okLrfod la[;k,¡ 1 1 1.1 Hkwfedk d{kk 9 esa] vkius okLrfod la[;kvksa dh [kkst izkjaHk dh vkSj bl izfØ;k ls vkidks vifjes; la[;kvksa dks tkuus dk volj feykA bl vè;k; esa] ge okLrfod la[;kvksa osQ ckjs esa viuh ppkZ tkjh j[ksaxsA ;g ppkZ ge vuqPNsn 1-2 rFkk 1-3 esa /ukRed iw.kk±dksa osQ nks vfr egRoiw.kZ xq.kksa ls izkjaHk djsaxsA ;s xq.k gSa% ;wfDyM foHkktu ,YxksfjFe (dyu fof/) (Euclid’s division algorithm) vkSj vadxf.kr dh vk/kjHkwr izes; (Fundamental Theorem of Arithmetic) A tSlk fd uke ls fofnr gksrk gS] ;wfDyM foHkktu ,YxksfjFe iw.kk±dksa dh foHkkT;rk ls fdlh :i esa lacaf/r gSA lk/kj.k Hkk"kk esa dgk tk,] rks ,YxksfjFe osQ vuqlkj] ,d /ukRed iw.kk±d a dks fdlh vU; /ukRed iw.kk±d b ls bl izdkj foHkkftr fd;k tk ldrk gS fd 'ks"kiQy r izkIr gks] tks b ls NksVk (de) gSA vki esa ls vf/drj yksx 'kk;n bls lkekU; yach foHkktu izfØ;k (long division process) osQ :i esa tkurs gSaA ;|fi ;g ifj.kke dgus vkSj le>us esa cgqr ljy gS] ijarq iw.kk±dksa dh foHkkT;rk osQ xq.kksa ls lacafèkr blosQ vusd vuqiz;ksx gSaA ge buesa ls oqQN ij izdk'k Mkysaxs rFkk eq[;r% bldk iz;ksx nks /ukRed iw.kk±dksa osQ egÙke lekiorZd (HCF) ifjdfyr djus esa djsaxsA nwljh vksj] vadxf.kr dh vk/kjHkwr izes; dk laca//ukRed iw.kk±dksa osQ xq.ku ls gSA vki igys ls gh tkurs gSa fd izR;sd HkkT; la[;k (Composite number) dks ,d vf}rh; :i ls vHkkT; la[;kvksa (prime numbers) osQ xq.kuiQy osQ :i esa O;Dr fd;k tk ldrk gSA ;gh egRoiw.kZ rF; vadxf.kr dh vk/kjHkwr izes; gSA iqu%] ;g ifj.kke dgus vkSj le>us esa cgqr ljy gS] ijarq blosQ xf.kr osQ {ks=k esa cgqr O;kid vkSj lkFkZd vuqiz;ksx gSaA ;gk¡] ge vadxf.kr dh vk/kjHkwr izes; osQ nks eq[; vuqiz;ksx ns[ksaxsA ,d okLrfod la[;k,¡2 xf.kr rks ge bldk iz;ksx d{kk IX esa vè;;u dh xbZ oqQN la[;kvksa] tSls 2 , 3 vkSj 5 vkfn dh vifjes;rk fl¼ djus esa djsaxsA nwljs] ge bldk iz;ksx ;g [kkstus esa djsaxs fd fdlh ifjes; la[;k] eku yhft, ( 0) p q q ≠ , dk n'keyo izlkj dc lkar (terminating) gksrk gS rFkk dc vlkar vkorhZ (non-terminating repeating) gksrk gSA ,slk ge pq osQ gj q osQ vHkkT; xq.ku[kaMu dks ns[kdj Kkr djrs gSaA vki ns[ksaxs fd q osQ vHkkT; xq.ku[kaMu ls pq osQ n'keyo izlkj dh izo`Qfr dk iw.kZr;k irk yx tk,xkA vr%] vkb, viuh [kkst izkjaHk djsaA 1.2 ;wfDyM foHkktu izesf;dk fuEufyf[kr yksd igsyh* ij fopkj dhft,% ,d foozsQrk lM+d ij pyrs gq, vaMs csp jgk FkkA ,d vkylh O;fDr] ftlosQ ikl dksbZ dke ugha Fkk] us ml foozsQrk ls oko~Q&;q¼ izkjaHk dj fn;kA blls ckr vkxs c<+ xbZ vkSj mlus vaMksa dh Vksdjh dks Nhu dj lM+d ij fxjk fn;kA vaMs VwV x,A fooszQrk us iapk;r ls dgk fd ml O;fDr ls VwVs gq, vaMksa dk ewY; nsus dks dgsA iapk;r us fooszQrk ls iwNk fd fdrus vaMs VwVs FksA mlus fuEufyf[kr mÙkj fn;k% nks&nks fxuus ij ,d cpsxk_ rhu&rhu fxuus ij nks cpsaxs_ pkj&pkj fxuus ij rhu cpsaxs_ ik¡p&ik¡p fxuus ij pkj cpsaxs_ N%&N% fxuus ij ik¡p cpsaxs_ lkr&lkr fxuus ij oqQN ugha cpsxk_ esjh Vksdjh eas 150 ls vf/d vaMs ugha vk ldrsA vr%] fdrus vaMs Fks\ vkb, bl igsyh dks gy djus dk iz;Ru djsaA eku yhft, vaMksa dh la[;k a gSA rc mYVs Øe ls dk;Z djrs gq,] ge ns[krs gSa fd a la[;k 150 ls NksVh gS ;k mlosQ cjkcj gSA ;fn lkr&lkr fxusa] rks oqQN ugha cpsxkA ;g a = 7p + 0 osQ :i esa ifjo£rr gks tkrk gS] tgk¡ p dksbZ izko`Qr la[;k gSA * ;g ^U;wesjslh dkmaV~l* (ys[kdx.k ,-jkeiky vkSj vU;) esa nh igsyh dk ,d ifjo£rr :i gSAokLrfod la[;k,¡ 3 ;fn N%&N% fxusa] rks 5 cpsaxsA ;g a = 6q + 5 osQ :i esa ifjo£rr gks tkrk gS] tgk¡ q dksbZ izko`Qr la[;k gSA ik¡p&ik¡p fxuus ij] 4 cpsaxsA ;g a = 5s + 4 esa ifjo£rr gks tkrk gS] tgk¡ s dksbZ izko`Qr la[;k gSA pkj&pkj fxuus ij] 3 cpsaxsA ;g a = 4t + 3, esa ifjo£rr gks tkrk gS] tgk¡ t dksbZ izko`Qr la[;k gSA rhu&rhu fxuus ij 2 cpsaxsA ;g a = 3u + 2 esa ifjo£rr gks tkrk gS] tgk¡ u dksbZ izko`Qr la[;k gSA nks&nks fxuus ij] 1 cpsxkA ;g a = 2v + 1, esa ifjo£rr gks tkrk gS tgk¡ v dksbZ izko`Qr la[;k gSA vFkkZr~] mijksDr izR;sd fLFkfr esa] gekjs ikl nks /ukRed iw.kk±d a vkSj b gSa (fy, x, mnkgj.k esa b osQ eku Øe'k% 7, 6, 5, 4, 3 vkSj 2 gSa)A buesa a dks b ls Hkkx nsus ij 'ks"k r cprk gS (mijksDr esa r osQ eku Øe'k% 0, 5, 4, 3, 2 vkSj 1 gSa) vFkkZr~] r Hkktd b ls NksVk gSA tSls gh ge bl izdkj osQ lehdj.k fy[krs gSa] ge ;wfDyM foHkktu izesf;dk (Euclid’s division lemma) dk iz;ksx dj jgs gSa] ftls izes; 1-1 esa fn;k tk jgk gSA vc viuh igsyh ij okil vkus ij] D;k vki dksbZ ckr lksp dj crk ldrs gSa fd bl igsyh dks oSQls gy djsaxs\ gk¡ ! vki 7 osQ ,sls xq.ktksa dks [kksft, tks mijksDr lHkh izfrca/ksa dks larq"V djasA tk¡p vkSj Hkwy fof/ls vki Kkr dj ldrs gSa fd vaMksa dh la[;k 119 FkhA bl ckr dk vuqHko djus osQ fy, fd ;wfDyM foHkktu izesf;dk D;k gS] iw.kk±dksa osQ fuEufyf[kr ;qXeksa ij fopkj dhft,% (i) 17, 6 (ii) 5, 12 (iii) 20, 4 tSlk fd geus igsyh okys mnkgj.k esa fd;k Fkk] ;gk¡ Hkh ge izR;sd ;qXe osQ fy, laca/fy[k ldrs gSa tSlk fd uhps n'kkZ;k x;k gSA (i) 17 = 6 × 2 + 5 (17 esa 6 nks ckj tkrk gS vkSj 'ks"k 5 cprk gS) (ii) 5 = 12 × 0 + 5 (;g laca/blfy, lgh gS] D;ksafd 12] 5 ls cM+k gS) (iii) 20 = 4 × 5 + 0 (20 esa 4 ik¡p ckj tkrk gS vkSj oqQN 'ks"k ugha cprk) vFkkZr~ /ukRed iw.kk±dksa a vkSj b osQ izR;sd ;qXe osQ fy,] geus ,slh iw.kZ la[;k,¡ q vkSj r Kkr dj pqosQ gSa fda = bq + r, 0 ≤ r < b gSA4 xf.kr è;ku nhft, fd q ;k r 'kwU; Hkh gks ldrs gSaA vc vki /ukRed iw.kk±dksa a vkSj b osQ fuEufyf[kr ;qXeksa osQ fy, iw.kk±d q vkSj r Kkr djus dk iz;Ru dhft,% (i) 10, 3 (ii) 4, 19 (iii) 81, 3 D;k vki è;ku ns jgs gSa fd q vkSj r vf}rh; gSa\ ;s gh osQoy ,sls iw.kk±d gSa] tks izfrca/ksa a = bq + r, 0 ≤ r < b dks larq"V djrs gSaA vkius ;g Hkh le> fy;k gksxk fd ;g yach foHkktu izfØ;k osQ vfrfjDr oqQN Hkh ugha gS] ftls vki brus o"kks± rd djrs pys vk, gSa rFkk q vkSj r dks Øe'k% HkkxiQy (quotient) vkSj 'ks"kiQy (remainder) dgk tkrk gSA. bl ifj.kke dk vkSipkfjd dFku fuEufyf[kr gS% izes; 1.1 (;wfDyM foHkktu izesf;dk) : nks /ukRed iw.kk±d a vkSj b fn, jgus ij] ,slh vf}rh; iw.kZ la[;k,¡ q vkSj r fo|eku gSa fd a = bq + r, 0 ≤ r < b gSA bl ifj.kke dh tkudkjh laHkor% cgqr igys le; ls Fkh] ijarq fyf[kr :i esa bldk loZizFke mYys[k ;wfDyM ,yhesaV~l (Euclid's Elements) dh iqLrd VII esa fd;k x;kA ;wfDyM foHkktu ,YxksfjFe (dyu fof/) blh izesf;dk (Lemma) ij vk/kfjr gSA ,YxksfjFe lqifjHkkf"kr pj.kksa dh ,d Ük`a[kyk gksrh gS] tks ,d fo'ks"k izdkj dh leL;k dks gy djus dh ,d izfØ;k ;k fof/iznku djrh gSA 'kCn ^,YxksfjFke* 9oha 'krkCnh osQ ,d iQkjlh xf.krK vy&[okfjT+keh osQ uke ls fy;k x;k gSA okLro esa] 'kCn ^,ytcjk* (Algebra) Hkh bUgha dh fyf[kr iqLrd ^fglkc vy&T+kcj ok vy eqdkcyk* ls fy;k x;k gSA izesf;dk ,d fl¼ fd;k gqvk dFku gksrk gS vkSj bls ,d vU; dFku dks fl¼ djus esa iz;ksx djrs gSaA ;wfDyM foHkktu ,YxksfjFe nks /ukRed iw.kk±dksa dk HCF ifjdfyr djus dh ,d rduhd gSA vkidks ;kn gksxk fd nks /ukRed iw.kk±dksa a vkSj b dk HCF og lcls cM+k iw.kk±d d gS] tks a vkSj b nksuksa dks (iw.kZr;k) foHkkftr djrk gSA eqgEen bCu ewlk vy&[okfjT+keh (780 – 850 bZ-)okLrfod la[;k,¡ 5 vkb, lcls igys ,d mnkgj.k ysdj ns[ksa fd ;g ,YxksfjFe fdl izdkj dk;Z djrk gSA eku yhft, gesa iw.kk±dksa 455 vkSj 42 dk HCF Kkr djuk gSA ge cM+s iw.kk±d 455 ls izkjaHk djrs gSaA rc ;wfDyM izesf;dk ls] gesa izkIr gksrk gS% 455 = 42 × 10 + 35 vc Hkktd 42 vkSj 'ks"kiQy 35 ysdj] ;wfDyM izesf;dk dk iz;ksx djus ij] gesa izkIr gksrk gS% 42 = 35 × 1 + 7 vc] Hkktd 35 vkSj 'ks"kiQy 7 ysdj] ;wfDyM izesf;dk dk iz;ksx djus ij] gesa izkIr gksrk gS% 35 = 7 × 5 + 0 è;ku nhft, fd ;gk¡ 'ks"kiQy 'kwU; vk x;k gS rFkk ge vkxs oqQN ugha dj ldrsA ge dgrs gSa fd bl fLFkfr okyk Hkktd] vFkkZr~ 7 gh 455 vkSj 42 dk HCF gSA vki bldh lR;rk dh tk¡p 455 vkSj 32 osQ lHkh xq.ku[kaMksa dks fy[kdj dj ldrs gSaA ;g fof/fdl dkj.k dk;Z dj tkrh gS\ bldk dkj.k ;wfDyM foHkktu ,YxksfjFe gS] ftlosQ pj.kksa dks uhps Li"V fd;k tk jgk gS% nks /ukRed iw.kk±dksa] eku yhft, c vkSj d (c > d) dk HCF Kkr djus osQ fy, uhps fn, gq, pj.kksa dk vuqlj.k dhft,% pj.k 1 : c vkSj d osQ fy, ;wfDyM foHkktu izesf;dk dk iz;ksx dhft,A blfy,] ge ,sls q vkSj r Kkr djrs gSa fd c = dq + r, 0 ≤ r < d gksA pj.k 2 : ;fn r = 0 gS] rks d iw.kk±dksa c vkSj d dk HCF gSA ;fn r ≠ 0 gS] rks d vkSj r osQ fy,] ;wfDyM foHkktu izesf;dk dk iz;ksx dhft,A pj.k 3 : bl izfØ;k dks rc rd tkjh jf[k,] tc rd 'ks"kiQy 0 u izkIr gks tk,A blh fLFkfr esa] izkIr Hkktd gh okafNr HCF gSA ;g ,YxksfjFe blfy, izHkko'kkyh gS] D;ksafd HCF (c, d) = HCF (d, r) gksrk gS] tgk¡ laosQr HCF (c, d) dk vFkZ gS c vkSj d dk HCFA mnkgj.k 1 : 4052 vkSj 12576 dk HCF ;wfDyM foHkktu ,YxksfjFe dk iz;ksx djosQ Kkr dhft,A6 xf.kr gy : pj.k 1 : ;gk¡ 12576 > 4052 gSA ge 12576 vkSj 4052 ij ;wfDyM izesf;dk dk iz;ksx djus ij] izkIr djrs gSa% 12576 = 4052 × 3 + 420 pj.k 2 : D;ksafd 'ks"kiQy 420 ≠ 0 gS] blfy, ge 4052 vkSj 420 osQ fy, ;wfDyM izesf;dk dk iz;ksx djosQ fuEufyf[kr izkIr djrs gSa% 4052 = 420 × 9 + 272 pj.k 3 : ge u, Hkktd 420 vkSj u, 'ks"kiQy 272 dks ysdj ;wfDyM izesf;dk dk iz;ksx djosQ] fuEufyf[kr izkIr djrs gSa% 420 = 272 × 1 + 148 vc] ge u, Hkktd 272 vkSj u, 'ks"kiQy 148 ij ;wfDyM izesf;dk dk iz;ksx djosQ izkIr djrs gSa% 272 = 148 × 1 + 124 vc] ge u, Hkktd 148 vkSj u, 'ks"kiQy 124 ij ;wfDyM foHkktu izesf;dk dk iz;ksx djosQ izkIr djrs gSa% 148 = 124 × 1 + 24 vc] ge u, Hkktd 124 vkSj u, 'ks"kiQy 24 ij ;wfDyM izesf;dk yxk dj] izkIr djrs gSa% 124 = 24 × 5 + 4 vc] ge u, Hkktd 24 vkSj u, 'ks"kiQy 4 dks ysdj ;wfDyM foHkktu izesf;dk dk iz;ksx djosQ] izkIr djrs gSa% 24 = 4 × 6 + 0 ;gk¡ 'ks"kiQy 0 izkIr gks x;k gSA blfy, izfØ;k ;gk¡ lekIr gks tkrh gSA pw¡fd bl fLFkfr esa Hkktd 4 gS] blfy, 12576 vkSj 4052 dk HCF 4 gSA è;ku nhft, fd HCF (24, 4) = HCF (124, 24) = HCF (148, 124) = HCF (272, 148) = HCF (420, 272) = HCF (4052, 420) = HCF (12576, 4052) gSA ;wfDyM foHkktu ,YxksfjFe u osQoy cM+h la[;kvksa osQ HCF ifjdfyr djus esa mi;ksxh gS] vfirq ;g blfy, Hkh egRoiw.kZ gS fd ;g mu ,YxksfjFeksa esa ls ,d gS] ftudk oaQI;wVj esa ,d izksxzke osQ :i esa lcls igys iz;ksx fd;k x;kA fVIi.kh : 1. ;wfDyM foHkktu izesf;dk vkSj ;wfDyM foHkktu ,YxksfjFe ijLij brus var£ufgr gaS fd yksx izk;% ;wfDyM foHkktu izesf;dk dks gh ;wfDyM foHkktu ,YxksfjFe dgrs gSaA 2. ;|fi ;wfDyM foHkktu izesf;dk@,YxksfjFe dks osQoy /ukRed iw.kk±dksa osQ fy, ghokLrfod la[;k,¡ 7 fy[kk x;k gS] ijarq bls lHkh iw.kk±dksa ('kwU; dks NksM+dj vFkkZr b ≠ 0) osQ fy, ykxw fd;k tk ldrk gSA ;|fi] ge ;gk¡ bl rF; ij fopkj ugha djsaxsA ;wfDyM foHkktu izesf;dk@,YxksfjFe osQ la[;kvksa osQ xq.kksa ls lacaf/r vusd vuqiz;ksx gSaA ge bu vuqiz;ksxksa osQ oqQN mnkgj.k uhps ns jgs gSa% mnkgj.k 2 : n'kkZb, fd izR;sd /ukRed le iw.kk±d 2q osQ :i dk gksrk gS rFkk izR;sd /ukRed fo"ke iw.kk±d 2q + 1 osQ :i dk gksrk gS] tgk¡ q dksbZ iw.kk±d gSA gy : eku yhft, a dksbZ /ukRed iw.kk±d gS rFkk b = 2 gSA rc ;wfDyM foHkktu ,YxksfjFe ls] fdlh iw.kk±d q ≥ 0 osQ fy, a = 2q + r gS tgk¡ r = 0 gS ;k r = 1 gS] D;ksafd 0 ≤ r < 2 gSA blfy,] a = 2q ;k a = 2q + 1 gSA ;fn a = 2q gS rks ;g ,d le iw.kk±d gSA lkFk gh] ,d /ukRed iw.kk±d ;k rks le gks ldrk gS ;k fo"keA blfy, dksbZ Hkh /ukRed fo"ke iw.kk±d 2q + 1 osQ :i dk gksxkA mnkgj.k 3 : n'kkZb, fd ,d /ukRed fo"ke iw.kk±d 4q + 1 ;k 4q + 3 osQ :i dk gksrk gS] tgk¡ q ,d iw.kk±d gSA gy : vkb, ,d /ukRed fo"ke iw.kk±d a ysdj] iz'u dks gy djuk izkjaHk djsaA ge a vkSj b = 4 esa foHkktu ,YxksfjFe dk iz;ksx djrs gSaA p¡wfd 0 ≤ r < 4 gS] blfy, laHkkfor 'ks"kiQy 0, 1, 2 vkSj 3 gSaA vFkkZr~ a la[;kvksa 4q, 4q + 1, 4q + 2 ;k 4q + 3 osQ :i dk gks ldrk gS tgk¡ q HkkxiQy gSA pw¡fd a ,d fo"ke iw.kk±d gS] blfy, ;g 4q vkSj 4q + 2 osQ :i dk ugha gks ldrk (D;ksafd nksuksa 2 ls foHkkT; gSa)A blfy,] dksbZ Hkh /ukRed fo"ke iw.kk±d 4q + 1 ;k 4q + 3 osQ :i dk gksxkA mnkgj.k 4 : ,d feBkbZ foozsQrk osQ ikl 420 dktw dh c£iQ;k¡ vkSj 130 cknke dh c£iQ;k¡ gSaA og budh ,slh b) dk HCF uhps n'kkZbZ fof/}kjk izkIr fd;k tkrk gS% pj.k 1 : q vkSj r Kkr djus osQ fy, ;wfDyM foHkktu izesf;dk dk iz;ksx dhft,] tgk¡ a = bq + r, 0 ≤ r < b gSA pj.k 2 : ;fn r = 0 gS rks HCF = b gSA ;fn r ≠ 0 gS rks b vkSj r ij ;wfDyM foHkktu izesf;dk dk iz;ksx dhft,A pj.k 3 : bl izfØ;k dks rc rd tkjh jf[k, tc rd 'ks"kiQy 'kwU; u izkIr gks tk,A bl fLFkfr okyk Hkktd gh HCF (a, b) gSA lkFk gh] HCF (a, b) = HCF (b, r) 3. vadxf.kr dh vk/kjHkwr izes;% izR;sd HkkT; la[;k dks vHkkT; la[;kvksa osQ ,d xq.kuiQy osQ :i esa O;Dr (xq.ku[kafMr) fd;k tk ldrk gS rFkk ;g xq.ku[kaMu vf}rh; gksrk gS] bl ij dksbZ è;ku fn, fcuk fd vHkkT; xq.ku[kaM fdl Øe esa vk jgs gSaA 4. ;fn p dksbZ vHkkT; la[;k gS vkSj p, a2 dks foHkkftr djrk gS rks p, a dks Hkh foHkkftr djsxk] tgk¡ a ,d /ukRed iw.kk±d gSA 5. miifÙk fd 2, 3 bR;kfn vifjes; la[;k,¡ gSaA 6. eku yhft, x ,d ifjes; la[;k gS ftldk n'keyo izlkj lkar gSA rc] ge x dks pq osQ :i esa O;Dr dj ldrs gSa] tgk¡ p vkSj q lgvHkkT; gSa rFkk q dk vHkkT; xq.ku[kaMu 2n5m osQ :i dk gS] tgk¡ n, m ½.ksrj iw.kk±d gSaA22 xf.kr 7. eku yhft, x = pq ,d ,slh ifjes; la[;k gS fd q dk vHkkT; xq.ku[kaMu 2n5m osQ :i dk gS] tgk¡ n, m ½.ksrj iw.kk±d gSa rks x dk n'keyo izlkj lkar gksxkA 8. eku yhft, x = pq ,d ,slh ifjes; la[;k gS fd q dk vHkkT; xq.ku[kaMu 2n 5m osQ :i dk ugha gS] tgk¡ n, m ½.ksrj iw.kk±d gSa rks x dk n'keyo izlkj vlkar vkorhZ gksxkA ikBdksa osQ fy, fo'ks"k vkius ns[kk fd% HCF ( p, q, r) × LCM (p, q, r) ≠ p × q × r, tgk¡ p, q, r /ukRed iw.kk±d gSa (mnkgj.k 8 nsf[k,)A tcfd fuEu ifj.kke rhu la[;kvksa p, q vkSj r ij ykxw gksrk gS% LCM (p, q, r) = HCF( , , ) HCF( , ) HCF( , ) HCF( , ) p q r p q r pq qr pr ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ HCF (p, q, r) = LCM( , , ) LCM( , ) LCM( , ) LCM( , ) p q r p q r pq qr pr ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅