Slide 1 : Bienvenidos!!! 3a Academia Sabatina Virtual, 21/mar/09
Olimpiadas Matemáticas de Puerto Rico
Arturo Portnoy
Tengan papel y lápiz a la mano, porque
van a necesitarlo para trabajar los
ejercicios.
Slide 2 : Resumen de la 2a Academia Sabatina Virtual
Definición de congruencia
Propiedades algebráicas de la congruencia
Principio de sustitución
Slide 3 : Conjuntos de residuos: Zn
Operaciones en Zn
Slide 4 : Probar que en cualquier colecccion de 7 o más enteros siempre hay dos cuya
suma o diferencia es divisible entre 11.
Slide 5 : Escribir tabla de suma y producto para Z2, Z3, Z4, Z5 y Z6. Observar inversos
aditivos y multiplicativos.
Slide 6 : Sea n un número natural. Entonces, a es un entero primo relativo a n si y solo si
existe un entero b tal que ab=1 (mod n).
Es decir, a es primo relativo a n si y solo si a es invertible bajo el producto en Zn.
Slide 7 : Muestre que si a y n no son primos relativos, entonces existe b distinto de 0
en Zn tal que ab=0 (mod n).
Slide 8 : Encontrar el inverso multiplicativo de 3 módulo 17.
Slide 9 : Encontrar el inverso multiplicativo de 12 módulo 15.
Slide 10 : Aparear cada uno de los elementos invertibles bajo el producto de Z12 con
sus inversos. Repetir para Z17.
Slide 11 : Encontrar, si existen, las soluciones de 4x=5 (mod 7).
Repetir para 4x=5 (mod 6).
Repetir para 4x=8 (mod 6).
Slide 12 : Sea mcd(a,n)=d>1. Si consideramos la congruencia ax=c (mod n) tenemos que
la congruencia es soluble si y solo si d|c.
Slide 13 : Demostrar que si d|n y a=b (mod n), entonces a=b (mod d), pero el recíproco no
es cierto.
Slide 14 : Sean n y l enteros positivos y sea m su mínimo común múltiplo. Probar que
a=b (mod n) y a=b (mod l) implica que a=b (mod m).
Slide 15 : Un vendedor de naranjas quiere saber cuantas naranjas tenía ayer. Solo
recuerda que eran mas de 100 pero menos de 150 y que cuando hacía
montones de 2, 3, 4, 5, 6 naranjas siempre sobraba 1.
Slide 16 : Sea n=(p1^e1)(p2^e2)...(pr^er) la factorización prima de n. Entonces
a=b (mod n) si y solo si
a=b (mod p1^e1) y a=b (mod p2^e2) y ... y a=b (mod pn^en)?
Slide 17 : Probar que x^2-7=45y no tiene soluciones enteras.
Slide 18 : Probar que no existe ningun entero que al elevarlo al cuadrado, termine en 181.
Slide 19 : Resolver el siguiente sistema de congruencias:
2x=1 (mod 7)?
x=1 (mod 5)?
2x-3=29-2x (mod 6)?
x+3=5x-3 (mod 2)?
Slide 20 : Resolver los siguientes sistemas de congruencias:
x=1 (mod 2)?
x=0 (mod 2)?
y
x=1 (mod 2)?
x=4 (mod 6)?
Slide 21 : Teorema Chino del Residuo