Lemniascata de Bernoulli

Introduccion a las Funciones Vectoriales La Lemniscata de Bernoulli Un ejemplo de una curva que se puede trazar con un mecanismo tres-barras es la Lemniscata de Bernoulli Vamos a demostrar que este mecanismo articulado de tres-barras dibuja en efecto una Lem- niscata. Denicion 1. Los puntos sobre la lemniscata satisfacen: El producto de sus distancias a dos puntos jos llamados focos es constante Necesitaremos otra herramienta conocida como El Teorema de Apolonio o Teorema de Stewart, que dice que en cualquier triangulo 4ABC se cumple la siguiente relacion m a2 + n b2 = c CM2 + m n2 + n m2 Segun el teorema de Apolonio se tiene que en el triangulo 4AA0B0 e j2 + f a2 = A0B0 r2 + e f2 + f e2 d2 j2 + d2 a2 = d r2 + d2 d2 4 + d2 d2 4 d2 j2 + a2= d2 2 r2 + d2 2 j2 + a2 = 2 r2 + d2 2 j2 = 2 r2 ) j = p2 r Analogamente se demuestra que k = p2 s Segun Ptolomeo La suma de los productos de lados opuestos es igual al producto de las diagonales ) j K + a a = d (e + f) 1j K + a2 = d2 p2 r p2 s + a2 = 2 a2 r s = a2 2 ) r s es constante, asla curva descrita por M es el lugar geometrico de los puntos cuyo producto de distancias a dos puntos jos es constante (Lemniscata) 2