Academia Sabatina Virtual I

Slide 1 : Bienvenidos!!! 1a Academia Sabatina Virtual Olimpiadas Matemáticas de Puerto Rico Arturo Portnoy Tengan papel y lapiz a la mano, porque van a necesitarlo para trabajar los ejercicios.

Slide 2 : Encontrar todas las soluciones enteras de 9x+15y=44. Esto se conoce como un problema Diofantino lineal.

Slide 3 : Encontrar todas las soluciones enteras de 9x+15y=42. 9x+15y es una combinación lineal de 9 y 15. Así que este problema se puede describir como encontrar una combinación lineal de 9 y 15 que sea igual a 42.

Slide 4 : Encontrar todas las soluciones enteras de 9x+15y=42. Técnica: superposición.

Slide 5 : ¿Porque unas ecuaciones Diofantinas lineales tienen solución y otras no? ¿Cómo encontramos sistemáticamente todas las soluciones de estas ecuaciones?

Slide 6 : ¿Cómo encontramos el MCD de dos números?

Slide 7 : Encontrar el MCD de 2387 y 3432.

Slide 8 : Dificultades: factorización prima de un número puede ser difícil de encontrar. Sin embargo, el teorema fundamental de la aritmética, que nos habla sobre la unicidad de la factorización prima de un entero, tiene las siguientes implicaciones importantes: Nos hace ver porque el 1 no es primo, ¿Porqué? Hace fácil obtener el mcd de dos números si conocemos sus factorizaciones primas únicas. Hace fácil obtener el # de divisores de un entero si conocemos su factorización prima única. Hace fácil obtener el mcm de dos números si conocemos sus factorizaciones primas únicas, aunque conociendo el mcd podemos conocer inmediatamente el mcm. ¿Porqué?

Slide 9 : Encontrar la factorización prima de 6511131.

Slide 10 : El producto de tres enteros mayores que cero y distintos entre si es 100. Encontrar esos tres enteros.

Slide 11 : Encontrar todas las parejas (a,b) de números enteros positivos tales que ab-3a-2b=6.

Slide 12 : ¿Cuántos números de tres dígitos abc (a?0) son tales que a+3b+c es múltiplo de 3?

Slide 13 : El algoritmo de la división: a=bq+r, 0=r

Slide 14 : Observación: 3432=2387(1)+1045 implica que mcd(3432,2387)=mcd(2387,1045). ¿Porqué?

Slide 15 : El algoritmo de Euclides para encontrar el mcd(2387,3432).

Slide 16 : El algoritmo de Euclides implica que el mcd de dos números se puede escribir como combinación lineal de esos dos números. Hacerlo para el mcd(2387,3432).

Slide 17 : Escribir el mcd(99,68) como combinación lineal de 99 y 68.

Slide 18 : Determinar si 15, -9 y 61 son combinación lineal de -24 y 93. En caso afirmativo, escribir una combinación lineal en cada caso.

Slide 19 : Determinar si 156, -12 y 60 son combinación lineal de 132 y -92. En caso afirmativo, escribir una combinación lineal en cada caso.

Slide 20 : Conclusiones: ¿Cuándo tiene soluciones enteras ax+by=c? ¿Cómo las encontramos?

Slide 21 : Encontrar todas las soluciones enteras de 282x-195y=7.

Slide 22 : Encontrar todas las soluciones enteras de 282x-195y=15.

Slide 23 : Encontrar todas las soluciones enteras de 282x-195y=195.

Slide 24 : ¡SE ACABÓ!