهكذا. (b 4 . نسحب بيدقتين بالتتابع. -3 -2 -1 – -2 آيس يحتوي آلى 5 بيدقات تحمل الأرقام 0 إذا آانت البيدقة الأولى تحمل رقما فرديا نعيدها إلى الكيس ثم نسحب الثانية و إذا آانت البيدقة الأولى تحمل رقما زوجيا لا نعيدها إلى الكيس ثم نسحب الثانية ما هو عدد جميع الإمكانيات (a ما هو عدد إمكانيات الحصول على بيدقتين يحملن رقما فرديا (b ما هو عدد إمكانيات الحصول على بيدقتين يحملن رقما زوجي (c Les arrangement : الترتيبات -II تمهيد : -1 في قاعة انتظار إحدى العيادات يوجد 10 آراسي و 3 مرضى . بكم من طريقة يمكن للمرضى الثلاث أن يجلسوا. -2 أربعة أطفال دخلوا إلى قاعة للمطالعة فوجدوا 5 طاولات. بكم من طريقة يمكن للأطفال أن يجلسوا (آل طاولة لا تسع إلا لطفل على الأآثر) -3 قسم يحتوي على 42 تلميذ . بكم من طريقة يمكن اختيار ثلاث تلاميذ واحد تلو الأخر من هذا القسم . تعريف: n عنصر من بين p يسمى يسمى ترتيبه ل (p≤n) عنصر n عنصر من بين p آل ترتبب ل عدد الترتيبات : تمهيد : عنصر . n مجموعة تتكون من بالتتابع n عنصر من بين p نريد اختيار طريقة n لاختيار العنصر الأول لدينا طريقة (n-و لاختيار العنصر الثاني لدينا ( 1 طريقة. (n-p+ لدينا ( 1 pn و لاختيار العنصر .n عنصر من بين p طريقة مختلفة لاختيار n(n-1)…….(n-p+ وحسب مبدأ الجداء لدينا : ( 1 مبرهنة : p و نرمز له ب n(n-1)………..(n-p+ هو ( 1 p≤n n عنصر من بين p عدد الترتيبات ل n A 3 ( ) ( ) 5 A = n n −1 ...... n − p +1 مثال : 15 2 , A 6 3 , A 5 A les permutations : التبديلات -III تعريف : http://www.0et1.com/http://www.0et1.com/عنصر n تسمى تبديلة ل n عنصر من بين n آل ترتيبة ل عدد التبديلات : n عنصر هو العدد n عدد التبديلات ل n A n(n −1)...............× 2×1 . n factoriel عاملي أو n و نقرأ . n! : و نرمز له ب n!= n(n −1)...............× 2×1 0!= اصطلاح : 1 5! = 120 مثال : = ! 63 ملاحظة هامة : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 ......... 1 1 .... 1 ! ! ! ! ! ! p np n A n n n p n n n p n p n n p n p A n n p = − − + − − + − = = − − = − p ( 1).........( 1) n A = n n − n − p + ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 .... 1 ! ! ! ! n n n p n p n n p n p − − + − = = − − ( ) ! ! p n A n n p = − تطبيقات : أنظر التمارين Les combinaisons : التأليفات -VI تمهيد : E = {a,b, c, d} : -1 نعتبر المجموعة E جدد جميع أجزاء -2 نريد اختيار شخصين ثآنيا من بين 5 أشخاص ما هو عدد الطرق لإجراء هذا الاختبار. تعريف : عنصر n مجموعة مكونة من E لتكن n عنصر من بين p يسمى تأليفة ل (p≤n) عنصر P مكون من E آل جزء من عدد التأليفات : (p≤n) عنصر و n مجموعة مكونة من E لتكن : p فإن عدد جميع الإمكانيات هو E عنصر بالتتابع و بدون إحلال من p إذا أردنا اختيار n A n عنصر من بين p هو عدد التأليفات ل N و ليكن نلاحظ أنه بالنسبة للتأليفات الترتيب غير مهم و منه : n عنصر من بين p ترتيبة ل p! هناك n عنصر من بين p هناك ل n عنصر من بين p اذن لكل تأليفة ل p ! n أي A = p N !p n N Ap = مبرهنة : http://www.0et1.com/http://www.0et1.com/هو العدد (p≤n) n عنصر من بين p عدد التاليفات ل !p n Ap p : و الذي نرمز له ب n C !p p n n C Ap = ( ) ! ! ! p n C n p n p = − تطبيقات: -1 أحسب : 2 4 1 , C 3 1 , C n 0 , C n C n p : -2 بين أن n = C − p n C -3 بين أن : 1 1 p p p n n n C − C C + 1≤ p ≤ n , + = -4 مثلث باسكال -5 صيغة الجدائية : ( ) 0 n n p n p p n p a b C a − b = + =Σ (n +1) أمثلة : 1) أحسب : 5 0 1 2 ..... n 2n : 2) بين أن n n n n C +C +C + +C = عنصر n استنتج عدد أجزاء مجموعة تحتوي على 2n عنصر هو n خاصية : عدد أجزاء مجموعة تحتوي على cardP(E) = 2cardE