Kopiereg voorbehou Blaai om asb PUNTE: 150 Hierdie memorandum bestaan uit 34 bladsye. WISKUNDE V2 NOVEMBER 2010 MEMORANDUM NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 12Wiskunde/V2 2 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb NOTA: • As ‘n kandidaat’n vraag TWEE keer beantwoord, merk net die EERSTE poging. • As ‘n kandidaat ‘n antwoord deurhaal en nie oordoen nie, merk die deurgehaalde antwoord. • Konstante Akkuraatheid moet deurgaans in die memorandum toegepas word. VRAAG 1 1.1 Die Datastel 9 14 14 19 21 23 33 35 37 37 42 45 55 56 57 59 68 75 75 75 77 78 80 81 92 Min = 9 Maks = 92 K3 = Boonste Kwartiel = 75 K1 = Onderste Kwartiel = 28 (6de getal is 23. 7de getal is 33. Die getal in posisie 6,25 is 23 + 5 , 25 ) 23 33 ( 41 = − (Aanvaar K1= 25,5 ) K2 = Mediaan = 55 Vyf getal opsomming is (9 ; 28 ; 55 ; 75 ; 92) OF (9 ; 25,5 ; 55 ; 75 ; 92) min & max boonste kwartiel onderste kwartiel mediaan (4) 1.2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 blok spriet (2) Klas A Klas B K3 K2 K1 Nota: As die kandidaat die antwoord van 1.1 en 1.2 kombineer deur die korrekte blok en spriet diagram te teken in 1.2 en die getalle op die diagram inskryf (d.i. ons merk vraag 1.1 en 1.2 gekombineer), maks 5 /6 punte vir vraag 1.1 en 1.2 As ‘n kandidaat getalle in enige orde in 1.1 skryf en die blok en spriet diagram korrek teken, maar nie die getalle op die diagramaandui nie, maks 5 /6 punte vir vraag 1.1 en 1.2 As ‘n kandidaat slegs die blok en spriet diagram teken in 1.2 en nie waardes daarop aandui nie of 1.1 beantwoord, maks 2 /6 punte As die kandidaat twee diagramme (een in antwoordboek en een op diagramblad), merk die een op die ANTWOORDBLAD. Nota: Penaliseer met 1 as geen byskrifte of as getalle nie in stygende orde is nie Wiskunde/V2 3 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb 1.3 Klas B Klas B het beter presteer omdat die helfte van die aantal leerders bokant 60% behaal het, terwyl die helfte van Klas A meer as 55% behaal het. Klas B het beter presteer omdat die helfte van die aantal leerders bokant 60% behaal het, terwyl die helfte van Klas A minder as 55% behaal het. Mediaan van Klas B > Mediaan van Klas A OF Klas B Klas B is meer skeefgetrek na links as Klas A. OF Klas A 25% van klas het 75% of meer behaal in Klas A terwyl 25% van die klas 70% of meer behaal het in Klas B. Hoogste Punt in Klas A > Hoogste Punt in Klas B. Nota: As kandidaat se antwoord: Kan nie bepaal watter klas beter presteer het nie, omdat nie genoeg informasie gegee is nie en nie presies weet waar die punte voorkom nie. maks 1 /3 Nota: As kandidaat slegs antwoord Klas A of Klas B sonder enige redes, 0 /3 marks Klas B mediaan Klas B > Mediaan Klas A (3) Klas B Klas B meer skeefgetrek na links as A (3) Klas A hoogste A > hoogste B 25% van A bokant 75% en 25% van B bokant 70% (2) [9] Wiskunde/V2 4 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb VRAAG 2 2.1 EKSAMENPUNTE (x) FREKWENSIE KUMULATIEWE FREKWENSIE 40 30 < ≤ x 12 12 50 40 < ≤ x 18 30 60 50 < ≤ x 55 85 70 60 < ≤ x 57 142 80 70 < ≤ x 43 185 90 80 < ≤ x 11 196 100 90 < ≤ x 4 200 eerste 3 waardes laaste 4 waardes (2) 2.2 vorm (punte moet nie met ‘n reguitlyn verbind word nie, nie met ‘n liniaal verbind word nie) ankerpunt (30 ; 0) gebruik die boonste limiet gebruik kumulatiewe frekwensie as 4 of meer punte korrek afgesteek is (5) 2.3 200 – 165 = 35 learners OF antwoord (1) Kumulatiewe frekwensiegrafiek van eksamenpunte 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Eksamenpunte Kumulatiewe Frekwensie Nota: As leerders die middelpunt van die interval en die kumulatiewe frekwensie gebruik maks 1 /5 punte vir vorm As kandidate die onderste limiet en die kumulatiewe frekwensie gebruik maks 1 /5 punte Nota: Aanvaar enigeen van 34, 35 of 36 Wiskunde/V2 5 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb 5 , 36 5 , 163 200 5 , 163 2185 142 = − = + antwoord (1) [8] VRAAG 3 3.1 Mean 12 2404 12 184 160 249 265 185 168 161 144 239 221 211 217 = + + + + + + + + + + + = = 200,33 antwoord (2) Slegs antwoord: Volpunte 3.2 Met behulp van ‘n sakrekenaar: 37 , 37 = σ OF Pen en papier metode: gemiddelde ( 33 , 200 ) = x x x x − ( )2 x x − 217 16,67 277,889 211 10,67 113,848 221 20,67 427,248 239 38,67 1495,368 144 -56,33 3173,0689 161 -39,33 1546,848 168 -32,33 1045,228 185 -15,33 235,008 265 64,67 4182,208 249 48,67 2368,768 160 -40,33 1626,508 184 -16,33 266,668 SOM 16758,666 37 , 37 126668 , 16758 = = σ antwoord (3) totaal substitusie antwoord (3) 3.3 200,33+1(37,37) = 237,70 liter Aanvaar enigiets insluitend en tussen 237 en 238 liter. metode antwoord (2) [7] Nota: As kandidaat se antwoord 200,33 – 1(37,37) = 162,96 liter Maks 1 /2 punte Nota: Penaliseer 1 vir verkeerde afronding Nota: Geen penalisering vir afronding Aanvaar 37 Wiskunde/V2 6 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb VRAAG 4 4.1 Fly High antwoord (1) 4.2 45 , 40 9 , 7 1000 5120 = × OF 96 , 40 8 1000 5120 = × OF 405 8=× Ja berekening lei na ‘n getal naby 40 (1) 4.3 Ja. Die datapunte stel ‘n reguitlyn paslyn voor met negatiewe gradient, met Fly-High ‘n uitskieter . OF Ja. Swak negatiewe korrelasie. (r = -0,2128075984) OF Ja, Best Air en Best Fly en Alpha het ‘n hoë rekord vir betyds land en ‘n lae rekord vir verlore bagasie. As een of meer voorbeelde gebruik word om die antwoord JA te regverdig, gee een punt. Nota: As die kandidaat aandui “Best Air” en/of “Best Fly” en/of “Alpha” het hoë rekord vir betyds arriveer en lae verlore bagasie, Maks 1 /2 punte Ja negatiewe gradient (2) Ja negatiewe korrelasie (2) Ja rede (2) 4.4 Alpha, 70% rekord vir betyds land en minste verlore bagasie OF Best Air, beste rekord vir betyds aankom (arriveer) Naam van maatskappy korrekte regverdiging (2) [6] Wiskunde/V2 7 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb VRAAG 5 5.1.1 21 6 3 ) 3 ( 3 4 7 AD == − −− = = AC m m OF 21 63 ) 3 ( 3 7 4 AD = −− = − − − = m substitusie van A en C in korrekte formule antwoord (2) 5.1.2 25 410 ) 3 ( 1 4 6 − = − = − − − − = BC m OF 254 10 ) 1 ( 3 ) 6 ( 4− = − = − − − − = BC m antwoord (1) 5.2 ° ≈ ° = ° = ° − ° = ° = = − = ° = = = 2 , 85 85,24 85,236359 .. 26,56505.. 5... 409 111,801 B CˆD 095 814 , 111 tan 25 .... 56505 , 26 O DˆC O DˆC tan 21 . mmBC ADα α OF ° 57 , 26 ° 80 , 111 antwoord (3) x y D C(−3 ; 4) G(a ; b) A(3 ; 7) B(1 ; −6) Mα O β (x ; 0) P Nota: As kandidaat se antwoord x m − = 3 7 AD slegs 1 /2 punte Wiskunde/V2 8 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb ° = ° = ° + ° − ° = ° = − ° = − ° ° == ∧∧ 85,24 85,236359 ) ... 19859051 , 68 .. 26,56505.. ( 180 B CˆD ... 19859051 , 68 180 25 ) 180 tan( .... 56505 , 26 21 tan α α CDO CDO OF ( )( ) ° == − + − − = + − = − = ∧ ∧ 24 , 85 B CˆD 12 1 . 1 B CˆD tan 21 25 21 25 CD CB CD CB m m m m CDO DCB α OF ° = ° − ° = ° = − = − + = − + ==== 24 , 85 ... 76 , 94 180 B CˆD ... 76 , 94 B CˆA ... 083045 , 0 ) 116 )( 43 ( 2 173 116 45 AC.BC 2 AB BC AC B CˆA cos 173 AB 116 BC 45 AC 2 2 2 OF ° 57 , 26 68,2° antwoord (3) CD CB CD CB m m m m . 1 B CˆD tan + − = substitusie antwoord (3) cos reël substitusie in cos reël antwoord (3) Wiskunde/V2 9 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb D(– 11 ; 0) ° == − + = − + ==== 24 , 85 B CˆD ... 5 0830454798 , 0 ) 116 )( 80 ( 2 180 116 80 DC.BC 2 DB BC DC B CˆD cos 180 DB 116 BC 80 DC 2 2 2 OF Vergelyking AC: 11 2 + = x y D(– 11 ; 0) C(– 3 ; 4) 80 ) 0 4 ( ) 11 3 ( ) ( ) ( DC 2 2 2 2 2 = − + + − = − + − = D C D C y y x x Vergelyking BC: 7 5 2 − − = x y P( ) 0 ; 57 − 25 464 ) 0 4 ( ) 3 ( PC 2 2 57 2 = − + + − = 25 2304 ) 11 ( DP 2 57 2 = + − = In ΔDCP: P CˆD cos DC.CP. 2 CP DC DP 2 2 2 − + = ° == ⎟ ⎟⎠⎞ ⎜ ⎜⎝⎛ ⎟ ⎟⎠⎞ ⎜ ⎜⎝⎛ − + =85,24 P CˆD . 85,23635.. P CˆD P CˆD cos . 5 464 5 2000 2 25 464 25 2000 25 2304 cos reël substitusie in cos reël antwoord cos reël substitusie in cos reël antwoord (3) Wiskunde/V2 10 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb 5.3 ( ) 0 11 2 2 11 21 3 21 7 = + − + = − = − y x x y x y OF ( ) 0 11 2 2 11 21 3 21 4 = + − + = + = − y x x y x y OF 0 11 2 2 11 212 11 ) 3 ( 21 ) 7 ( 21 = + − + = = + = + = y x x yc c c x y OF D(– 11 ; 0) ( ) 0 11 2 2 11 21 11 21 0 = + − + = + = − y x x y x y substitusie van (3 ; 7) in ( ) 1 1 x x m y y − = − antwoord in enige vorm (2) substitusie van (– 3 ; 4) in ( ) 1 1 x x m y y − = − antwoord in enige vorm (2) substitusie van (3 ; 7) in y = mx + c antwoord in enige vorm (2) substitusie van (– 11 ; 0) in ( ) 1 1 x x m y y − = − antwoord in enige vorm (2) 5.4 ( ) 1 ; 1 ) ; ( M 2 6 4 ; 2 1 3 ) ; ( M − − = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − + − = y x y x substitusie antwoord (2) Nota: As kandidaat antwoord laat as ( ) 3 21 7 − = − x y or ( ) 3 21 4 + = − x y Maks 1 /3 Wiskunde/V2 11 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb 5.5 1 2 line on the lies 1 21 ) 1 ( 2 1 2 2 ) 1 ( 3 ) 1 ( 7+ = ∴ + = = ∴ + − = − + = = − − − − = a b G x y c c c x ymAM OF 1 21 2 4 4 8 3 3 7 7 ) 3 )( 1 ( ) 1 )( 7 ( 11 37 + = − = − − = − − + − = − − + − + = + − ++ = −− a bb a b a a ab b b ab a a b a b ab ab OF Gebruik die punt (– 1 ; – 1) 1 2 2 2 1 2 11 48 11 + = + = + = ++ = ++ a b a babab OF Gebruik die punt (3 ; 7) 1 2 2 6 7 2 37 48 37 + = − = − = −− = −− a b a babab gradient = 2 substitusie (– 1 ; – 1) c = 1 afleiding (4) ab −− 37 11 ++ ab gelykstel aan vereenvoudiging lei na 1 2 − = − b a (4) substitusie OF (– 1 ; – 1) into gradient gradient = 2 gelykstel aan vereenvoudiging lei na 2 2 1 + = + a b (4) substitusie van (3 ; 7) in gradient gradient = 2 equating vereenvoudiging lei na a b 2 6 7 − = − (4) Nota: As die kandidaat nie aflei b = 2a + 1 vanuit y = 2x+ 1: maks 3 /4 punte Wiskunde/V2 12 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb 5.6 3 or 57 1 or 51 0 ) 1 )( 1 5 ( 0 1 6 5 0 17 9 12 4 9 6 17 ) 4 1 2 ( ) 3 ( 17 ) 4 ( ) 3 ( 17 GC 17 GC2 2 2 2 2 2 2 2 = = ∴ = = = − − = + − = − + − + + + = − + + + = − + + = = b b a a a a a a a a a a a a b a OF ( ) 3 of 57 ) 3 )( 7 5 ( 0 21 22 5 0 89 22 5 68 4 64 32 4 25 10 17 4 2 5 17 ) 4 ( 3 2 1 17 ) 4 ( ) 3 ( 17 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = ∴ − − = + − = + − = + − + + + = − + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = − + ⎟ ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − = − + + = − = b b b b b b b b b b b b b b b b b a b a afstand formule in terme van a en b substitusie van b = 2a + 1 standaardvorm faktore of korrekte substitusie in formule waardes van a waardes van b (6) 2 1 − = b a afstandformule in terme van a en b substitusie van 2 1 − = b a standaardvorm faktore of korrekte substitusie in formule waardes van b (6) [20] Nota: As ‘n kandidaat a en b omruil: max 2 /6 marks Wiskunde/V2 13 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb VRAAG 6 x y O P M(−4 ; 4) L N Q 6.1 8 84 4 1 11 12 + = = ∴ + − = + = = −− = ∴ − = + − = x y c c c x y m m x y LN LP OF 8 ) 4 ( 1 4 + = + = − x y x y 1 − = LP m 1 = LN m vergelyking (3) m = 1 substitusie in ) 1 1 ( x x m y y − = − antwoord (3) 6.2 ) 5 ; 3 L( 5 8 336 2 2 8 − = + − = − = − = + − = + yyxx x x OF 5) 3; L( 3 5 10 2 2 .( .......... 8 ) 1 .( .......... 2 − − = ∴ = ∴ = = − = +xy y x y x y x-waarde y-waarde (2) (vergelykings wat tot die waardes lei moet gebruik word) Nota: As kandidaat antwoord laat as y – 4 = x + 4 Maks 2 /3 Slegs antwoord: Volpunte Nota: Geen penalisering as antwoord in koordinaatvorm gelaat word nie Wiskunde/V2 14 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb 6.3 2 ) 4 ( ) 4 ( 2 ) 4 5 ( ) 4 3 ( ) 4 ( ) 4 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + + = ∴ = − + + − = − + + y xr r r y x Vergelyking kan gelaat word as: 0 30 8 8 2 2 = + − + + y y x x 2 2 2 ) 4 ( ) 4 ( r y x = − + + substitusie van (– 3 ; 5) 2 2 = r (3) 6.4 Laat N(x, y). Omdat M (-4;4) die middelpunt van LN is en L(-3;5) 3 ; 5 4 2 5 ; 4 2 3 y x y x = − = ∴ = + − = − OF 3 5 5 of 3 0 ) 3 )( 5 ( 0 15 8 0 30 16 2 0 2 16 8 16 8 0 2 ) 4 8 ( ) 4 ( 2 ) 6 ( ) 4 ( 8 2 2 2 2 2 2 2 2 = = − = − = = + + = + + = + + = − + + + + + = − − + + + = − + + + = y y x x x x x x x x x x x x x x y x x y ∴N(– 5 ; 3) M is die middelpunt van LN x = −5 y = 3 (3) 0 2 ) 4 8 ( ) 4 ( 2 2 = − − + + + x x 0 15 8 2 = + + x x both x = −5 and y = 3 (3) 6.5 2 2 ) 5 ( 3 1 NQ − − = − = + − − = + − = − = x yc c c x y m OF 2 ) 5 ( 3 1 NQ − − = + − = − − = x y x ym OF Vergelyking van LP is 2 = + y x NQ || LP ∴vergelyking van NQ is k y x = + vir sommige R k ∈ Maar N(– 5 ; 3) is op NQ 2 3 5 − = + − = + ∴ y x gradient substitusie van (– 5 ; 3) in y = mx + c c = – 2 (3) gradient substitusie van (– 5 ; 3) in ( ) 1 1 x x m y y − = − vergelyking (3) x + y = k substitusie van (– 5 ; 3) vergelyking (3) Nota: Slegs antwoord: Volpunte Nota: As kandidaat slegs die afstandformule gebruik om die radius te bepaal 2 ) 4 5 ( ) 4 3 ( 2 2 2 2 = ∴ = − + + −r r 2 /3 punte Note: Slegs antwoord: Volpunte Wiskunde/V2 15 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb 6.6 Laat nuwe radius van sirkel R wees en die middelpunt M/. 8 of ) 2 2 ( ) 4 ( ) 2 (8 ) 2 ( 442 ) 4 ; 2 ( ) 4 ; 6 4 ( M 2 2 2 2 2 = − + − ∴===== + − ′ y xr R r R OF Laat R = nuwe radius van sirkel. Transformasie is ) ; 6 ( ) ; ( y x y x − → R = 2r = 2 2 ( ) 8 ) 4 ( ) 2 ( 2 2 ) 4 ( ) 4 6 ( 2 2 2 2 2 = − + − ∴ = − + + − y x y x ) 4 ; 2 ( M′ 2 2 = r vergelyking (3) 2 ) 2 ( − x 2 ) 4 ( − y 8 of ( )2 22 (3) [17] Wiskunde/V2 16 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb VRAAG 7 7.1 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -112345678 x y A(2 ; −2) B(4 ; −3) C(1 ; −4) C/(−6 ; 4) B/(0 ; 2) A/(−4 ; 0) Nota: • As die kandidaat slegs die korrekte driehoek teken sonder byskrifte, volpunte • As die kandidaat punte korrek afsteek en nie die driehoek teken nie, maks 5 /6 punte • In die 3 sketse, as een van die drie hoekpunte verkeerd is, slegs 1 /2 punte vir die verkeerde skets dan word KA toegepas. • As die kandidaat die punte neerskryf en nie die punte afsteek nie en die driehoek teken, maks 3 /6 punte • As die hoekpunte korrek is maar nie benoem is nie en die punte is verbind, maks 5 /6 punte • As die hoekpunte korrek is maar nie benoem en nie verbind is nie maks 4 /6 punte •As ‘n kandidaat eers ‘n verkeerde formule gebruik Maks 1 punt vir die formule Maks 2 punte vir die berekening van A/, B/, C/koordinate (KA) 1 punt vir afsteek van 3 hoekpunte 1 punt vir voltooiing van driehoek en benoeming 2 punte vir elke diagram van die transformasie (6) OF As die kandidaat eers die algemene reel uitwerk (x ; y) → (2x – 8; –2y – 4) /A (–4 ; 0) /B (0 ; 2) /C (–6 ; 4) 1 punt vir elke korrekte punt afgesteek en verbind (6) Wiskunde/V2 17 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb 7.2 ) 4 2 ; 8 2 ( ) 2 ; 4 ( ) 2 ; 4 ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( − − − → − − − − − − → − − → y x y x y x y x y x y x OF (x ; y) → (2x – 8; –2y – 4) ) ; ( ) ; ( y x y x − → → − ) ; ( y x ) 2 ; 4 ( − − − y x ) 4 2 ; 8 2 ( − − − y x (4) Nota: Slegs antwoord: Volpunte Nota: • As die kandidaat antwoord (x ; y) → (x ; –y) (x ; y) → (x – 4; y – 2) (x ; y) → (2x ; 2y) Slegs 2 /4 punte • As die kandidaat antwoord (x ; y) → (x ; –y) (x ; y) → (x – 4; -y – 2) (x ; y) → (2x-8 ; -2y-4) 4 /4 marks • As die kandidaat se antwoord (x ; y) → 2(x – 4; – y – 2) Slegs3 /4 punte Wiskunde/V2 18 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb 7.3 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x y A(2 ; −2) B(4 ; −3) C(1 ; −4) Area Δ ABC = area van reghoek – som van 3 driehoek areas = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + + − 1 23 1 6 =25 2 2 ///eenhede 10 25 2 C B A Area = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = Δ OF 2 ///eenhede 10 4 4 6 24 ) 4 )( 2 ( 21 ) 2 )( 4 ( 21 2 . 6 . 21 24 C B A Area = − − − = ⎟ ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎜⎝ ⎛ + + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − = Δ OF 2 = AC m en 21 − = AB m ∴ produk = – 1 ° = ∴ 90 B AˆC AB = 5 AC = 5 ∴ Area ΔABC is ( ) 25 5 21 2 = ∴ Area Δ ///C B A is 25 4× = 10 vierkante eenhede OF ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + + − 1 23 1 6 25 10 (4) ⎟ ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎜⎝ ⎛ + + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ) 4 )( 2 ( 21 ) 2 )( 4 ( 21 2 . 6 . 21 24 10 (4) AB = 5 en AC = 5 25 10 (4) A/B/= 20 Wiskunde/V2 19 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb 2 //− = C A m and 21 //= B A m ∴ produk = – 1 ° = ∴ 90 B AˆC ///A/B/= 20 A/C/= 20 ∴ Area ΔA/B/C/is ( ) 10 20 21 2 = vierkante eenhede OF AB = 5 AC = 5 BC2 = 10 BC = 10 ⊥hoogte = 4 10 Area ΔABC 25 10 . 4 10 . 21 = = Area ΔA/B/C/= 25 4× = 10 vierkante eenhede OF AB = 5 AC = 5 BC2 = 10 BC = 10 AC2 + AB2 = BC2 ° = ∴ 90 B AˆC Area ΔABC = ( ) 25 5 . 21 2 = = Area ΔA/B/C/= 25 4× = 10 vierkante eenhede OF Area ΔABC A bcsin . 21 = ( )( ) 25 90 sin 5 5 21 == Area ΔA/B/C/= 25 4× = 10 vierkante eenhede OF A/C/= 20 10 (4) AB = 5 en AC = 5 25 10 (4) AB = 5 en AC = 5 25 antwoord AB = 5 en AC = 5 25 antwoord (4) Wiskunde/V2 20 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -11 x y A(2 ; −2) B(4 ; −3) C(1 ; −4) A/(3 ; −5) Reflekteer ΔABC om CB en kry die vierkant ABA//C met sy 5 Area van vierkant ( )( ) 5 5 5 = = Area ΔABC 25 = Area ΔA/B/C/= 25 4× = 10 vierkante eenhede OF -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 -2 -1123456 x y A(− 4 ; 0) B(0 ; 2) C(− 6 ; 4) A//(−2 ; 6) Reflekteer ΔA/B/C/om C/B/en kry vierkant A/B/A//C/met sy 20 Area van vierkant ( )( ) 20 20 20 = = Area ΔA/B/C/= 20 21 × = 10 vierkante eenhede AB = 5 en AC = 5 refleksie om vierkant te kry 25 antwoord (4) A/B/= 20 en A/C/= 20 refleksie om vierkant te kry 20 antwoord (4) [14]Wiskunde/V2 21 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb VRAAG 8 8.1 ) 3 3 ( 2 1 of 2 2 3 6 4 6 6 2 2 4 6 4 2 4 2 2 6 2 22 . 23 4 22 . 21 . 4 22 . 21 . 2 22 . 23 . 2 45 sin 30 cos 4 45 cos 30 sin 4 45 sin 30 sin 2 45 cos 30 cos 2 ) 45 30 sin( 4 ) 45 30 cos( 2 75 sin 4 75 cos 2 sin cos /+ − − − = − − = − − − = − − − = ° ° − ° ° − ° ° − ° ° = ° + ° − ° + ° = ° − ° = − = α α y x x OF ) 3 3 ( 2 1 of 2 2 3 6 4 6 6 2 2 4 6 4 2 4 2 2 6 2 22 . 23 4 22 . 21 . 4 22 . 21 . 2 22 . 23 . 2 45 sin 30 cos 4 45 cos 30 sin 4 45 sin 30 sin 2 45 cos 30 cos 2 ) 45 30 sin( 4 ) 45 30 cos( 2 ) 75 sin( 4 ) 75 cos( 2 ) 75 sin( 4 ) 75 cos( 2 sin cos /+ − − − = − − = − − − = − − − = ° ° − ° ° − ° ° − ° ° = ° + ° − ° + ° = ° − ° = ° − + ° − = + = α α y x x OF substitusie in anti-kloksgewyse formule 75 = 30 + 45 cos uitbreiding sin uitbreiding substitusie van spesiale hoeke vereenvoudigde antwoord van x (6) substitusie in kloksgewyse formule 75 = 30 + 45 cos uitbreiding sin uitbreiding substitusie van Spesiale hoeke vereenvoudigde antwoord van x (6) Nota: As die kandidaat ‘n sakrekenaar gebruik d.i. gee ‘n desimale antwoord maks 5 /6 punte Verkeerde formule: maks 5 /6 punte Wiskunde/V2 22 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb Bereken eers 4 2 6 22 . 21 22 . 23 45 sin . 30 sin 45 cos . 30 cos ) 45 30 cos( 75 cos − = − = ° ° − ° ° = ° + ° = ° En 4 ) 3 1 ( 2 22 . 23 22 . 21 45 sin . 30 cos 45 cos . 30 sin ) 45 30 sin( 75 sin + = + = ° ° + ° ° = ° + ° = ° 2 2 3 6 4 ) 2 6 6 2 4 6 2 4 4 2 6 2 75 sin 4 75 cos 2 /− − = − − = ⎟ ⎟⎠⎞ ⎜ ⎜⎝⎛ + − ⎟ ⎟⎠⎞ ⎜ ⎜⎝⎛ − = ° − ° = x 75 = 30 + 45 cos uitbreiding substitusie van spesiale hoeke in die eerste uitbreiding sin uitbreiding substitusie vereenvoudigde antwoord van x (6)Wiskunde/V2 23 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb 8.2 β β sin cos /y x x − = 2 3 3 sin cos 3 − = − β β … (1) β β sin cos /x y y + = 2 3 3 1 sin 3 cos + = + β β … (1*) (1)×3 + (1)*: (1) – 3(1)*: 2 3 3 1 ( 2 3 3 3 cos 10 + + ⎟ ⎟⎠⎞ ⎜ ⎜⎝⎛ − = β ⎟ ⎟⎠⎞ ⎜ ⎜⎝⎛ − − ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = − 2 3 3 21 3 sin 10 β ( ) ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = + + − = 21 10 3 3 1 3 3 9 21 OF 2 3 10 2 ) 3 3 1 ( 3 3 3− = + − − = 21 cos = ∴ β 23 sin = ∴ β ° = ∴ 60 β ° = ∴ 60 β OF 2 3 3 sin cos 3 − = − β β … (1) β β sin 3 2 3 3 1 cos − + = … (2) Vervang (2) in (1) ° = = − = − − − − = − − = − − + − = − ⎟ ⎟⎠⎞ ⎜ ⎜⎝⎛ − +60 23 sin 2 3 10 sin 10 2 3 9 3 3 3 sin 10 2 3 3 sin sin 9 2 3 9 3 2 3 3 sin sin 3 2 3 3 1 3β β ββ β β β β substitusie in x/ substitusie in y/ vereenvoudiging gelyktydige oplossing 23 of 21 antwoord (6) vergelyking (1) vergelyking (2) gelyktydige oplossing vereenvoudiging 23 sin = β antwoord (6) Nota: Slegs antwoord: maks 2 /6 marks Wiskunde/V2 24 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb OF 2 3 3 1 sin 3 cos en 2 3 3 sin cos 3 + = + − = − β β β β Probeer ° = 60 β 3 3 3 23 3 21 3 sin cos 3 − = ⎟ ⎟⎠⎞ ⎜ ⎜⎝⎛ − ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = − β β 2 3 3 1 23 3 21 sin 3 cos + = ⎟ ⎟⎠⎞ ⎜ ⎜⎝⎛ + = + β β ° = ∴ 60 β OF ° = ° − ° = ° = − + = − + = ° == 60 43 , 18 43 , 78 43 , 78 3 3 3 3 1 2 3 3 2 3 3 1 tan 43 , 18 31 tan βθθαα OF ° = 60 β substitusie vereenvoudiging substitusie vereenvoudiging (6) 31 tan = α ° = 43 , 18 α 3 3 3 3 1 − + ° = 43 , 78 θ vereenvoudiging ° 60 α β θ (3 ; 1) ⎟ ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎜⎝⎛ + − 2 3 3 1 ; 2 3 3 Wiskunde/V2 25 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb β β sin cos /y x x − = ° ==== − − − + + − == + = − − − = − + + = − + + = − + + = − − − = + − − 60 21 cos 2 cos 4 2 ) cos 3 ( 3 ) cos 3 ( 3 cos 3 3 cos cos 3 sin 0 sin 10 cos 3 10 6 sin 3 3 sin cos 3 cos 3 6 sin 3 3 sin 9 cos 3 9 cos 3 2 sin 3 sin 3 cos 3 3 cos 1 sin 2 3 3 cos 2 3 3 1 6 sin 3 3 sin cos 3 cos 3 3 sin 2 3 3 1 cos 2 3 3 βββ β β β β β ββ β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β substitusie substitusie vereenvoudiging β β cos 3 sin − = 21 cos = β antwoord (6) [12] VRAAG 9 9.1 5 9 16 = + = r (Pyth) 53 sin = α Aanvaar : 0,6 diagram waarde van r antwoord (3) 3 4 α 5 α 3 4 r (4 ; 3) r α Wiskunde/V2 26 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb 9.2 64 , 0 25 16 25 25 2 53 1 α 2 sin 1 α) (90 2 cos − = − = − ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = − = − − ° OF 64 , 0 25 16 2 54 2 cos ) 2 cos 2 (sin α 2 sin 1 α) (90 2 cos − = − = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − = − = + − = − − ° α α α α sin α) cos(90 = − ° substitusie van sin α = 53 (2) 9.3 25 1 25 24 1 54 53 2 1 cos sin 2 1 2 sin 1= − = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − = − =− α α α OF 25 1 51 54 53 ) cos (sin cos cos sin 2 sin 2 sin 1 2 2 2 2 2 = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = − = + − =− α α α α α αα sin 2α = 2sin α.cosα 25 24 antwoord (3) [8]Wiskunde/V2 27 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb VRAAG 10 10.1 ° − ° θ − θ + ° + θ + ° 135 tan 180 sin ) sin( ) 180 cos( ) 90 sin( ) sin 1 ( cos sin . cos cos 1 0 ) sin )( cos ( cos θ θ θ θ θ θ θ θ + = + = + − − + = θ cos θ cos − θ sin − 0 + 1 antwoord (5) 10.2 RK A A A A A A A A = − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = ° ° − ° ° = ° − ° = ° = ° = − ° = 2 2 6 42 46 2 21 . 22 23 . 22 2 ] 30 sin 45 cos 30 cos 45 [sin 2 ) 30 45 sin( 2 15 sin 2 2 cos 15 sin . 2 cos 2 ) sin 2 1 ( cos sin 2 15 sin . 2 cos cos sin 4 Linkerkant 2 OF 2 1 3 − = OF For these values of x, cos 2x ≠ 0 ° = ° ± = = = − == − + = = − + = − + = − − = − − = − − == 30 90 0 cos or 21 sin or 1 sin 0 ) 1 sin 2 )( 1 (sin 0 cos or 0 1 sin sin 2 0 ) 1 sin sin 2 ( cos 2 0 cos sin 2 ) sin 2 1 ( cos 2 cos sin 2 ) 1 ) sin 1 ( 2 ( cos 2 cos sin 2 ) 1 cos 2 ( cos 2 1 cos 2 cos sin 2 2 cos2 sin cos 2 2 2 2 22 2 x or x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xxx x OF A Acos sin 2 A A 2 cos sin 2 1 2 = − ° 15 sin 2 15 = 45 – 30 of 15 = 60 – 45 substitusie ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − 42 46 2 (6) xx 2 cos2 sin x x cos sin 2 1 cos 2 2 − x 0 cos = x factors equations ° ± 90 300 (8) Wiskunde/V2 28 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb RK A A A A A A A A = − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = ° ° − ° ° = ° − ° = ° = ° = − ° = 2 2 6 42 46 2 22 . 21 22 . 23 2 ] 45 sin 60 cos 45 cos 60 [sin 2 ) 45 60 sin( 2 15 sin 2 2 cos 15 sin . 2 cos 2 ) sin 2 1 ( cos sin 2 15 sin . 2 cos cos sin 4 Linkerkant 2 OF RKA A A A A A A A A A = − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = ° ° − ° ° = ° − ° = ° = ° = − ° = 2 2 6 42 46 2 21 . 22 23 . 22 2 ] 30 sin 45 cos 30 cos 45 [sin 2 ) 30 45 sin( 2 15 sin 2 2 cos 2 sin 15 sin . 2 cos 2 sin 2 ) sin 2 1 ( cos sin 2 15 sin . 2 cos cos sin 4 Linkerkant 2 A Acos sin 2 A A 2 cos sin 2 1 2 = − ° 15 sin 2 15 = 45 – 30 OF 15 = 60 – 45 substitusie ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − 42 46 2 (6) 10.3 , 360 . 240 of , 360 . 120 of oplossing geen 21 cos of 34 cos 0 ) 1 cos 2 )( 4 cos 3 ( 0 4 cos 5 cos 6 4 cos 5 6cos cos 4 5 cos 6 2 2 Z k k x Z k k x x x x x x x x x x x ∈ ° + ° = ∈ ° + ° =− = = = + − = − − = − = − standaardvorm faktore albei vergelykings ° + ° 360 . 240 k ° + ° 360 . 120 k Z k ∈ (6)Wiskunde/V2 29 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb Alternatiewe oplossing vir 21 cos − = x ° ± ° = 120 360 . k x Z k ∈ [17] Nota: As kandidaat ±k.360 gebruik, dan is k ∈ N0 Wiskunde/V2 30 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb VRAAG 11 11.1 m 1 2 , 117 75 , 64 cos 50 AC 50 75 , 64 cos = ° == ° AC OF m 21 , 117 AC m 2144026 , 117 AC 75 , 64 cos 50 AC = ∴ = ∴ ° = OF m 21 , 117 AC 25 25 sin 90 50sin AC 90 sinAC 25 25 sin 50= ∴ °° = ∴ ° = ° , , substitusie in verhouding AC onderwerp van die formule antwoord (3) substitusie in verhouding AC onderwerp van formule antwoord (3) substitusie in sin reë AC onderwerp van formule antwoord (3) 11.2 PC is given to be m 32 ) 64 ( 21 = ° == 27 , 15 117,21 32 C AˆP tan θ Nota: As die kandidaat die onafgeronde antwoord vir AC neem, dan is die antwoord 15,27° C AˆP tan 117,21 32 antwoord (3) A C P 117,21 32 θ C Q ° 75 , 64 A P MD4 ●●Wiskunde/V2 31 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb 11.3 m 81 , 82 CD 289092 , 6857 25 , 25 cos ) 40 )( 21 , 117 ( 2 40 21 , 117 CD 2 2 2 = ∴ = − + = OF AM = ACsin 64,75° OF AM = CM tan 64,75° OF AM = AC cos 25,25° = 106,0111876 = 50 tan 64,75° = 117,21.cos25,25° = 106,01 = 106,01 = 106,01 DM = 106,01 – 40 = 66,01 CD2 = CM2 + DM2 = (50)2 +(66,01)2 = 6857,3201 CD = 82,81 meter OF AM = ACsin 64,75° OF AM = CM tan 64,75° OF AM = AC cos 25,25° = 106,0111876 = 50 tan 64,75° = 117,21.cos25,25° = 106,01 = 106,01 = 106,01 DM = 106,01 – 40 = 66,01 DC2 = (50)2 + (66,01)2 – 2(50)(66,01).cos 90° = 6857,3201 CD = 82,81 meter OF 01 , 34 21 , 117 32 40 75 , 64 sin = + + = °x x CD2 = CM2 + DM2 = (50)2 +(32 + 34,01)2 = 6857,3201 CD = 82,81 meter cos reël substitusie antwoord (4) AM = 106,01 DM = 66,01 Pythagoras antwoord (4) AM = 106,01 DM = 66,01 cosreël antwoord (4) [10] C M D A 64,75° 25,25° 40 117,21 50 Nota: As die onafgeronde antwoord gebruik word, dan is CD = 82,81 m. Aanvaar hierdie antwoord. Wiskunde/V2 32 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Copyright reserved VRAAG 12 12.1 -120 -105 -90 -75 -60 -45 -30 -15 15 30 45 60 75 90 105 120 -5 -4 -3 -2 -112345 x y f g g g tan 2x: asimptote ) 45 & 45 ( ° − ° x-afsnitte middel kurwe eind kurwes 2 cos x: y-afsnit x-afsnitte (6) Nota: As die kandiddaat buite die interval teken, GEEN PENALISERING. 12.2 Vir hierdie waardes van x, cos 2x ≠ 0 ° = ° ± = = = − == − + = = − + = = − − == 30 of 90 0 cos of 21 sin of 1 sin 0 ) 1 sin 2 )( 1 (sin 0 cos of 0 1 sin sin 2 0 cos of sin sin 2 1 sin 2 1 cos sin 2 2 cos2 sin cos 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x xx xxx x OF xx 2 cos2 sin x x cos sin 2 x 2 sin 2 1− 0 cos = x faktore vergelykings ° ± 90 300 (8)Wiskunde/V2 33 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb ° = ° ± = = = − = = = − + = = − + = − − − = = − − == − − − == 30 of 90 0 cos of 21 sin of 1 sin 0 cosx of 0 ) 1 sin 2 )( 1 (sin 0 cosx of 0 1 sin sin 2 0 1 sin sin 2 2 of 0 cos 0 sin 1 ) sin -2(1 of 0 cosx 0 ) sin 1 cos 2 ( cos 1 cos 2 cos sin 2 2 cos2 sin cos 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xxx x ° = ° ± = = = − == − + = − + = − = == − = − == 30 of 90 0 cos of 21 sin of 1 sin 0 ) 1 sin 2 )( 1 (sin 0 1 sin sin 2 sin sin 2 1 0 cos 2 of sin 2 cos 0 ) sin 2 (cos cos 2 0 cos . sin 2 2 cos . cos 2 2 sin 2 cos . cos 2 2 cos2 sin cos 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x OF xx 2 cos2 sin x x cos sin 2 1 cos 2 2 − x 0 cos = x faktore vergelykings ° ± 90 300 (8) Wiskunde/V2 34 DBE/November 2010 NSS – Memorandum Kopiereg voorbehou Blaai om asb ° − = ° + ° − = ° = ° − = ° + ° = ° + ° = ° + − ° ± = ° = − ° = = == − = − == 90 360 . 90 of 30 of 90 120 . 30 360 . 90 3 360 . ) 90 ( 2 90 ) 90 cos( 2 cos 0 cos 2 of sin 2 cos 0 ) sin 2 (cos cos 2 0 cos . sin 2 2 cos . cos 2 2 sin 2 cos . cos 2 2 cos2 sin cos 2 x k x x x k x k x k x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x 12.3 ° < < ° 45 0 x OF ° − < < ° − 45 90 x kritieke waardes notasie (4) 12.4 Periode ° = ° = 720 ) 360 (2 antwoord (2) 12.5 x = – 45° + 25° = – 20° x = 45° + 25° = 70° OF ° − = ° − = ° − = ° − ° − = ° − 20 40 2 90 50 2 90 ) 25 ( 2 xx x x en ° = ° = ° = ° − ° = ° − 70 140 2 90 50 2 90 ) 25 ( 2 xx x x x = – 20° x = 70° (2) [22] TOTAAL : 150 Nota: Slegs antwoord: Volpunte