Trisección del Ángulo

Introduccion a las Funciones Vectoriales El problema de la Triseccion del angulo Los Griegos fueron los primeros en utilizar la regla y el compas como instrumentos de trazo en las construcciones geometricas, aunque fueron rapidamente detenidos por problemas de construccion como son la triseccion del angulo (dado un angulo dividirlo en tres partes iguales) y la duplicacion del cubo (construir un cubo de dos veces el volumen de un cubo dado). Ellos no eran capaces de resolver estos problemas con estos aparatos. Para abordar estos problemas, los giegos construyeron nuevos instrumentos. Algunos pensaron que Platon haba inventado algunos de ellos; sin embargo Platon culpa a algunos de sus discpulos (Menecmo, Eudoxo,...) por usar estos instrumentos alterando la pureza de la geometra; esta postura es mas coherente con la teora de Platon. Uno de los que trabajo en la duplicacion del cubo y la triseccion del angulo fue Nico- medes utilizando una especie de regla de su propia invencion (ver gura). Triplicar un angulo con regla y compas es posible, veamos, sea\XOY un angulo ahora tomemos un punto B arbritario sobre OY y tracemos una circunferencia de centro B y que pase por O, a la interseccion de esta circunferencia con OX llamemosla A. A su vez, tomamos A de centro y con radio AB trazamos un crculo que intersecta a OY en C, la semirecta AZ es tal que su angulo es 3\XOY (ver gura) Demostracion. Tenemos que \ABC = \ACB pues el triangulo BAC es isoceles ya que BA=AC, tambien \BOA = \OAB. Por la suma de los angulos internos de un triangulo \CAB + 2\ACB = 180 y \XAC + \CAB + \OAB = 180 ) \XAC + \CAB + \OAB = \CAB + 2\ACB ) \XAC + \OAB = 2\ACB Por otro lado \OBA+\ABC = 2\AOB+\OBA ) \ABC = 2\AOB ) 2\ABC = 4\AOB ) \XAC+ \OAB = 4\AOB ) \XAC = 3\AOB 1Inversamente si el angulo\XAZ esta dado debe tomarse arbitrariamente C sobre AZ y se determina CO, donde el punto O esta sobre la prolongacion de AX. Sea D el punto de interseccion distinto de O de la recta OY con el primer crculo trazado; D esta sobre la perpendicular AX0 a AX y la recta OY que pasa por C esta determinada por la igualdad DO=2CA; la longitud DO es por tanto conocida. El problema: dados un angulo recto XAX0, una longitud d y un punto C, construir una recta que pase por C tal que jODj = d donde D y O son las intersecciones con AX0 y con AX respectivamente. A veces se le da el nombre del problema de Pappus. Viete lo menciona como fundamental para la subdivision de angulos. Nicomedes empleo una regla con 2 puntos de referencia ! y a una distancia OD = d dicha regla tena una ranura, el eje de la regla es la recta que une ! con (ver gura).En la ranura se desplazara libremente un punto - jo C del plano. Cuando se mueve la regla, de modo que el punto este sobre AX0, el punto ! describe una curva cuya interseccion con el eje AX es el punto O buscado. Demostracion. Sea OD tal que OD = d = 2CA tenemos que dado el angulo\XAC, MA=AC ya que el triangulo 4AMC es isoceles por ser OD = 2CA por lo tanto\CMA =\ACM se tiene tambien que\XAC +\MAC +\OAM =\MAC + 2\AMC. Por tanto\XAC +\OAM = 2\AMC si\AMC = 2\OAM entonces 2\AMC = 4\OAM por lo tanto de 2\AMC =\XAC + \OAM se tiene que 4\OAM =\XAC +\OAM por tanto 3\OAM =\XAC. Al ser isoceles el triangulo 4OAM entonces\OAM =\AOM y por lo tanto 3\AOM =\XAC Por lo tanto basta comprobar que\AMC = 2\OAM. Se tiene que\OMA +\AMC = 2\OAM +\OMA por lo tanto\AMC = 2\OAM 2