Slide 1 : Bienvenidos!!! 2a Academia Sabatina Virtual, 7/mar/09
Olimpiadas Matemáticas de Puerto Rico
Arturo Portnoy
Tengan papel y lápiz a la mano, porque
van a necesitarlo para trabajar los
ejercicios.
Slide 2 : Resumen de la 1a academia virtual:
Teoría de números: números enteros
Combinación lineal de a y b: ax+by
Ecuación diofantina lineal: ax+by=c, soluciones enteras
Cuando hay soluciones? Cómo encontrarlas?
Método de superposición
Cómo encontrar una solución particular sin adivinar?
Factorización prima única
mcd(a,b), mcm(a,b)?
Algoritmo de Euclides: mcd(a,b) sin factorización
Euclides: mcd(a,b) como combinación lineal de a y b
Euclides: resuelve completamente el problema diofantino lineal
Slide 3 : Escribir el mcd(99,68) como combinación lineal de 99 y 68.
Slide 4 : Determinar si 15, -9 y 61 son combinación lineal de -24 y
93. En caso afirmativo, escribir una combinación lineal en
cada caso.
Slide 5 : Determinar si 156, -12 y 60 son combinación lineal de 132 y
-92. En caso afirmativo, escribir una combinación lineal en
cada caso.
Slide 6 : Conclusiones:
¿Cuándo tiene soluciones enteras ax+by=c?
¿Cómo las encontramos?
Slide 7 : Encontrar todas las soluciones enteras de 282x-195y=7.
Slide 8 : Encontrar todas las soluciones enteras de 282x-195y=15.
Slide 9 : Encontrar todas las soluciones enteras de 282x-195y=195.
Slide 10 : Congruencias
Supongamos que en este momento son las 10:00 am. Que hora será dentro de
2500 horas? Y qué hora fue hace 2500 horas?
Slide 11 : Decimos que a=b (mod n) si n|a-b.
La congruencia induce una relación de equivalencia en los enteros.
Encontrar las clases de equivalencia módulo 4.
Slide 12 : Encontrar 2 enteros positivos y 2 negativos = 38 (mod 3)?
Slide 13 : Propiedades algebráicas de la congruencia
Slide 14 : Encontrar el residuo módulo 5 de 37^4+49(801)+120
Slide 15 : Principio de sustitución: en sumas y productos en una congruencia podemos
sustituir cantidades congruentes. OJO:
12^6=2^6 (mod 5) pero 2^6 no es congruente a 2^1 (mod 5)?
Slide 16 : Demostrar que módulo 3 y módulo 9, cualquier número es congruente
a la suma de sus dígitos. Estos son los criterios de divisibilidad para el 3 y 9.
Slide 17 : Encontrar el dígito de las unidades de 2(325)+3(8^7)+5104+123^5
Slide 18 : Encontrar el dígito de las unidades de 3^2008+3^2006
Slide 19 : Deducir el criterio de divisibilidad del 11
Slide 20 : Se tienen 2003 tarjetas numeradas. Se remueven de 3 consecutivas en
3 consecutivas hasta quedar 2. Juan dice que quedó la tarjeta 1002. ¿Miente
o dice la verdad?
Slide 21 : Conjuntos de residuos: Zn