Aplicaciones Ecuaciones diferenciales

tercera edicion MURRAY R SPIEGELecuacrones diferenciales, aplzcadas MURRAY R. SPIEGEL Consultor matemático y ex-profesor y jefe, Departamento de Matemáticas Rensselaer Polytechnic Institute Hartford Graduate Center Traducción: HENRY RIVERA GARCIA M. Sc., Ingeniería Industrial, University of Pittsburgh PRENTICE-HALL IHISPANOAMERICANA, S.A. M6xlco n Englewood Cllffs n Londres m Sydney l Toronto n Nueva Delhi n Tokio n Singapur n Rio de Janeiroecuaczones drjcerenciales~ aplicadas MURRAY R. SPIEGEL Consultor matemático y ex-profesor y jefe, Departamento de Matemáticas Rensselaer Polytechnic Institute Hartford Graduate Center Traducción: HENRY RIVERA GARCIA M. Sc., Ingeniería Industrial, University of Pittsburgh PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A. Mbxico n Englewood Cliffs n Londres l Sydney H Toronto H Nueva Delhi n Tokio n Singapur n Rio de JaneiroECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o rn&odo, sin autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOSOWS3, respecto a la primera edición en espafiol por: PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A. Enrique Jacob No. 20, Col. El Conde C.P. 53500 NauCalPan de Juarez . Edo. de México. Miembro de la-Camara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 1524 Traducido de la tercera edición en ingl6s de APPLIED DIFFERENTIAL EQUATIONS Copyright @MCMLXXXI by Prentice-Hall Inc. ISBN O-13-234997-3 3456789012 E.C.-BE 86123457gO Impreso en México Printed in Mexico uoc1 PROGRAMAS EDUCATIVOS, S.A. Calz. de Chabacano 65 Local A Col. Asturias Del. Cuauhtkmoc looo 1 9 9 4 q 0 LA mi madrecontenido PREFACIO . . XIII parte Z 1. 1.1 1.2 1.3 1 .4 + 2. 2.1 2 . 2 ecuaciones diferenciales ordinarias 1 CAPITULO UNO ECUACIONES DIFERENCIALES EN GENERAL Conceptos de ecuaciones diferenciales Algunas definiciones y observaciones Ejemplos sencillos de problemas de valor inicial y de frontera Soluciones generales y particulares Soluciones singulares Observaciones adicionales relacionadas con las soluciones Observaciones sobre existencia y unicidad Campo de direcciones y el método de las isoclinas CAPITULO DOS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y ORDINARIAS SIMPLES DE ALTO ORDEN 3 4 1 . El m6todo de separación de variables 3 5 2. El método de latransformación de variables 3 8 2 . 1 L a e c u a c i ó n homog6nea 3 8 2.2 Otras transformaciones especiales 3 9 3. La idea intuitiva de exactitud 41 4. Ecuaciones diferenciales exactas 4 3 5. Ecuaciones hechas exactas por un factor integrante apropiado 4 8 5.1 Ecuaciones hechas exactas por factores integrantes que involucran una variable 4 9 vii 2337 15 2 0 2 3 2 3 2 85.2 5 . 3 6. 6.1 6 . 2 + 7 . 8. 1. 1.1 1.2 2. 2.1 2 . 2 2 . 3 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. l l . 12. 13. 13.1 13.2 1 3 . 3 14. 14.1 14.2 1 . 2. 3. 3.1 3 . 2 3 . 3 3 . 4 4. 4.1 4 . 2 4 . 3 4 . 4 VIII La ecuación de primer orden lineal El método de inspección Ecuaciones de orden superior al primero que se resuelven fácilmente Ecuaciones inmediatamente integrables Ecuaciones con una variable ausente La ecuacián de Clairaut Revisión de métodos importantes 53 56 57 58 58 60 64 CAPITULO TRES APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y SIMPLES DE ORDEN SUPERIOR 70 Aplicaciones a la mecánica Introducción Las leyes del movimiento de Newton Aplicaciones a los circuitqs eléctricas Introducción Unidades La ley de Kirchhoff Trayectorias ortogonales y sus aplicaciones Aplicaciones a la química y a las mezclas químicas Aplicaciones a flujo de calor de estado estacionario Aplicaciones a problemas misceláneas de crecimiento y decaimiento El cable colgante Un viaje a la Luna Aplicaciones a‘cohetes Problemas de física que involucran geometria Problemas misceláneas en geometría La deflección de vigas Aplicaciones a biología Crecimiento biológico Un problema en epidemiología Absorción de drogas en órganos o células Aplicaciones a la economía Oferta y demanda Inventarios 71 71 7 1 82 82 84 84 89 95 101 106 1 ll 116 120 123 132 137 148 148 153 156 159 159 162 CAPITULO CUATRO ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 166 La ecuación diferencial Ilneal general de orden n Existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones lineales iCómo obtener -Ia solución complementaria? La ecuación auxiliar El caso de raíces repetidas El caso de raíces imaginarias Independencia lineal y wronskianos iCómo obtener una solución particular? Método de IOS coeficientes indeterminados Juswicación al método de coeficientes indeterminados. El método Aniquilador Excepciones en el método de los coeficientes Casos donde funciones más complicadas aparecen en el lado derecho 167 171 173 173 175 178 181 192 192 194 196 199 \4.5 El m&odo de variación de parámetros 4.6 Métodos abreviados involucrando operadores -5. Observaciones relacionadas con ecuaciones con coefici.entes variables . las cuales se pueden transformar en ecuaciones lineales con coeficientes constantes: La ecuación de Euler 6. Repaso de métodos importantes 2 0 2 2 0 7 2 1 5 2 1 8 CAPITULO CINCO APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 2 2 3 1. 1.1 1.2 1.3 1 . 4 2 . 3. 3.1 3 . 2 3 . 3 3 . 4 1 . 1.1 1.2 1.3 1.4 1 . 5 1.6 2. 3. 3.1 3 . 2 3 . 3 4 . 4.1 4 . 2 4 . 3 4 . 4 4 . 5 Movimiento vibratorio de sistemas mecánicos El resorte vibrante. Movimiento armónico simple El resorte vibrante con amortiguamiento. Movimiento sobre amortiguado y críticamente amortiguado El resorte con fuerzas externas El fenómeno de resonancia mecánica Problemas de circuitos eléctricos 1 Problemas misceláneas El péndulo simple Oscilaciones verticales de una caja flotando en un líquido Un problema en cardiografía Aplicación a la economía 2 2 4 2 2 4 2 3 2 2 4 0 2 4 3 2 4 6 2 5 0 2 5 0 2 5 2 2 5 3 2 5 5 CAPITULO SEIS S O L U C I O N D E E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S P O R TRANSFORMADAS DE LAPLACE 2 6 0 Introducción al método de las transformadas de Laplace Motivación para las transformadas de Laplace Definición y ejemplos de la transformada de Laplace Propiedades adicionales de las transformadas de Laplace La función Gamma Observaciones concernientes a la existencia de las transformadas de Laplace La función salto unidad de Heaviside Funciones impulso y la función delta de Dirac Aplicación de las transformadas de Laplace a ecuaciones diferenciales Solución de ecuaciones diferenciales sencillas. Transformadas inversas d e Laplace Algunos métodos para hallar transformadas inversas de Laplace Observaciones concernientes a la existencia y unicidad de las transformadas inversas de Laplace Aplicaciones a problemas físicos y biológicos Aplicaciones a circuitos eléctricos Una aplicación a la biología El problema tautócrono-Aplicación de una ecuación integral en mecánica Aplicaciones involucrando la función delta Una aplicación a la teoría de control automático y servorr,ecanismos 2 6 1 261 2 6 2 2 6 5 2 6 6 2 6 7 2 6 9 2 7 3 2 7 8 2 7 8 2 7 9 2 8 7 290 2 9 0 2 9 3 2 9 4 2 9 8 2 9 9 CAPITULO SIETE S O L U C I O N D E E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S U S A N D O S E R I E S 3 0 4 1 . Introducción al uso de serles 3 0 5 1.1 Motivación para soluciones con series 3 0 5 iX1.2 Uso de la notacibn sumatoria 307 1.3 Algunas preguntas de rigor 3 1 1 1.4 El m6todo de la serie de Taylor 317 1.5 Método de iteracih de Picard 319 2 . El m&odo de Frobenius 322 2.1 Motivación para el método de Frobenius 322 2.2 Ejemplos usando el mkodo de Frobenius 326 3 . Soluciones con series de algunas ecuaciones diferenciales importantes 338 3.1 La ecuación diferencial de Bessel 338 3 . 2 Ecuación diferencial de Legendre 348 3 . 3 Otras funciones especiales 350 + CAPITULO OCHO FUNCIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE -1. 1 .l -1.2 -1.3 -2. -2 . 1 2 . 2 3 . 3.1 3 . 2 3.3 4 . 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 5 . 5.1 5 . 2 1 . 1 . 1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 . Funciones ortogonales Funciones como vectores Ortogonalidad Longitud o norma de un vector. Ortonormalidad Problemas de Sturm-Liouville Motivación para los problemas de Sturm-Liouville. Eigenvalores y Eigenfunciones Una aplicación al pandeo de vigas Ortogonalidad de las funciones de Bessel y Legendre Ortogonalidad de las funciones de Bessel Ortogonalidad de las funciones de Legendre Funciones ortogonales misceláneas Series ortogonales Introducción Series de Fourier Series de Bessel Series de Legendre Series ortogonales misceláneas Algunos tópicos especiales Ecuaciones diferenciales así mismo adjuntas El m&odo de ortonormalización de Gram-Schmidt 354 354 356 357 361 361 368 3 7 1 3 7 1 376 378 380 380 385 403 408 411 414 414 417 CAPITULO NUEVE LA SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 4 2 0 Solucibn numérica de y’=f(x. y) El método de pendiente constante o método de Euler El método de pendiente promedio o método modificado de Euler Diagramas de computador AnBlisis de errores Algunas guías prácticas para la solución numérica El método de Runge-Kutta 421 422 425 427 428 4 3 1 433 3 5 3parte II sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias CAPITULO DIEZ SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES 1. Sistemas de ecuaciones diferenciales 1.1 Motivación para los sistemas de ecuaciones diferenciales 1.2 Método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales 1.3 El uso de operadores en la eliminación de incógnitas 1.4 Métodos abreviados de operador 2 . Soluciones de sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias 3 . Ecuaciones diferenciales expresadas como sistema de primer orden 4 . Aolicaciones a la mecánica 4.1 El vuelo de un proyectil 4.2 Una aplicación a astronomía 4.3 El movimiento de satélites y mísiles 4.4 El problema de las masas vibrantes 5 . Aplicaciones a las redes ekctricas 6. Aplicaciones a la biología 6.1 Concentración de una droga en un sistema de dos compartimientos 6.2 El problema de epidemia con cuarentena 7. El problema depredador-presa: Un problema en ecología 7.1 Formulación matemática 7.2 Investigación de una solución 7.3 Algunas aplicaciones adicionales 8. Solución de sistemas lineales por transformadas de Laplace 9 . Método de las soluciones complementaria y particular 9.1 iCómo encontramos la solución complementaria? 9 . 2 iCómo encontramos una solución particular? 9.3 Resumen del procedimiento \ 438 439 439 441 443 446 448 449 452 452 461 465 470 476 481 481 484 488 489 490 497 498 500 502 506 507 + CAPITULO ONCE METODOS DE EIGENVALORES DE MATRICES PARA SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 51Q 1. El concepto de una matriz 5 1 1 1 . 1 Introducción 511 1.2 Algunas ideas simples 511 1 .3 Vectores fila y columna 5 12 1 .4 Operaciones con matrices 514 2 . Ecuaciones diferenciales matriciales 521 3. La solución complementaria 522 3.1 Eigenvalores y eìgenvectores 523 3.2 El caso de eigenvalores reales distintos 524 3.3 El caso de eigenvalores repetidos 526 3.4 El caso de eigenvalores imaginarios 527 3.5 Un problema algo más complicado 529 Ki3 . 6 Independencia lineal y wronskianos 4 . La solución particular 5. Resumen del procedimiento 6. Aplicaciones usando matrices 7. Algunos tópicos especiales 7.1 Ortogonalidad 7.2 Longitud de un vector 7 . 3 Eigenvalores y eigenvectores de matrices reales simétricas 532 5 3 3 5 3 4 535 5 3 9 5 3 9 541 542 \ ecuaciones dijkrenciales parciales 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 2. 3. 3.1 Problemas que involucran vibraciones u oscilaciones. La cuerda vibrante 3 . 2 Problemas que involucran conducción o difusión de calor. 3 . 3 Problemas que involucran potencial elbctrico o gravitacional 3 . 4 Observaciones sobre la deducción de ecuaciones diferenciales parciales 1. 1.1 , 1.2 1.3 1.4 2. 2.1 2 . 2 2 . 3 3. 4. 4.1 4.2 C A P I T U L O D O C E E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S PAFWALES EN GENERAL El concepto de una ecuación diferencial parcial Introducción Soluciones de algunas ecuaciones diferenciales parciales sencillas Significado geométrico de las soluciones general y particular Ecuaciones diferenciales parciales que surgen de la eliminación de funciones arbitrarias El método de separación de variables Algunas ecuaciones diferenciales parciales importantes que surgen de problemas físicos CAPITULO TRECE S O L U C I O N E S D E P R O B L E M A S D E V A L O R D E F R O N T E R A USANDO SERIES DE FOURIER Problemas de valor de frontera que involucran conducción de calor El problema de Fourier Problemas que involucran fronteras aisladas Temperatura de estado estacionario en una placa semi-infinita Interpretación de difusión de la conducción de calor Problemas de valor de frontera que involucran movimiento vibratorio El problema de la cuerda vibrante La cuerda vibrante con amortiguamiento Vibraciones de una viga Problemas de valor de frontera que involucran la ecuación de Laplace Problemas misceláneas La cuerda vibrante bajo la gravedad Conducción-de calor en una barra con condiciones no cero en los extremos 5 5 0 551 551 551 554 555 560 5 6 9 5 6 9 5 7 3 5 7 7 5 7 8 5 8 1 582 582 5 8 8 5 9 0 593 59? 597 6oF 6 0 3 607 6 1 5 6 1 5 617 X i i4.3 4.4 La cuerda vibrante con velocidad inicial no cero Vibraciones de una piel de tambor cuadrada: Un problema que involucra series dobles de Fourier 4.5 Conducción de calor con radiación 4 CAPITULO CA TORCE SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA USANDO FUNCIONES DE BESSEL Y DE LEGENDRE 1. 2 . Y-2.1 -2.2 -2.3 -2.4 3. -3.1 -3.2 -3.3 4 . 4.1 4.2 4.3 Introducción Problemas de valor de frontera que conducen a funciones de Bessel El Laplaciano en coordenadas cilíndricas Conducción de calor en un cilindro circular Conducción de calor en un cilindro radiante Vibraciones de una piel de tambor circular Problemas de valor de frontera que conducen a funciones de Legendre El Laplaciano en coordenadas esféricas Conducción de calor en una esfera Potencial eléctrico o gravitacional debido a una esfera Problemas misceláneas El problema de la cadena vibrante Potencial ektrico debido a un alambre circular uniformemente cargado El problema de la bomba atómica APENDICE DETERMINANTES RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS TABLAS: DE TRASFORMADAS. .; DE INTEGRALES. BIBLIOGRAFIA MATEMATICOS QUE HICIERON APORTES. . INDICE 619 620 625 . 6 3 2 6 3 3 633 633 634 637 638 646 646 648 651 655 655 659 662 A -l A -7 T -l B -l M -l I-1 X,IIpre fado El propósito de este libro es el de proporcionar una introducción a las ecuacioone diferenciales y sus aplicaciones para los estudiantes de ingeniería, ciencias y matemáticas. Para alcanzar este propósito, el libro ha sido escrito con los siguientes objetivos: 1. Demostrar cómo las ecuaciones diferenciales pueden ser útiles en la solución de variados tipos de problemas-en particular, mostrar al estudiante cómo (a) traducir problemas a un lenguaje de ecuaciones diferenciales, esto es, establecer la formulación matemática de problemas; (b) resolver la ecuaciió diferencial resultante sujeta a condiciones dadas; y (c) interpretar las soluciones obtenidas. Problemas elementales de muchos campos diferentes e importantes se explican en relación a su formulación matemática, solución, e interpretación. Las aplicaciones están ordenadas de modo tal que los tópicos de mayor interés a los estudiantes o al profesor pueden escogerse sin dificultad. 2. Motivar a los estudiantes de modo que se consiga un entendimiento de los tópicos y se desarrolle un interés. Esto se hace por medio de ayudas como ejemplos, preguntas y problemas para discusión. 3. Proporcionar relativamente pocos métodos de resolver ecuaciones diferencciale que pueden aplicarse a un grupo grande de problemas. Se ha enfatizzad en un número mínimo de métodos básicos que el estudiante encuentra normalmente en la práctica; otros métodos menos utilizados que sin embargo son de interés se pueden encontrar en los ejercicios. 4. Proporcionar al estudiante que desee investigar métodos e ideas más avanzados, o problemas y técnicas más complicados una oportunidad para que lo haga. Esto se hace al ofrecer cerca de 2.2K1 ejercicios ordenados en dificultaad Los ejercicios tipo A son en su mayoría fáciles, requieren poca originalidda y están diseñados para propósitos de práctica. Los ejercicios tipo B envueelve computaciones algebraicas más complicadas o mayor originalidad que x vla del grupo A. Los ejercicios tipo C están dirigidos principalmente a complemennta el material del texto; ellos exigen un alto grado de originalidad y conocimiiento diseñados para desafiar al estudiante. 5. Unificar la presentación a través de un enfoque ordenado y lógico, hacieend énfasis en conceptos generales en vez de hacerlo en detalles aislados. Por ejemplo, después de introducir el muy simple método de separación de variaable para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, se introducen los conceptos de transformación de variables y los de hacer una ecuación exactt al multiplicar por un factor integrante apropiado. Estos conceptos se usan luego en la solución de otros tipos de ecuaciones. 6. Separar la teoría de las ecuaciones diferenciales de sus aplicaciones para dar amplia atención a cada una. Esto se consigue presentando la teoría y aplicaciones en capítulos separados, particularmente en los primeros capítuulo del libro. Esto se hace por dos razones. Primero, desde un punto de vista pedagógíco, parece no aconsejable mezclar teoría y aplicaciones en las etapas iniciales puesto que el principiante generalmente encuentra difícil la formulacció matemática de problemas aplicados; cuando él se ve forzado a hacerlo, además de aprender técnicas de solución, generalmente ningún tema se domiina Al tratar teoría sin aplicaciones y luego ampliar gradualmente a las aplicaciione (al mismo tiempo que se revisa la teoría), el estudiante puede aprendde mejor ambos tópicos puesto que la atención así se concentra en sólo un aspecto a la vez. Una segunda razón para separar teoría y aplicaciones es la de facultar a los profesores que deseen presentar un mínimo de aplicaciones de hacerlo tan fácilmente sin tener que estar en la difícil posición de tener que “saltar” capítulos. El libro está dividido en tres partes principales. Parte 1 trata de las OXUcioone diferenciales ordinarias, Parte II con sistemas de ecuaciones diferenciaale ordinarias y Parte III con ecuaciones diferenciales parciales. ES útil discutir los capítulos en cada parte. Parte 1, ecuaciones diferenciales ordinarias. El Capítulo uno da una presenttació general a las ecuaciones diferenciales incluyendo la motivación por problemas de valor inicial y de frontera junto con tópicos relacionados. En el Capítulo dos se discuten métodos para resolver algunas ecuaciones de primer orden y simples de alto orden. Estos métodos se aplican en el Capítulo tres a campos tales como física (incluyendo mecánica, electricidad, flujo de calor, etc.), química, biología y economía. El Capítulo cuatro discute métodos basi-COS para resolver ecuaciones diferenciales lineales mientras que el Capít,ulo cinco usa estos métodos en problemas aplicados. En el Capítulo seis se presenta la transformada de Laplace y se hacen aplicaciones a ecuaciones diferenciales e integrales. Entre los tópicos considerrado están la función gamma, funciones de impulso y la función delta de Dirac, el problema tautócrono y servomecanismos, El Capítulo ocho, el cual es opcional, introduce la idea de funciones ortogonnale y problemas de Sturm-Liouville usando generalizaciones a partir de vectores en dos y tres dimensiones. Algunos tópicos tratados en este capítulo son eigenvalores y eigenfunciones, y series ortogonales incluyendo series de Fourier y de Bessel. En el capítulo final de la Parte 1, Capítulo nueve, se presenta una introduccció a varios métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. xviEn este capítulo se incluye una discusión de diagramas de computador y elemennto de análisis de errores. Parte II, sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. ESta parte consiist de dos capítulos. El primero de estos, el Capitulo diez, tiene e] propósito de servir de introducción general y de ofrecer varios métodos pars resolver ecuaciones diferenciales simultáneas junto con aplicaciones tales como el movimiient planetario y de satélites, vibraciones, electricidad y biología. Incluíddo en este capítulo están los principios elementales del análisis del plano de fase y estabilidad motivados por el problema del depredador-presa en ecología. El segundo capítulo, Capítulo once, el cual es otro capítulo opcional, discuut métodos matriciales para resolver sistemas lineales. Este capítulo muesttr cómo conceptos teóricos importantes tales como eigenvalores y ortogonalidda surgen de manera natural en el proceso de solución. Parte III, ecuaciones diferenciales parciales. Esta parte está compuesta de tres capítulos. El primero de estosel Capítulo doce, intenta servir de una introducción general a algunas de las ideas concernientes a las ecuaciones diferenciales parciales. Estas incluyen deducciones de ecuaciones importantte que surgen en varios campos tales como conducción de calor, vibración y teoría de potencial. El segundo capítulo, Capítulo trece, presenta métodos de series de Fourier para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Finalmentte el Capítulo catorce, el cual es opcional explora métodos para resolver ecuacioone diferenciales parciales usando funciones de Bessel y de Legendre. Un aspecto importante de este capítulo es el problema de la bomba atómica el cual se trata junto con otros tipos de problemas más convencionales y relat,ivamentt inofensivos dados en los Capítulos doce y trece. Los capítulos han sido escritos y ordenados para proporcionar un máximo de flexibilidad. Por ejemplo, los Capítulos seis y once se pueden omitir sin ninguun pérdida de continuidad si ell profesor decide no cubrir las transformadas de Laplace o métodos matriciales. Similarmente, en el Capítulo diez el método de la solución complementaria-particular para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales se ilustra sin el uso de matrices mientras que en el Capíttul once se trata con matrices. Así, el profesor puede usar uno u otro o ambbo para demostrar sus relaciones. Como otro ejemplo, en el Capítulo trece, el cual presenta métodos de series de Fourier para resolver ecuaciones diferenciaale parciales, las series de Fourier se introducen en una manera histórica, esto es, como Fourier pudo haberlas descubierto. Como resultado, est,e capítull es esencialmente independiente del Capítulo ocho, el cual trata con funcionne y series ortogonales, proporcionándole al profesor la opcibn de omitir enteramment el Capítulo ocho. En casos donde pudiera existir alguna duda, los capítulos y secciones de capítulos han sido marcados con un diamante para indicar que son opcionales. Sin embargo, los capítulos y secciones que han sidd marcados como opcionales (tales como los concernientes a las transforma-‘. das de Laplace, métodos numéricos y aplicaciones particulares), no han sido marcados como tales debido a que el cubrimiento u omisión de los tópicos incluuido generalmente dependerán de la clase de curso que se ofrezca, Ios t.ópicco a considerar, etc. Debido al alto grado de flexibilidad, el libro se puede usar en una variedda de cursos empezando desde un curso de uno a dos semestres e incluyendd sólo ecuaciones diferenciales ordinarias o ecuaciones diferenciales ordinariia y parciales. El diagrama en la pagina xvi, el cual indica secuencias XVIIposibles de capítulos, puede ser útil al profesor en la planeación de un curso. Por ejemplo, en un curso semestral que cubra ecuaciones diferenciales ordinarria y parciales, una posible secuencia de capítulos es 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 13. Una doble flecha indica que los capítulos se pueden intercambiar. Así, por ejemplo, el Capítulo siete si se desea podría preceder al Capítulo seis. El autor desea aprovechar esta oportunidad para expresar sus agradecimieento a Esther y Meyer Scher por su continuado interés y estímulo; al grupp asesor de la Prentice Hall, especialmente a Leslie Nade11 y E3ob Sickles, por su excelente cooperación; y a los siguientes profesores de matemáticas quienes revisaron el manuscrito y proporcionaron muchas sugerencias útiles: Ebon E. Betz, United States Naval Academy; E. E. Burniston, North Carolina State University; John Burns, Virginia Polytechnic Institute and State Universsity Ronald Hirschorn, Queen’s University; James Hurley, University of Connecticut; R. N. Kesarwani, University of Ottawa; Anthony L. Peressini, University of Illinois; William L. Perry, Texas A & M University; Daniel Sweet, University of Maryland; Henry Zatzkis, New Jersey Institute of Technology. * * * Fue un gran placer enterarme de la traducción al idioma Español de mi libro Ecuaciones diferenciales aplicadas, tercera edición. Espero que esto dará una oportunidad a otros de disfrutar la belleza del tema de las ecuaciones diferencciale y sus numerosas aplicaciones. Murray R. Spiegel XVIII h ‘te--.-^-POSIBLES SECUENCIAS DE CAPITULOS 1. Ecuscionss diferenciales sn general 2. Ecuaciones diferenciales de primer orden y amples de altoorden 1 3. Aphcacioner de ec”acio”** Dife- rencmlesde primer orden y emplesde orden supermr 9. La soluci6n “U- 6. Funcionesortom6rric de .cu.cio-4 c gonalss y probls--nes diferenciala masde Sturm-L,O”“i,k l 11. MOtodosde e,gwwaloresde matrices para Yr mrnas de ecuacicnerdifsrrencials lineales 13. Sotuciones de problemas de valor de frontera. uw”do series de Fourier L I l l t I l 14. Solucionesds problemas de valor de frontera umdo funaoneíds hs- Y Legendra xixdiferenciales ordinariasuno ecuaciones diferenciales en general 1. CONCEPTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1 Algunas definiciones y observaciones 1.2 Ejemplos sencillos de problemas de valor inicial y de frontera 1.3 Soluciones generales y particulares 1.4 Soluciones singulares + 2. OBSERVACIONES ADICIONALES EN RELACION A LAS SOLUCIONES 2.1 Observaciones sobre existencia y unicidad 2.2 Campo de direcciones y el método de las isoclinas 2 .Conceptos de ecuaciones diferenciales 1.1 ALGUNAS DEFINICIONES Y OBSERVACIONES El descubrimiento independiente del cálculo por Newton y Leibniz en el siglo 17 proporcionó el ímpetu para los grandes avances que siguieron en las matemáticas, ciencias, e ingeniería. Una de las más importantes y fascinantte ramas de las matemáticas que proporcionó el medio para las formulacionne matemáticas y soluciones de variados problemas en estas áreas se llama ecuaciones diferenciales, las cuales estudiaremos en este libro. Con el objett de seguir adelante, necesitamos primero algunas definiciones. Definición 1. Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivvada de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas ordinarias) la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaaria Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variaabl (de tal modo que las derivadas son derivadas parciales) la ecuación se llama una ecuación diferencial parciul.* Ejemplo 1. La ecuación L1.v -=2x+> 0 dx y’ =2x + y (1) en la cual y es una función desconocida de una sola variable x es una ecuaciió diferencial ordinaria. Frecuentemente escribimos y = f(x) y llamamos a x la variable independiente, y y, la cual depende de x, la variable dependientte Por brevedad podemos denotar el valor de y en x por y(x), y sus derivadas sucesivaspory’(x), y ” ( x ) , , osimplementey’,y”,. Ejemplo 2. d2X La ecuación --2$--15x=0 dt2 (2) en la cual x es una función desconocida en una sola variable t es una ecuaciió diferencial ordinaria. Podemos escribir x = g(t), donde t es la variable independiente y x la variable dependiente. Por brevedad podemos denotar el valor de x en t por x(t), y también podemos denotar las derivadas por x’(t), x”(t), ., 0 simplemente x’, x”, 2 2 Ejemplo 3. La ecuación g+2+ (3) en la cual V es una función desconocida en dos variables x y y es una ecuaciió diferencial parcial. Podemos escribir V= F(x, y), donde x y y son variaable independientes y V es la variable dependiente. Por brevedad podemos denotar el valor de V en x y y por V(x, y). \ *Excluimos de la clase de ecuaciones diferenciales aquellas que son identidades tales co1110 Ecuaciones diferenciales en genarel 3Definición 2. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivaad más alta que aparece en la ecljación. Ejemplo 4. La derivada más alta que aparece en la ecuación (1) es dy/dx, la cual es de primer orden, esto as, de orden 1. Por tanto, la ecuación difereencia es una ecuación de orden 1, o una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. Ejemplo 5. La derivada más alta que aparece en ecuación (2) es dLx/’ dtz, la cual es de segundo orden, esto es, orden 2. La ecuación diferencial es por tanto de orden 2, o una ecuación diferencial ordinaria de segundo ordeen Ejemplo 6. La derivada más alta que aparece en ecuación (3) es îi2V/Ox2 0 i2Vliy2, ambas son de segundo orden. Por tanto, la ecuación diferencial es una ecuación diferencial parcial ‘de segundo orden. O~semm¿h 1. Una ecuación diferencial ordinaria de orden 11 puede expresarse como g(x, y, y,, J”‘, . . , 2.‘“‘) = 0 (4) Si podemos resolver esta ecuación por la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden n tomanalo la siguiente forma: \ p) = F-(x, j’, y, . > 4”” -l)) (5) Ejemplo 7. La ecuación de primer orden (y’)” + xy’ -y = 0 es equivalente a las sigüientes dos ecuaciones de primer orden (6) y’ = &p-Tq -XI), 2“ = -&/TT-q + s) (7) Observación 2. Adicionalmente a su orden, es útil clasificar una ecuaciió diferencial ordinaria como una (ecuación diferencial lineal o no-lineal de acuerdo a la siguiente. Definición 3. Una ecuación diferencial ordinaria lineal es una ecuación que puede ser escrita -en la forma a,(x)y’“~ + a,(x)J’“-l’ + . . + an-,(X)J” + U,(X)J~ = F(s) (8) donde F(x) y los coeficientes a,(x), a, (x),. , a,(x) son funciones dadas de x y a,(x) no es idéntica a cero.* Una ecuación diferencial que no puede escribirse en la forma (8) se llama una ecuación diferencial no-lineal. Ejemplo 8. Las ecuaciones (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordinariia lineales. Ejemplo 9. La ecuación (6) o las dos ecuaciones equivalentes (7) son nolineeales *En álgebra OU + ¿IL’ donde a y b no dependen de u o de LJ frecuentemente se llama una funciió lineal de u y U. La terminología linevzl cen la Definición 3 está inspirada en una generalizaciió de esta idea debido a que el lado izquierdo de (8) es una función lineal de J’, y ‘, , J (“). 1 4 Capítula unoLas ideas presentadas en las Observaciones 1 y 2 también se pueden extennde a las ecuaciones diferenciales parciales. Como tendremos ocasión de observar a lo largo de este libro, las ecuaciones diferenciales lineales son ‘en general más fáciles de manejar que las ecuaciones no lineales. Definición 4. Una solución de una ecuación diferencial es cualquier funciió que satisface la ecuación, esto es, la reduce a una identidad. Ejemplo 10. Las funciones definidas por X= eS 1 y x = e-3 f son dos soluciione de la ecuación (21, puesto que la sustitución de éstas conducen respectivvament a 25P -2(5P) -15f? = 0, ge-31 -2(-3r-3’) -15p-3’ = 0 las cuales son identidades. Otra solución es x = 0, y pueden existir otras. IDe hecho x=c,e”‘+~,e-~’ donde cl y cp son constantes arbitrarias es una solución. Ejemplo ll. La función definida por V= e”xsen 231 es unn solución de ((3) puesto que dV ¿F v 3lJ d.\-= 38’ sen 2y, a\-2 = 9~“” sen 2y, F = 2e3-’ cos s, p ,,’ p = -4e.j 1 sen 2y de modo que al sustituir encontramos la sen2y) = e3xsen?4.. identidad 9e3”sen2y + 2( -4e3’ Observación 3. En los Ejemplos 10 y Il las soluciones se dieron sin restricciones sobre los valores-que asumen las variables independientes. Alguuna veces, sin embargo, debemos restringir tales valores, como por ejemplo cuando queremos que los valores de la función sean reales o tengan otras propiedades. Por ejemplo, si f(x) = V9 -~2, entonces para que f(x) sea real debemos tener -3 5 x 5 3. Tales valores constituyen lo que se llama el domiini de la función. Cuando no se especifica el dominio, como muchas vecce ocurre, asumimos que el dominio es el conjunto de todos los valores para los cuales las operaciones indicadas producen resultados con sentido. Así, por ejemplo, si una función se define por f(x) = 1/(x -3), entonces el dominni es el conjunto de todos los valores de x excepto 3, esto es x.+ 3, puesto que la división por cero carece de sentido. Ejemplo 12. La función definida por y = fl-es una solución de y’= -5. Y puesto que (10) y al sustituir en la ecuación diferencial (9) se obtiene una identidad Sin embargo, es claro que si deseamos que la función sea real y la derivada (10) exista debemos restringir x al dominio -3< x<3; esto es, debemos (excllui x = -3 y x = 3. Así podemos decir que y = m es una solución de . Ecuaciones diferenciales en genera/5(9) sobre el intervalo -3 < x < 3. Otros dominios podrían también tomarse. Por ejemplo, las funciones definidas por y = m, 0 3 x < 3, o y = m, l< x: < 2 son también soluciones de (9). Observaciones similares pueden hacerse para funciones de dos o más variables. Por ejemplo, si V= V9 -(x2 + yz ), entonces para que V y sus derivaada parciales con respecto a x y y existan y sean reales, se debe restringir z JJ y de modo que ~2 +yz < 9, dominio que geométricamente representa el interrior de un círculo de radio 3 en el plano xy y con centro en el origen. Bbseruación 4. En todos los ejemplos anteriores tratamos con solucionne 8-n las cuales la variable dependiente fue resuelta explicitamente en térmiino de las variables independientes, y por esta razón nos referimos a las funciones como funciones explícitas. Corno se aprendió en cálculo, sin embarrgo podemos tener funciones definidas implícitamente por ecuaciones que involucran las variables dependientes e independientes, en cuyo caso ellas se refieren como funciones implícitas. Ejemplo 13. Dada la relación xs +y j = 9 entre x y y, podemos considerar a y alefinida implícitamente como una función de X. De hecho, notando que la relación es equivalente a y = t \/9 -~2, podemos ver que una de éstas es la misma que aparece en la relación del Ejemplo 12. Esta situación nos indiic el hecho de que al tratar con funciones implícitas se puede requerir investiigació adicional para determinar la función especificada que se desea, puesto que se pueden incluir muchas funciones. Note que si diferenciamos xi + yZ = 9 implícitamente, considerando a y como una función de X, obtenemmos 2x + 2yy’ = 0 0 y’= -2 (111 Y la cual concuerda con (9). El hecho de que debemos ser cuidadosos sobre lo que cestamos haciendo puede ilustrarse al notar que x2 +y’ = -9 también satisface formalmente a (ll), pero ella ni siquiera define a y como una funciió real de X. Ejemplo 14. Asuma que y3 -3s + 3y = 5 (12) defin.e a y (implícitamente) como una función de X. Entonces esta función sería una solución de y” zzz -$( y’)” puesto que al diferenciar (12) con respecto a x encontramos (13) y’= ’ -2Y y” y = (y’ + ll” (14) de m.odo que la sustitución de las derivadas dadas por (14) en (13) produce la identidad ?Y 3 --(y2 + ,)” = -2) I (>-m (151 ’ La pregunta de si (12) realmente sí define a y como una función de x requierr mayor investigación, pero hasta que tal decisión se obtenga ella se puede referiir como a una solución formal.. . 6 Capítulo uno1.2 EJEMPLOS SENCILLOS DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y DE FRONTERA Muy frecuentemente, especialmente en problemas aplicados, una ecuaciió diferencial se resuelve sujeta a unas condiciones dadas que la función desconocida debe satisfacer. Como un ejemplo sencillo, considere el siguiente PROBLEMA PARA DISCUSION Una partícula P se mueve a lo largo del eje x (Figura 1.1) de tal manera que su aceleración en cualquier tiempo t 2 0 está dado por a = 16-24t. (a) Encueentr la posición x de la partícula medida del origen 0 a cualquier tiempo t > 0, asumiendo que inicialmente (t = 0) está localizada en x = 2 y está viajaand a una velocidad u = -5. (b) Trabaje parte (a) si solamente se sabe que la partícula está localizada inicialmente en x = 2, y en x = 7 cuando t = 1 +X 0 P Figura 1.1 Para formular matemáticamente este problema, recordemos primero del cálculo que la velocidad y aceleración de una partícula que sè mueve a lo largg del eje x están dadas respectivamente por dx d*x v=z Y a=Jp Entonces de la primera frase del enunciado del problema se tiene d*x _ = 16 -24t dt* la cual es la ecuación diferencial requerida para el movimiento. (17) Solución a la Parte (a) Las condiciones sobre la función x dadas en parte (a) son x = 2, v = -5 en t = 0 esto es, x(O) = 2, x’(0) = -5 (18) Se debería notar que el significado del signo menos en u = -5 es de que la partícula está viajando inicialmente hacia la izquierda. Si integramos (17) una vez, encontramos dx -= 16t -12t2 + c1 dt (19) donde c1 es una constante arbitraria. Esta constante puede determinarse de la segunda condición en (18) con t = 0 en (19). Encontramos -5 = 0 + cr , esto es, c1 = -5, de modo que dx -= 16t -12t* -5 dt (20) La integración de (20) da x = 8t2 -4t3 -5t + c2 (21) donde c2 es otra constante arbitraria que puede determinarse de la primera condición en (18) con t = 0 en (21). Encontramos 2 = Cl + c:, o cO = 2. Así x = Sr2 --4t3 -5t + 2 (2.2) Ecuaciones diferenciales en general 7la cual es la ley requerida de movimiento permitiéndonos determinar la posicció en cualquier tiempo r > 0; por ejemplo, al tiempo t = 1, x = 1, al tiempp t = 2, x = -8, etc. Solución a la Parte (b) En esta parte todavía tenemos la misma ecuación difereencia (17) para el movimiento, pero las condiciones han cambiado a s=2ent=O, x=7ent= 1 0 x(0) = 2, x(l) = 7 (23) En este caso integramos (17) como antes para obtener (19). Sin embargo, puesto que no tenemos una condición para dx/dt, no podemos todavía determmina c , , y por tanto debemos integrar (19) para obtener x = 8t2 -4t3 + c,t + c2 (24) Podemos ahora usar las dos condiciones en (23) para hallar las dos constantte arbitrarias en (24). Esto conduce a 2 = 0 + c2, 7 = B(l)2 -4(l)” + c, + c2 0 c, =l, cz =2 de modo que x = 8r2 -4t3 + t + 2 (25) Las formulaciones matemáticas de las partes (a) y (b) en el problema anterior son, respectivamente, (al $= 16-24t, X(0) = 2, s’(0) = -5 (b) (F-C dtz= 16-24t, x(0)=2,x(l)= 7 Una diferencia importante entre ellas es que en (a) las condiciones sobre la función desconocida x y sus derivadas x’ o dx/dt están especificadas en un ualor de la variable independiente (en este caso t = 0), mientras que en (b) las condiciones sobre la función desconocida x se especifican en dos valores de la variable independiente (en este caso t = 0 y t = 1). Los dos tipos de probleema presentados en (a) y (b), respectivamente, se llaman problemas de valor inicial y problemas de valor de frontera. Debemos así hacer las siguienteesdefiniciones. Definición 5. Un problema de valor inicial es un problema que busca determiina una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variabbl independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales. Definición 6. Un problema de valor de frontera es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobbr la función desconocida especificadas en dos o más valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera. Considere el siguiente ejemplo ilustrando las observaciones anteriores, EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Una curva en el plano xy tiene la propiedad de que su pendiente en cualquuie punto (x, y) de ella es igual a 2x. Hallar la ecuación de la curva si ésta pasa por el punto (2,5). 8 Capítulo uno LFigura 1.2 Solución Puesto que la pendiente de una curva en cualquier punto (x, y) de ella está dada por dy/dx, del enunciado del problema se tiene (28) una ecuación diferencial de primer orden. Puesto que la curva debe pasar por el punto (2, 5), y=5 cuando x=2 estoes, y(Z)=5 (29) El problema de resolver (28) sujeta a (29) es un problema de valor inicial. La integración de (28) da y = x2 + c (30) donde c es una constante arbitraria. Usando la condición (29) en (30) se obtiien 5 = (2)2 + c de modo que c = 1. Así la curva requerida está dada por y=x”+l (31) Gráficamente, (30) representa una familia de euruas en el plano zy, cada miembro de ella está asociado con un valor particular de c. En la Figura 1.2 se muestran algunos de estos miembros para c = 0, -1, 1, 2. Puesto que c puedd variar, frecuentemente se llama un parámetro para distinguirlo de las variaable principales x y y. La ecuación diferencial (28) que es satisfecha por todos los miembros de la familia frecuentemente se llama la ecuación. diferenncia de la familia. Observación 5. La misma terminología usada en este ejemplo puede también usarse en el problema de la página 7. Así, (24) representa una familli de curvas en el plano tx, cada miembro de la cual está asociado con valorre particulares de los dos parámetros c 1 y cq , mientras que (17) es la ecuaciió diferencial de la familia. Para especificar el número de parámetros involucrados, algunas veces hablamos de una familia de curvas de un par-ámettro una familia de curvas de dos parámetros, etc. Las soluciones cerres-Ecuaciones diferenciales en general 9pondientes a las ecuaciones diferenciales pueden entonces referirse como la solución con un parámetro (o la familia de soluciones con un parámetro), la solución con dos parámetros (o lla familia de soluciones con dos parámetroos) etc. También podemos referirnos a estas curvas como curvas solución. En el proceso de la formulación matemática de problemas aplicados, puedde surgir muchas clases de ecuaciones diferenciales, como veremos en fu- turos capítulos. En la siguiente lista vemos una pequeña muestra de ellas. d2x -= -kx dt2 (32) d2y dy xlix’+~+xy=o dv VfM-=v2 dM Ely”“’ = w(x) sen 20t y” = ; JW a2v d2V a2v Jjp+&-T+s= g=k[$-$+$; (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) S2Y a2Y -= al-..-it2 2x2 ( 4 ) a4cp a”q5 r:x4+2-+ * = F(x, y) sx2cy2 cy (41) La ecuación (32) es famosa en el campo de la mecánica en conexión con el movimiento armónico simple, como en las oscilaciones pequeñas de un pénduul simple. Elia podría, sin embargo surgir en muchas otras conexiones. La ecuación (33) surge en mecánica, calor, electricidad, aerodinámica, análisis de esfuerzos y en muchos otros campos. La ecuación (34) surgió en un problema de vuelo de cohete. La ecuación (35) es una ecuación impcrtante en ingeniería civil en la teorrí de deflexión o doblamiento de vigas. La ecuación (36) puede surgir en la determinación de la corriente I como una función del tiempo t en un circuito de corriente alterna, pero también podrrí surgir en mecánica, biología, y economía. La ecuación (37) surge en conexión con un problema de suspensión de cables. La ecuación (38) podría-surgir en problemas de electricidad, calor, aerodináámica teoría de potenciales, y èn muchos otros campos. 1 0 Cbpítulo unoLa ecuación (39) surge en la teoría de conducción de calor, como también en la difusión de neutrones en una pila atómica para la producción de energgí nuclear. También surge en la teoría de movimiento browniano. La ecuación (40) surge en conexión con la vibración de cuerdas, como también en la propagación de señales eléctricas. La ecuación (41) es famosa en la teoría de análisis de esfuerzos. Estas son solo una pequeña parte de las muchas ecuaciones que podrían surgir en algunos de los campos de los cuales están tomadas. Exámenes de ecuaciones tales como éstas por matemáticos puros, matemáticos aplicados, físicos teóricos y aplicados, químicos, ingenieros, y otros científicos a través de los años han conducido a la conclusión de que existen ciertos métodos definnido por medio de los cuales muchas de estas ecuaciones pueden resolversse Tales ecuaciones y métodos junto con los nombres de las personas asociadda con ellas se darán a lo largo del libro.* A pesar de todo lo que se conoce, sin embargo, muchas ecuaciones permanecen sin solución, algunas de ellas de gran importancia. Gigantescas máquinas modernas de cálculo actualmentt están siendo ocupadas en determinar soluciones a tales ecuaciones vitalle para la investigación relacionada con seguridad nacional, planeación económmica e ingeniería aeroespacial así como también en muchos otros campos. Uno de los objetivos de este libro es ofrecer una introducción a algunos de los problemas importantes que surgen en la ciencia y la ingeniería con los cuales la mayoría de científicos deberían estar familiarizados. Para conseguui este objetivo, será necesario demostrar cómo uno resuelve las ecuacionne que surgen como resultado de las formulaciones matemáticas de estos problemas. El estudiante debiera siempre recordar que hay tres etapas en la solución teórica de problemas científicos. 1. Formulación rrktemática del problema científico. Las leyes científicas, que por supuesto están basadas en experimentos u observacionees están traducidas en ecuaciones matemáticas. En muchos casos un modeel matenático se usa para aproximarse a la realidad física. Así, per ejempllo al tratar con el movimiento de un planeta, tal como la tierra, alrededor del Sol, podemos considerar a la Tierra y al Sol como partículas (o puntos de masa). Sin embargo, en un estudio de la rotación de la tierra sobre sus ejes, tal modelo es claramente inapropiado, de tal modo que podemos considerar a la tierra como una esfera o aún más precisamente como un esferoide ovalaado2. Solución de las ecuaciones. Las ecuaciones formuladas en Etapa 1 necesitan ser resueltas, sujetas a condiciones obtenidas del problema, parr determinar la incógnita, o incógnitas, involucradas. Los procedimientos -usados pueden producir una solución exacta o, en casos donde soluciones exactas no se pueden obtener, soluciones aproximadas. Frecuentemente, para elaborar los cálculos numéricos se recurre al uso de calculadoras. El proceso de obtener soluciones frecuentemente conduce a preguntas de naturallez puramente matemática que algunas veces tienen mayor interés que el problema científico original. De hecho, muchos de los avances en las matemáática fueron obtenidos como un resultado de los intentos de resolver problemas en la ciencia y la ingeniería. *En la contraportada del frente del texto se da una lista de referencias de algunos de los contribuidores importantes a la teoría y aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Ecuaciones diferenciales en general 113. Interpretación científica de la solución. Con el uso de las solucionne conocidas, el científico puede ser capaz de interpretar lo que está sucedieend desde el punto de vista aplicado. Puede hacer gráficas o tablas y comparar Ia teoría con los experimentos. Puede incluso basar investigación posterior en tales interpretaciones. Por supuesto que, si encuentra que los experimentos u observaciones no están de acuerdo con la teoría, debe revissa el modelo matemático y su formulación matemática hasta que se consigg un acuerdo razonable. Cada una de estas etapas es importante en la solución final de un probllem aplicado y, por esta razón, enfatizaremos todas las tres etapas en estt libro. Puesto que, como uno podría esperar, las ecuaciones diferenciales parciaale son mucho más complicadas que las ecuaciones diferenciales ordinariias la mayor parte de este libro, esto es, los once capítulos en las Partes I y II, se dedican a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Las ecuaciones diferenciales parciales se tratan en los tres capítulos de la Parte III. Así, a menos que se diga lo contrario, cuando nos refiramos a una ecuación diferenncia implicaremos una ecuación diferencial ordinaria. EJERCICIOS A 1. Complete la siguiente tabla. (W y” -4y’ -5y = e3x (4 au a2u au -=4=+ay ( d ) (+$;+&$-3t te) d2x p-3x = sen y (h) ( 2 x + y ) d x + ( x -3 y ) d y = 0 6) y” + xy = sen y” (3 a27-d2T es una identidad. (Sugerencia: Derive ambbo lados de dy/dx = l/dx/dy con respecto a x.) (b) Use el resultado en (a) parr transformar la ecuación diferencial con variable independiente y, en una con variable independiente n. iPuede usted obtener la solución de esta ecuación? 5. Muestre que x = a(s -seno), y= u(l-cos 8), donde a es cualquier constante distinta de cero, es una solución de 1+ (y ‘)’ + 2yy” = 0. 1.3 SOLUCIONES GENERALES Y PARTICULARES En páginas 8-9 consideramos una ecuación diferencial la cual tenía una solución que involucraba una constante arbitraria (o parámetro) la cual se podía determinar a partir de una condición dada. En forma similar, en las páginas 7-8 consideramos una ecuación diferencial de segundo orden la cual tenía una solución que involucraba dos constantes arbitrarias (parámetros) las cuales se podían determinar a partir de dos condiciones dadas. Suponga ahora que nos dan un problema de valor inicial o de frontera que busca determinar la solución de una ecuación diferencial de orden n satisfaaciend n condiciones especificadas. Para conseguir esto sería bueno si pudiéramos hallar una solución de la ecuación diferencial que contuviera n constantes arbitrarias, para luego usar las n condiciones y encontrar las n constantes, y así obtener la solución requerida. Como una ilustración, consideeremo el siguiente PROBLEMA PARA DISCUSION Resuelva el problema de valor inicial 2 + y =0, y(O)=3, y’(O) = -4. (42) ’ Para satisfacer las dos condiciones iniciales’en (421, es natural para nosottro busca: una solución a la ecuación diferencial en (42), que esperamos tenga dos constantes arbitrarias, y luego usar las’ dos condiciones para determmina estas constantes. Hasta el momento, por supuesto, no sabemos cómm determinar tal solución, y los métodos para hacerlo deben dejarse para un capítulo posterior. Suponga, sin embargo, que por algún medio (tales como por conocimiento previo o usando error y ensayo) lleguemos a y=Acosx+Bsenx (43) Ecuaciones diferenciales en general 15la cual tiene las dos constantes arbitrarias A y B que se necesitan y que puedd verificarse como una solución. Usando la primera condición de (42) en (43), esto es, y(O) = 3, o y = 3 cuando x = 0, encontramos A = 3, de modo que (43) se convierte en: y = 3 cos x + B senx Para hallar B primero tomamos la derivada en (44) para obtener (44) y’= -3senx+Bcosx (45) Luego usando la segunda condición de (42) en (45), esto es, y ‘(0) = -4 o y ’ ti -4 cuando x = 0, encontramos B = -4. La solución requerida está así dada por y = 3 cos x -4 senx (46) Ahora en general una ecuación de orden n tendrá una solución que involuccr n constantes arbitrarias, y debido a su especial importancia para nosotrro le damos el nombre especial de solución general.* Una solución particuula obtenida de esta solución general al seleccionar los valores particulares de las constantes arbitrarias (por ejemplo para satisfacer condiciones dadas) se llama entonces una solución particular. Ejemplo 15. En el problema (42) de la página 15, y =A cos x + B sen x es la solución general, mientras que y = 3 sen x -4 sen x es una solución particullar Ejemplo 16. En el Ejemplo ilustrativo 1, páginas 8-9, y = ~2 + c es la soluciió general dey ’ = 2x, mientras que y = ~2 + 1 y y = ~2 -3 son soluciones particullares Ejemplo 17. Para la e’cuación diferencial g = 3~“~ (47) y = (x + c)~ es la solución general, y y = (X -2)3 es una solución particular. Ejemplo 18. Para la ecuación diferencial y ’ = 4y (48) y =AeB+zX no es la solución general puesto que la podemos escribir como y = (AeB)e*x o y = cezx, la cual es una solución pero tiene sólo urza constante, mientras que la ecuación diferencial es de orden 2.* Sin embargo, el estudiante puede mostrar fácilmente por sustitución directa que y= cle2x + c2e-2x con las dos constantes c,, c2 es una solución de (48) y es por tanto su solución general. La solución general de una ecuación diferencial puede ocurrir en forma implícita. Para examinar esta situación consideremos el siguiente PROBLEMA PARA DISCUSION R e s u e l v a dy z--&, Y(l) = 2. ‘Úna justificación teórica para usar el término de solución general está dada en la referencci [13] de la Bibliografia. De ahora en adelante números en corchetes cuadrados se referirán a la Bibliografía. *Si una relación involucra un conjunto de constantes que no pueden remplazarse por un conjunto menor, las constantes algunas veces se dice que son esenciales. 16 Capítulo unoUna solución es y2 -xy = c (50) tal como puede verificarse por diferenciación implícita de (50). Puesto que (50) involucra una constante arbitraria, nos referimos a ella como la solución general. Para obtener la solución particular que satisfaga y(l) = 2, sustituimmo x51, y = 2 en (50) y encontramos c = 2. Así y2 -XJ = 2 (51) La solución requerida al problema de valor inicial está en (51). Para mostrra explícitamente esto solucionemos (51) para y en términos de x por la fór-_ I. mula cuadrática para obtener Y= X+JFT% 2 (52) Probando la condición y = 2 cuando X= 1 en (52) muestra que debemos excllui el signo menos en (52). La solución requerida es por tanto y = gx + Jrn> (53) Es de interés interpretar el resultado gráficamente. Las curvas descritas por (52) se muestran en la Figura 1.3. Aunque ambas curvas representan curvva solución a la ecuación diferencial (49), sólo una de ellas satisface la condicció y(1) = 2, esto es, pasa por el punto (1, 2). Es también de interés notar que para puntos en la recta y = x/2 que separa las dos curvas, el denominaado a la derecha de la ecuación diferencial en (49) es cero. Los comentarios anteriores sugieren lo siguiente. Dado el problema de valor inicial Y’ = FC.% Y), Y(Xo) = Yo (54) Y Figura 1.3 Ecuaciones diferenciales en general 17que involucra una ecuación diferencial de primer orden, tratamos de hallar una solución que contiene una constante arbitraria llamada la solución generral Esto puede ocurrir en cualquiera de. las formas y = f(x, 4 U(x, Y) = c, G(x, y, c) = 0 (55) la primera representando a una función explícita, y las dos últimas a funcíonne implícitas. La constante c se determina entonces de modo que se satisfaag la condición dada en (54). Las extensiones a ecuaciones de alto orden se hacen fácilmente. El problema de hallar soluciones generales de ecuaciones diferenciales será tratado en capítulos posteriores. Un problema más simple es el problemm inverso de hallar la ecuación diferencial a partir del conocimiento de su solución general, esto es, “dada la respuesta, hallar el problema”. Para motivva el procedimiento, consideremos el siguiente PROBLEMA PARA DISCUSION Encuentre una ecuación diferencial que tenga como solución general y = ce -2x + 3x -4 (56) Diferenciando (56) se obtiene y’ = -2ce-‘” + 3 (57) Eliminemos ahora c entre las ecuaciones (56) y (57). Podemos hacer esto ya sea resolviendo c en una ecuación y sustituir en la otra, o más fácil en este caso multiplicar la ecuación (56) por 2 y sumar la ecuación (57). El resultado es y’ + 2y = 6x -5 (58) Como chequeo podemos süstituir (56) en (58) para hallar la identidad y’ + 2y = -2ce-2” + 3 + 2(cep2” + 3x -4) = 6x -5 Así, (58) es la ecuación diferencial de primer orden requerida teniendo a (56) como su solución general. De acuerdo a la página 9, podemos imerpretar (56) como una familia de curvas de un parámetro, y llamar (58) la ecuación diferenncia de la familia. La misma idea se puede usar con soluciones generales que contienen más de una constante arbitraria, simplemente diferenciando tantas veces como existan constantes arbitrarias y luego usar estos resultados para eliminna todas las constantes arbitrarias. Ilustremos el procedimiento con algunos ejemplos. EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Encuentre una ecuación diferencial cuya solución sea y = c, x + c2 x3. Solución. Puesto que hay dos const.antes arbitrarias c r y c2, tenemos que diferenciar dos veces, obteniendo y = c,x + c2x3, y’ = CI + 3c2x2, y” = 6czx (59) Ahora eiiminemos las constantes arbitrarias. Para esto, resolvamos cL en la última ecuación de (59). Encontramos c2 = g. (60) 18 Capítulo unoUsando esto en la segunda ecuación de (59) da y ’ = c , + xy “/2, de modo que c 1 = y’ ~ $l (61) Finalmente, usando (60) y (61) en la primera ecuación de (59), tenemos y+4)x+(x~)(~), (62) la cual al simplificarla se reduce a la ecuación diferencial de segundo orden requerida. X2$’ -3xy’ + 3 y = 0 (63) Chequeo. x2y” -3xy’ + 3y = x2(6c2x) -3x(r, + 3~~x7 + 3(c,x + c2x3) = 0 Note que y=c,x+c,x3 representa gráficamente a una familia de curuas de dos parámetros en el plano xy, y (63) es la ecuación diferencia1 de esta famillia Observación 6. Si nos dan una solución que contiene n constantes arbitraarias frecuentemente es fácil obtener una ecuación diferencial de orden mayor a n que tenga esta solución. Así, en el Ejemplo ilustrativo 2, y = c, x + c2x3 sería una solución de la ecuación de cuarto grado y(r”)= 0. Por supuestt que ésta no es la solución general de esta ecuación. Cuando buscamos la ecuación diferencial que tenga una solución general dada (por ejemplo y = c r x + ~~3~3 ) buscamos aquella del menor orden, esto es, de orden igual al número de constantes arbitrarias (en este caso dos). -EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Encontrar una ecuación diferencial para la familia de círculos con radio 1 y centro en cualquier punto del plano xy. Solución. La ecuación de un círculo con centro en (A, B) y radio 1 es (x -A)Z + (y -B)2 = 1 (64) Aquí tenemos dos parámetros o constantes arbitrarias A y B. Lo que buscamos es la ecuación diferencial cuya solución general esté dada por (64), para lo cual podemos usar el mismo procedimiento dado anteriormente. Diferennciand (64) con respecto a x, Z(‘c -A) + 2(v -B)y’ = 0 (65) 4 Resolviendo para (X -A) y sustituyendo en (64), tenemos (y -Q2(Jq2 + (y -B)Z = 1 (66) donde hemos tenido éxito en eliminar a A. Para eliminar a B, resolvamos parr (y -B) para obtener y -B = +[1 + (y’)y’2 Diferenciando y simplificando esta última ecuación se obtiene (67) Ecuaciones diferenciales en general 1 gla cual es la ecuación diferencial de segundo orden requerida. El estudiante puede recordar que el lado izquierdo de (68) es la curvatura de un plano curvvo Así, (68) establece que la curvatura de un cierto plano curvo en cualquier punto de él es igual a 1 en valor absoluto. Solamente los círculos de radio 1 tienen esta propiedad. 1.4 SOLUCIONES SINGULARES Cada vez que se formule un problema de valor inicial o de frontera, hay tres preguntas en relación a éste que podrían y deberían hacerse. 1. Pregunta de existencia. iExiste una solución de la ecuación diferenncia que satisfaga las condiciones dadas? 2. Pregunta de unicidad. Si existe una solución que satisface las condiciione dadas, ipuede haber una solución diferente que también satisfaga las condiciones? 3. Pregunta de determinación. iCómo encontrar las soluciones que satisfagan las condiciones dadas? Una tendencia natural es proceder directamente a la tercera pregunta e ignoora las dos primeras. Sin embargo, supóngase que llegamos a una formulaciió matemática de algún problema aplicado y pudiéramos probar que no tienn solución. Entonces claramente no vale la pena gastar tiempo en tratar de encontrar una solución. De nuevo, aún si tuvieramos éxito en encontrar una solución, respondiendo así afirmativamente a la Pregunta 1, está todavía la pregunta de unicidad. Si se pueden encontrar dos o más soluciones, esto violaarí el principio científico fundamental de que un sistema no puede comportaars en varias formas diferentes bajo las mismas condiciones. En tal caso se pondría en sospecha la validez de la formulación matemática. Para mostrar que hay alguna base para hacer las preguntas anteriores, supongamos que se nos ha dado el problema de valor inicial dy -= $Jl3, dx Yc3 = 0 Del Ejemplo 17, página 16, la ecuación diferencial (69) tiene la solución geneera y= (X+c)3. De la condición en (69) se tiene (2 + c)3 = 0 de modo que c = -2. Así, obtendríamos una solución que satisface (69) dada por y = (x -2)3 (70) Sin embargo otra solución de (69) está dada por y = 0. Aún una tercera seluciió está dada por x-2 -X<2 (71) Así, la solución no es única. La solución de (69) dada por y = 0 no puede obtenerse de la solución geneera y = (X + c)3 con ninguna selección de la constante c de modo que no es una solución particular. Es costumbre llamar una solución singular a cualquuie solución de una ecuación diferencial que no pueda obtenerse de la solucció general mediante una selección particular de las constantes arbitrariias Como el nombre lo sugiere, las soluciones singulares son soluciones no usuales o extratis. Ocasionalmente, éstas aparecen en problemas aplicados cuya formulación matemática involucra ecuaciones diferenciales no lineales. 20 Capítulo unoObservación 7. Algunos autores emplean la terminología de solución general para referirse a todas las soluciones de una ecuación diferencial (estt es, incluyendo todas aquellas que hemos llamado soluciones singulares). Nosotros no hemos hecho esto porque, como ya se .ha indicado, tenemos un punto de vista práctico que generalmente no se interesa en todas las solucionees sino en aquella solución de una ecuación diferencial de orden n que contiien n constantes arbitrarias las cuales pueden afortunadamente determinaars a partir de n condiciones asociadas.* Debido a situaciones tales como las anteriores, los matemáticos han Ilegaad a estar interesados en teoremas, llamados teoremas de existencia y uniciddad que sirven para decirnos dónde se puede garantizar la existencia y unicidad de las soluciones en vez de confiar en el azar.+ Presentaremos un ejemplo de uno de estos teoremas en la próxima sección. Presentaremos tambiié un procedimiento gráfico conocido como el método de campo de direccionne que con frecuencia permite visualizar dentro de las clases de soluciones que pueden ocurrir y sus relaciones. Sin embargo, puesto que’principalmente estamos interesados en este libro con problemas aplicados que pueden ser resueltos exactamente y para los cuales existen soluciones y son únicas, hemmo marcado la próxima sección como opcional, indicando que el-estudiante puede omitir la sección y pasar directamente al Capítulo dos sin perturbar de ninguna manera la continuidad de la presentación. EJERCICIOS A 1. Muestre que cada ecuación diferencial en-la Columna 1 tiene por solución la corresponddient relación en la Columna II. Obtenga las soluciones particulares que satisfaaga las condiciones eñ la Columna III. 1 II III (a) y’ + y tan x = 0 ~~~ -(b) y” -y = 4x. y = A cos x. y = c,e” f c,e-” -4x. (c) y’ = (y + x)/( 4’ -x). (d) y”’ = 0. (e) x(y’)’ + 2yY’ + xyy” = 0. XY2 = Ax + B. 2. Encuentre una ecuación diferencial correspondiente a cada relación, con las constannte arbitrarias indicadas. Verifique en cada caso que la ecuación diferencial tiene la relación como su solución general (a) y = 3x2 + te-2X: c. (b) .p = Y + c senx: c. (c) x* -ay2 = 1:a. (d) .yIn x = hx:h. *La terminología de solución completa se usa algunas veces para denotar todas las solucioones esto es, la solución general junto con las soluciones singulares, si hay alguna. ‘El autor conoce al menos el caso de un científico quien, desesperado por resolver trna ecuaciió diferencial sujeta a condiciones dadas, sometió el problema a un computador (a un gran costoo) pero aún no encontró solución. Finalmente, se le indicó que mediante el uso de un avanzado teorema de existencia se podía haber mostrado que el problema no tenía solución. Ecuaciones diferenciales en general 21(e) y = cI sen4x + c2 cos 4x + x:cI, c2. (f) 1 = ate-’ + Be-’ + 2 sen3t: (Y, 0. (g) x* + i2 -cx = 0:c. (h) y = ax3 + bx* + c’x:a, b, c. (i) y = Ae-3X + Be’” + Ce4’: A, B, C. (j) r=aIn4+/$+c:a,b,c. 3. Encuentre una ecuación diferencial para cada una de las siguientes familias de curvas en el plano xy: (a) Todos los círculos en el origen y con cualquier radio. (b) Todas las parábolas que pasan por el origen con el eje x como su eje común. (c) Toddo los círculos con centros en y = x y tangentes al eje y. (d) Todas las elipses con centro en el origen y ejes en los ejes coordenados. EJERCICIOS B 1. Encuentre una ecuación diferencial de tercer orden que tenga como solución y= ar sen x + bx cos x, donde a y b son constantes arbitrarias. iClasificaría usted esta solución como una solución general o particular de la ecuación de tercer orden? 2. (a) iCuántas constantes arbitrarias tiene y=cle5x+co +,c3e5x? (b) Encuentre una ecuación diferencial que tenga ésto como solución general. 3. Muestre que la solución general de y ” + y = e-I’ es y = A cos x + B senx + sen x s* e-” cos t dt -cos x sx e-“sen t dt Encuentre la .solución particular que zatisfaga y (0) = y ‘(0) 2 0. 4. (a) Escribiendo la ecuación diferencial del Ejemplo 17, página 16, en la forma 2 = 1 dy __ 3y2’3 y luego integrando directamente, verifique la solución general allí obtenida. (b) De la forma de la ecuación diferencial en (a), ipuede usted sugerir cómo la solucció singular y = 0 de la ecuación original pudo haber sido descubierta? (ver págiin 20). 5. Encuentre la solución general de dy/dx =y3. iEs y = 0 una solución singular? Explique. 6. (a) Muestre que y’=yp, donde p es una constante tal quk O

1 + 2 “donde n # 0 es el pa- rámetro. (b) Muestre que y = e* es una solución de la ecuación encontrada en (a) y explique por qué esto no es tan sorprendente. Observaciones adicionales relacionadas con las soluciones 2.1 OBSERVACIONES SOBRE EXISTENCIA Y UNICIDAD Digamos desde un priñcipio que, para la mayoría de las ecuaciones diferencciale que trataremos, hay soluciones únicas que satisfacen ciertas condiciione especificadas. Sin embargo, por temor a que el ingeniero o el científiic lleguen a ser demasiado confidentes con sus conocimientos, mostramos por medio de un ejemplo, qué tan importante es estar prevenido sobre los probleema de existencia y unicidad. El estudiante que piense que estará protegiid por el 99 por ciento de los casos está probablemente en lo correcto, pero el autor conoce unos pocos que estuvieran “atrapados” en la categoría del 1 por ciento restante. Consideremos la ~ ecuación diferencial xy ’ -3y = 0 (1) la cual surgió el! un cierto problema aplicado, cuyos detalles omitimos. Es suficiient decir que una curva experimental obtenida aparece en la Figura 1.4. De esta curva aparece que y = 0 para x I 0 y que y aumenta (de alguna maneera para x 20. Mediante métodos sencillos que discutiremos más adelante, el científico dedujo que la solución general de (1) es y = c2c3, donde c es una c o n s t a n t e a r b i t r a r i a . C o n s i d e r a c i o n e s t e ó r i c a s p r o p o r c i o n ó l a c o n d i c i ó n y = 1 donde x = 1 fa cual estuvo de acuerdo con el experimento. Por tanto, el científfic decidió que la solución requerida estaba dada por y = x3, cuyo gráfico aparece en la Figura 1.5. Los gráficos experimentales y teóricos estuvieron de acuerdo para x 10 pero no lo estuvieron para x < 0. El científico decidió que las matemáticas deben estar equivocadas. Sin embargo, resultó que el manejj de las matemáticas estuvo equivocado. El científico erróneamente ha asumiido como siempre lo había hecho antes, que existía una solución única. No es difícil mostrar que Ecuaciones diferenciales en general 23Figura 1.4 .--I (2,8) r donde A y B son constantes, es también una solución. Escogiendo A = 1 parr satisfacer y = 1 donde x = 1 y escogiendo B= 0 en la solución (2), obteneemo (3) estando completamente de acuerdo con el experimento. Este ejemplo muestra la necesidad de conocer cuándo una solución únicc realmente existe. Aunque no podemos adentrarnos en los detalles de la prueba, no debemos esconder nuestras cabezas de la realidad como el avestrru del probervio sino que, en vez, satisfaceremos nuestra conciencia con la siguiente cita Teorema de existencia-unicidad. Dada la ecuación diferencial de primme orden y ’ = F(r, y), si F(x, y) satisface las siguientes condiciones:* 1. F(x, y) es real, finita, simple valorada, y continua en todos los puntos de una región R del plano xy (que puede contener todos los puntos). 2 iF(x, y) *--&---es real, finita, simple valorada y continua en R. Entonces existe una y sólo una solución y = g(x)en R, tal que y =yO cuandd x=x0, esto es, y (x0) = yo .** Observación. Este teorema da las condiciones suficientes para la existennci y unicidad de una solución, esto es, si las condiciones se cumplen, la *AlguAas de las condiciones dadas en el teprema están implicadas por otras y se enuncian meramente por énfasis. **Se puede concluir más precisamente que ~(1’) existe y es continua en algún intervalo xg -h ( x 5 x0 + h; esto es, 1 x ~ x0 1 3 h dbnde h es algún número positivo que depende de F(x, v). 2 4 Capítulo unoexistencia y unicidad están aseguradas. Sin embargo, las condiciones no son condiciones necesarias; esto es, si no se satisfacen todas las condiciones, puede que aún baya una solución única. Se debería notar que e] teorema no nos dice cómo obtener esta solución. Correspondientes teoremas para ecuscioone de alto orden también existen.* Una interpretación gráfica de este teorema es que, si R es la región (partt sombreada en la Figura 1.6) en la cual las condiciones especificadas se cumplen, entonces por cualquier punto (x0 yo) en R pasará una y sólo una curva C cuya pendiente en cualquier punto de R está dada por y ’ = F(r, y). La solución y = g(x) representa la ecuación de esta curva en R. El teorema equivale a establecer que existe una solución única a y ’ = F(x, y) en R, la cual puede describirse por cualquiera de las ecuaciones dadas en (55), páginn 18, donde c se determina al conocer el punto (zO,y,,), esto es, y (x0) = yo. Esto sirve para soportar el uso de la terminología de solución general, puesto que si se satisfacen las condiciones del teorema no existen otras soluciione en R. Pueden surgir complicaciones si tratamos de extender la soluciió más allá de la región R. De hecho las soluciones singulares, si hay algunna tienden a ocurrir en la frontera de la región. Y Figura 1.6 En un cierto sentido el teorema de existencia-unicidad puede ser más ;significativo desde el, punto de vista práctico donde las condiciones no se cumplen que cuando ellas sí se cumplen. Esto es debido a que cuando ellas Y no se cumplen ni la existencia ni la unicidad de la solución pueden garantizaars y esta falta de garantía debería servir como una alarma de eomplicacionne potenciales. Por ejemplo, en el caso de la ecuación diferencial (1) del científfico página 23, las condiciones no se cumplen en una región rect,angular tal como se muestra en la Figura 1.7 la cual contiene puntos donde x 5 0. Así el científico pudo no haberse sentido tan confidente y tal vez incluso podría habbe obtenido la solución teórica correcta (3) estando de acuerdo con el experimeento Consideremos algunos ejemplos adicionales que ilustren el uso del teoreem de existencia-unicidad. *Un teorema de estos se considera en el Ejercicio 2C, página 33 y en el Capíth cuatro, Parr las pruebas de los teoremas incluyendo el dado anteriormente vea [ 131. Ecuaciones diferenciales en general 26Figura 1.7 EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Determine si existe una solución única para el problema de valor inicial &dx = J9 -(x2 + y2), L’(1) = 2 (4) Solución Tenemos F(x, J.) = ,/9 -(x2 + y2), l?F -y -= dY J9 -(x2 + y2) (5) y vemos que una complicación potencial surge para los puntos (x, y) para los cuales x2 + yz = 9. Supongamos que estamos alejados de tales puntos al escooge por ejemplo una región R dentro del círculo ~2 +yz = 8 (ver Figura 1.8), Y9 Figura 1.8 2 6 Capítulo unola cual incluye al punto (1,2) descrito por la condición inicial. Entonces, puesto que se cumplen las condiciones del teorema, podemos concluir que sí existe una solución única al problema de valor inicial. En otras palabras, existe una única curva solución C contenida en la región R que pasa por el punto (1,2) como se indica en la Figura 1.8. EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 . Use el teorema de existencia-unicidad para determinar si existe una solucció única para el problema de valor inicial 4z = 3y2’3, y(2) = 0 6) Solución Tenemos ? F-(x, y) = 39’3; g = --$ Así esperamos tener complicaciones en regiones que incluyan puntos donde y = 0. Del teorema de existencia-unicidad no podemos garantizar la existencci o unicidad de una solución en tale? regiones. Probando y = 0 vemos que es una solución lo cual muestra que al menos una solución existe, pero no sabeemo si es única. Realmente como se vió en la página 20, ésta no es única. EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Dada la ecuación diferencial lineal de primer orden 2 + JWY = Q(x) donde P(n) y Q(x) se asumen continuas en un intervalo a $ x $ b, pruebe que existe una solución única a la ecuación diferencial tal que y(x,) = yo donde x,, está dentro dlel intervalo. ? Solución Tenemos g= F(x, y) donde F(x, y) = Q(x) -P(x)y, $= -P(x) (9) de modo que las condicciones del teorema de existencia-unicidad se cumplen en una región rectangular R acotada por las rectas x = a y x = b. Así el resulltad requerido está Iprobado. EJEMPLO ILtlSTRATIVO 4 (a) Determine si existe una solución única para el problema de-valor inicial &z = Y2, Y(O) = 1 (10) (b) Verifique su conclusión en (a) resolviendo el problema Solución (a) Tenemos F(x, y) = y2, g = 2y (11) Así las condiciones del teorema de existencia-unicidad se satisfacen en cualquuie región R tal coma, el rectángulo de la Figura A.9 y podemos concluir que existe una solución úniica en R. Ecuaciones diferenciales en general 27X Figura 1 .9 dx 1 (b) Escriba la ecuación diferencial dada como -= ?. dy Y Entonces al integrar se tiene x = -h + c. Puesto que y = 1 cuando x = 0, es-1 1 to da c = 1 de modo que x = -y + 1, esto es, y = ~1 -x’ La única curva solución C correspondiente a esto también se muestra en la Figura 1.9. Se debería notar que aun cuando la región R pueda escogerse tan grande como se desee y que aún se satisfagan las condiciones del teorema de existencia, la curva no se extiende indefinidamente hacia la derecha.* De hecho, como se ve, no se extiende más allá de x = 1 lo cual representa una asíntota. El hecho de que x = 1 sea una barrera no es del todo evidente desdd la ecuación diferencial dada. Estos resultados indican las complejidades que pueden ocurrir en ecuaciones no-lineales. 2.2 CAMPO DE DIRECCIONES Y EL METODO DE LAS ISOCLINAS Suponga que nos dan la ecuación diferencial Y’ = F(x, Y) (12) donde F(x, y) satisface las condiciones del teorema de existencia-unicidad. En cada punto (a, b) de la región R (ver Figura 1.10) podemos construir una línea corta, llamada un elemento de línea, con pendiente F(a, b). Si hacdmos esto para un gran número de puntos, obtenemos un gráfico tal como se muesttr en la Figura 1.10 llamado el campo de direcciones de la ecuación diferenciial Los elementos de línea representan líneas tangentes a las curvas soluciió en estos puntos. ES bastante llamativo que mediante el uso de esta simple idea podamos llegar a tener una representación de la solución general de la ecuación diferenncia sin ni siquiera resolver la ecuación. La técnica es por supuesto muy útil, especialmente cuando no se puede encontrar una solución exacta. El grá-*El teorema de existencia-unicidad expresa esto al no garantizar más de lo que se establecc en el segundo pie de página de la página 24. 28 Capítulo unoFigura 1 .lO fico indica que la solución general de (12) está dada por JJ = f(x, 4, U(x, y) = c o G(x, y, c) = 0 (13) donde c es una constante arbitraria. Así, cada curva de la Figura 1.10 correspoond a un valor diferente de c, o dicho de otra manera, existirá una y sólo una curva que pasa por un punto dado de acuerdo al teorema de existenciauniccidad Ilustremos el procedimiento de obtener el campo de direcciones parr una ecuación diferencial al considerar el siguiente EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 Obtenga el campo de direcciones de la ecuación diferencial dY x -= --dx 4 (14) Solución Es conveniente escoger puntos (x, y) para los cuales x y y sean enterros y calcular las pendientes correspondientes en estos puntos En ecuacioone más complicadas el uso de la calculadora de bolsillo puede servir para minimizar cálculos laboriosos, y se pueden usar otros puntos que permitan una mayor precisión. Los cálculos se indican en la Figura 1.11 para el caso donde x y y están entre -4 y 4. Así, por ejemplo, la pendiente correspondientt a x = 2, y = 3, esto es, el punto (2, 3) es -.$. Puesto que X/y no existe parr y = 0 las entradas para estos casos se indican por una raya. El correspondiente campo de direcciones se indica en la Figura 1.12. El gráfico parece indicar que las curvas correspondientes a la solución general son círculos con centro en el origen; esto es, x2 + 1’2 = c (15) la cual llega a ser más evidente con la selección de más puntos. El resultado (15) es realmente correcto puesto que tiene la solución general de (14); o di-Ecuaciones diferenciales en general 29Figura 1.11 Y 55 ///,4 ///,3 ////2 .I ///l ._.-~~~~~~~~~~~~. -4 -3 -2 -1 \ \ \ l-1 \ \ \ l-2 \ \ \ l-3-4 -5 -â --i\\ ---.\ \ \ \\\\ \ \\ \ \ “.-+-.+.~---!----x :/;; ////AA//Capítulo uno Figura 1.12cho de otra manera, la ecuación diferencial de la familia de círculos (15) esta dada por (14). Cuando se busca el campo de direcciones para la ecuación diferencial )“ = F(x, Y) (16) el trabajo involucrado se puede reducir en algo al hacer Rx, Y) = m (17) donde m es una constante, y darse cuenta que cualquier punto sobre la curvv representado por (17) tiene asociado un elemento de línea con pendiente m. Esto frecuentemente se llama el método de las isoclinus (isoclina significa pendiente constante) y se ilustra en el siguiente EJEMPLO ILUSTRATIVO 6 Use el método de las isoclinas para trabajar el Ejemplo ilustrativo 5, en la página 29. Solución Para obtener el campo de direcciones requerido, escojamos un vallo particular de m, digamos m = 2. Entonces sobre la correspondiente recta y = -x/2 construimos elementos de línea paralelos de pendiente m = 2, comm se muestra en la Figura 1.13. Luego hacemos lo mismo para otros valores de m y así obtenemos el patrón indicado. Figura 1 .13 Ecuaciones diferenciales en general 31 /Figura 1.14 El dilema del científico referido en la página 23 pudo haber sido resuelto por medio del uso del campo de direcciones, como se indica en el siguiente EJEMPLO ILUSTRATIVO 7 Obtenga el campo de direcciones de la ecuación diferencial uy’ = -3y = 0 Solucitin El campo de direcciones obtenido por el método de las isoclinas, o como en las páginas 29-30, se muestra en la Figura 1.14. Es interesante que ‘4 esta figura revela la posibilidad de soluciones tales como Ax3, y = cc3 0. y = & i ’ x-20 x 50 la segunda de las cuales, con A = 1, B = 0, da la solución deseada de la págiin 24. El campo de direcciones de la Figura 1.14 sirve para ilustrar de una maneer elegante el teorema de existencia-unicidad en vista del hecho de que hay infinitas soluciones por el punto (0, 0), mientras que no hay soluciones por (0, y ) donde y f 0. EJERCICIOS A 1. Use el teorema de existencia-unicidad para determinar si existen soluciones únicca para cada uno de los siguientes problemas de valor inicial (a) y’ = 3x + 2y; y(1) = 4. (c) 4” = 1/(x2 + y2); y(0) = 0. (b) y’ = 1/(x2 + y2); y(O) = 1. (d) y’ + xq‘ = x2; y(0) = 2. (el 4” = (x -21’)/()‘ -2x); y(1) = 2. (g) ?” = x2 + y2; y(O) = 2. (f) y’ = 1/(x2 -y2): J(1) = 2. (i) !” = !‘csc x; y(O) = 1. (h) y’ = J-. ~‘(1) = 0. (j) y’ = l/jx* + 4~~ -4; y(3) = 2. 32 Capítulo uno2. (a) Muestre que la ecuación diferencial y ’ =I rfï tiene las soluciones y = t (x + c)2 y y = 0. (b) Discuta estas soluciones y sus r laciones con el teorema de existenciauniccida y entre cada una. 3. (a) Obtenga el campo de direcciones para y ’ = 2.x -y . (b) Explique la relación existeent entre las varias soluciones de la ecuación y el campo de direcciones. (c) ¿Puedd usted estimar la posición aproximada de aquella curva que pasa por (0, O)? (d) Muestre que la solución general dey’= 2x-y es y = 2~-2+ce-~, y compare así con su estimativo en (c). 4. Obtenga el campo de direcciones para cada una de las siguientes ecuaciones (a) y’=2x. (b) y’=y/x. ( c ) y’=x+y. ( d ) y’=l/(x’+4y’). 5. (a) Obtenga el campo de direcciones para y’= yI/,. (b) Explique la conexión enttr el campo de direcciones y los resultados del Ejercicio 2. EJERCICIOS 6 1. Discuta la existencia y la unicidad de una solución al problema de valor inicial y’=P(x)y+Q(x)yn, y(x,)=y,, para constantes dadas n, x0, yo. 2. Encuentre el campo de direcciones para las ecuaciones diferenciales dadas en Ejerciccio A l(a)-(f), y relacione los resultados obtenidos con las conclusiones obtenidas en esos ejercicios. 3. Discuta Ja. existencia y la unicidad de una solución al problema de valor inicial y’=l+xy+x9y2, y (0) = 1. Generalice al caso y’ = a,(x) + a, (x)y + a, (r)y’ , Y(oj=Y,. \ EJERCICIOS C 1. Muestre que la ecuación diferencial y’ = m+ 1 tiene soluciones y = x, y = x + ; (x + c)” e infinitamente muchas otras soluciones, tales como, por ejemplo y= x9 1 x 0. Para x < 0 ó .x < 0, J dx/x = In 1 x 1. Una tabla con algunas integrales importantes aparece en el interior de la contraportada posterior de este libro. 3 6 Capítulo dosX-= fece-XZ Y-’ y = +e-‘xeXz o finalmente y = Am? Chequeo. Colocando y = AxeXZ en la ecuación diferencial dada, tenemmo x(2,4x2r”’ + AeX’) -Axr:’ = 2x2(Axe”‘) o 2Ax3ex2 = 2Ax3e” 1. 2 . 1. 2 . 3 . EJERCICIOS A Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios, sujetos a las condiciones donde se den. (a) 2 = -z; y = 2dondex = 1 (b) 2 = -f; y(1) = 3. (c) 3xtL.2 + 1)dx .+ y(x2 + 2)dy = 0. (d) 2y dx + e-3X dy = 0. (e) y’ = y; y(1) = 0. (f) r$=@+ 1. (g) sen’ y dx + CO?’ x dy = 0; y 04 n = 4. (h) xJl+p2 dx = y,/m dy. ( i ) 2ycosxdx+3senxdy=O;y 5 =2. 0 lj) y’ = 8xy + 3y. (k) ;+ 51 = 10; Z(0) = 0. (1) y dx + (x3y2 + x3)dy = 0. La pendiente de una familia de curvas en cualquier punto (x, y) está dada por & _ 3x + xy2 dx 2y+x2y’ Halle la ecuación del miembro de la familia que pasa por (2, 1). EJERCICIOS B -4 Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios: 1 2 = (Y -1)(x -2)(Y + 3 ) dr * d x (x -l)(y -2)(.x + 3 ) ’ 2-G= sen4 + e2rsen+ ----; r = Odonde = z 3 9 + e’ cos 24 3 x3e2x2 + 39 dx -y3e-~2-2Y2 dy = 0, EJERCICIOS C Una partícula se mueve a lo largo del eje x de tal manera que su velocidad es proporcciona al producto de su posición instantánea x (medida de x = 0) y el tiempo t (medido de t = 0). Si la partícula está localizada en x = 54 cuando t = 0 y x = 36 cuando t = 1, idónde estará cuando t = 2? dy 4y2 -x4 Muestre que la ecuación diferencia z = ___ 4xY no es separable pero se convierte en separable con el cambio de la variable dependiente dey a u de acuerdo a la transformmació y = ux. Use esto para encontrar la solución de la ecuación original. (a) Muestre que la ecuación diferencial no separable [F(x) +yG(xy)] dx + xG(xy)dy = 0 se convierte en separable al cambiar la variable dependiente de y a Ecuaciones diferenc!ales de primer orden y ordinarias simples de alto orden 3 7u de acuerdo a la transformación u = XY. (b) Use esto para resolver (x2 +y sen XY )dx + x sen xy dy = 0. 2 El metodo de la transformaciõn de variables Puesto que una ecuación diferencial cuyas variables son separables es muy fácil de resolver, una pregunta relativamente obvia que podría formulaars es la siguiente. Pregunta. iExisten algunos tipos de ecuaciones diferenciales cuyas variables no son separables, que de alguna manera se puedan cambiar o transformar en ecuaciones cuyas variables sean separables? La respuesta 8 esta pregunta es “si”. De hecho una de las más importannte maneras de resolver una ecuación diferencial dada es hacer un apropiiad cambio o transformación de variables de tal manera que la ecuación dada se reduzca a algún tipo conocido que pueda resolverse. La situación es mucho más análoga al de los “trucos ingeniosos” a menudo usado en cálcull para la evaluación de integrales por un cambio de variable. En algunos casos la transformación particular de variables arser usada es sugerida por la forma de la ecuación. En otros casos la transformación puede ser menos obvia. 2.1 LA ECUACION HOMOGENEA Una ecuación que casi siempre puede transformarse en una con variablle separables es 2=f($ (1) y cualquier ecuación diferencial que es o se pueda escribir en esta forma se llama ecuación diferencial homogénea. Para cambiar (1) en una ecuación separaable usamos la transformación y/x = u ó y = ux, esto es, el cambio de Ja variable dependiente de y a u manteniendo la misma variable independieent x. Entonces dy dv d:y=v+x~ y la ecuación (1) se convierte en u + xg = f(v) de modo que (2) donde las variables están separadas. La solución se obtiene entonces por integraación. EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Resuelva 2 = !??! dx x+y *Debería notarse que el método no funciona en el caso f(u) = LI; esto es, f(y/.r) =y/x. Sin embargo, en este caso la ecuación ya ea de tipo separable. 38 Capítulo dosSolución Podemos escribir la ecuación como dy 1 -YIX --dx-1 + YlX en la cual el lado derecho es una función de y/x, así que la ecuación as homogéénea Haciendo y = VT, tenemos d6 1-u -du 1 -2v -v2 dx (1 + o)du U+X-&=l+v’ xz= l+u ’ x=1-2”-vZ Así, lnx= -f ln(l-2u-uz)+cl ó In [x2(1-2u-u’)] =cz de modo que ~2 (1 -2u -uz ) A c. Remplazando u por y/x y simplificando, encontramos x2 -2xy-yz =c. EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Resuelva dy yeyix + y z= x . Solución El lado derecho puede escribirse como (y/x)eylx + (y/x), una función de y/x, de modo que la ecuación es homogénea. Haciendo y = vx, obtenemos dV e-‘dv d x v+xz=ve”+v 0 c’ =x De donde La integración no puede desarrollarse en forma cerrada. Observ@ón El estudiante debería notar que una ecuación y’= f(x, y) es homogénea si al celocar y = un en el lado derecho de la ecuación se convieert en una función sólo de U. Así, en el Ejemplo ilustrativo 1, por ejemplo (x -y)/(x + y) se convierte en (l-u)/(l + u). 2.2 OTRAS TRANSFORMACIONES ESPECIALES Como un ejemplo de una transformación especial sugerida por la forma de una ecuación diferencial dada, consideremos el siguiente EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Resuelva la ecuación diferencial y ’ = Vlx + y. Solución La ecuación no es separable. Sin embargo, la presencia de x + y sugiere que pudiéramos tratar de cambiar la variable dependiente de y a v dada por x+y=d (3) donde hemos usado VS en (3) en lugar de u para evitar las raíces cuadradaas De (3) tenemos y’ = 2 = g (02 -x) = 2u $ -1 Ecuaciones diferenciales de primer orden y ordinarias simples de alto orden 39Así la ecuación se convierte en 2c*-1=, ) dx Podemos escribir esto en forma separable como 2v dv 2v dv -=dx o u+l s-= d x VS1 s (4) Desarrqllando la integración en el lado izquierdo, tenemos s5 = 2 f (’ t t’ le ’ du = 2 s (1 -&) do = 2v -2 In (u + 1) así que la solución general de (4) es 2u -2 In(u + 1) =x + c. Remplazando u por my obtenemos ahora la solución general requerida de la ecuación dada 2Jxfy-ZIn(Jx+y+ l)=x+c EJERCICIOS A Resuelva cada uno de los siguientes: 1. 2 = 1 + LX 2. g = x + ;; y(1) = 1. X 3. xy’ = 2x + 3y. 4. (x2 -y2)dx -2xy úy = 0. 5. (x + 2y)dx + (2x + y)dy = 0. -4 6 2,Y + xcos2(y/x) dx x ; Y(l) = 4” 7. x9’ = y -JFg. 8. y dx = (2x + 3y)dy. 9. (x3 + y3)dx -xy2 dy = 0; y(1) = 0. ll. y’=~+s&. X X 12. (x -4y)dx + (3x -2y)dy = 0. Resuelva: EJERCICIOS B t 2 6x2 -5xy -3 2y2 ’ dx = 6x2 -8xy + y2 4. y’ = (x + yp. 5. y’ = Jw. Resuelva la ecuación 2 2x 6. + 3y -t 1 . = ú.x 3x -2y -5 SI x=X+h y y= Y+k, donde X, Y son nuevas variables y h y k son constantes, y luego escoja h y k apropiadamente. 7. Resuelva (3x-y -9)~’ = (lo-2x + 2~). 8. Muestre que el método del ejercicio 6 ‘falla para la ecuación (2x f3y + 4)dx= (4x + 6y + l)dy. Sin embargo, muestre que la sustitución 2x + 3y = u conduce a la solución. ,40 Capítulo dos9. Resuelva (2x + 2y + l)dx + (x +y -1)dy = 0. 10. Resuelva 2x sen? + zx tan !I -Y cos k -L‘ sec -21 X x x X EJERCICIOS C 1. Resuelva fa)‘:: = x cos y + x sec* y x x dl‘ = 0 . dy 2y x3 2. Resuelva z = ~-+ --+ x tan 4~ por la transformación y = uxL X Y x2 3. Resuelva 2 = 3x5 + 3.x21.2 2x34. -2J.3 haciendo x = up, y = u v y escoja las constantes p y q apropiadamente. iPodría la ecuación ser resuelta haciendo y = UF y seleccionnand la constante n? 4. Haciendo y = ux” y escogiendo la constante n apropiadamente, resuelva (2 + 3xy2)dx -4xzy dy = 0 5. Resuelva (a) 2 = (Xi:‘-1’>;. (b) 4-y’ = Jm. 6. Resuelva $ = Y(l + XY) x(1 -xy)’ 7. Muestre que xciy -ydx = tan-1 (y/x)dx puede resolverse por la sustitución y = un aún cuando la ecuación no es homogénea. Explique. 3 La idea intuitiva de exactitud Suponga que nos dan una ecuación diferencial de primer orden dJ Mdx+Ndy=O o -mg dx Entonces, por analogía con la ecuación (6), en página 35, podemos esperar que la solución general esté dada por U(x, y) = c (2) donde U(x, y) debe ser determinada y c es una constante arbitraria. En tal caso la ecuación diferencial correspondiente a (2) se obtiene tomando la difereencia de ambos lados de (2), esto es _ dU = g,I, + p::dy = 0 Así la ekación diferencial requerida está dada por dy aulax . gdx+gdy=O o dx=-p 2 u/ay I(3) (4) Ecuaciones diferenciales de primer orden y ordinarias simples de alto orden 41Ahora puesto que la ecuación (4) deberá ser la misma que la ecuación (l), deberremo tener aujax M aulax aulay a==z 0 =-M N Llamando cada uno de estos últimos cocientes cc, el cual puede ser tina función de x y b, tenemos au -= pM, au ax -= pN aY (5) Sustituyendo estos valores en (3) encontramos que p(M dx + N dy) = dU = 0 (6) De (6) vemos que p (Mdx + Ndy) es la diferencial de una función U de x y y. Llamamos a esto una diferencial exacta 0 perfecta. Si comenzamos con la ecuación diferencial Mdx+Ndy=O (7) y multiplicamos por /I para obtener p(M x + N dy) = 0 (8) donde el lado izquierdo es una diferencial exacta, decimos que hemos hechc exacta la ecuación (7) y llamamos (8) una ecuación diferencial exacta. En tal caso, (8) puede escribirse como ._ dU(x, y) = 0 (9) de la cual u (x, Y) = c (10) La función /I, la cual nos permite ir de (7) a (9) y luego por integración a (lo), es por obvks razones llamada un factor integrante. Resumamos estas observaciones en tres definiciones. Definición 1. La diferencial de una función de una o más variables es llamaad una diferencial exucta. Definición 2. Si Mdx + N dy= 0 se multiplica por u(x, .y) para obtener p(M dx + N dy) = 0, cuyo lado izquierdo es una diferencial exacta, decimos que hemos hecho exacta la ecuación diferencial.* Definición 3. La función’ multiplicadora p es llamada un fuctor integruntt de la ecuación diferencial Mdx +N dy = 0. En el método de separación de variables, hemos, sin darnos cuenta, hecch uso de las ideas anteriores. Por ejemplo, en el Ejemplo ilustrativo 2, págiin 36 nos dieron la ecuación diferencial (2x2y + y)dx -x dy = 0 *Naturalmente, asumimos pf 0. También, si p -1, la ecuación es ya exacta. 42 Capítulo dosDespués multiplicamos la ecuación por el factor integrante “apropiado” b = l/xy para obtener ( ) 2x+!-dx-Lo X Y (ll) Esto es, d(.$ + In 1x1 -In (yl) = 0 0 x2 + In 1x1 -In ly[ = c Para una ilustración más dramática de las ideas anteriores, consideremmo una ecuación cuyas variables no sean separables como en el siguiente Ejemplo de motivación. Se requiere resolver la ecuación (2y + 3x)dx + x dy = 0 (12) Suponga que “conocemos” que un factor integrante de esta ecuación es x. Multiplicando (12) por x se obtiene (2xy + 3X2)dX + x2 dy = 0 (13) la cual, por definición de factor integrante debería ser exacta. El estudiante puede verificar que esto es así, puesto que podemos escribir (13) como d(x*y + x3) = 0 y así, por integración, la solución general es x”y + ~3 = c. (14) Teóricamente, el ejemplo es perfectamente claro, pero los estudiantes se podrían hacer las siguientes JI Preguntas. (1) iCómo hace uno para “conocer” que x es un factor integraanté (2) iCómo hace uno para “conocer” que podemos escribir (13) como (14)?Pregunta 2 se responde en la próxima sección. Pregunta 1 formará la bass para una discusión más adelante de este capítulo. 4 Ecuaciones diferenciales exactas Si la ecuación diferencial M dx + N dy = 0 es exacta, entonces por definiició hay una función U(x, y) tal que Mdx + Ndy = dU (1) Pero, del cálculo elemental, dU=gdx+gdy (2) y así, al comparar (1) y (2), vemos que au -=M au ax ’ dy= N (3) Ecuaciones diferenciales de primer arden y ordinarias simples de alto orden 43Diferenciando la primera de las ecuaciones (3) con respecto a y y la segunda con respecto a 31, encontramos* a2Ll í?M í?‘U ¿3N ayax =aJI' axay = 7% \ (4) Bajo condiciones apropiadas, el orden de la diferenciación es indiferenteet así que la ecuación (4) lleva a la condición aM dN -=-ay ax (5) Esto es una condicih necesaria para la exactitud; esto es, si la ecuación difereencia es exacta, entonces de lá necesidad sigue que (5) es verdadera. El teorema recíproco establece que si (5) se cumple, entonces M dx + Ndy es una diferencial exacta, esto es, podemos encontrar una función U tal que c?UJC?X = M, aUjay = N. Este teorema recíproco puede probarset y se muesttr que (5) es también una condición suficiente para la exactitud. Resumimmo estas observaciones en el siguiente Teorema. Una condición necesaria y suficiente para la exactitud de la ecuación diferencial M dx + N dy = 0 es ;M/8y = aNJ&. Esto significa que (1) si Mdx + Ndy = dU= 0 (esto es, la ecuación es exacta), entonces i+M/¿?y = iTN/ax, (necesidad); (2) si aMIay = aNJ&x entonces U existe tal que M dx+ N dy = dU o, lo que es equivalente, U existe tal que aU/& = M Y aU/ay = N (suficiencia). Para ilustr:r el teorema, considere la ecuación (13) de la página 43, esto es, (2xy + 3X2)dX + x2 dy = 0 M = 2xy + 3x2, N = x2, -M = 2X ay ’ E! = 2X ax Así, por la parte de suficiencia del teorema, se nos garantiza una función U tal que (2xy + 3x2)dx + x2 dy = dU (6) 0, lo que equivale a lo mismo, existe una función U tal que au -= 2xy + 3x2, au í3X -= 9 ?Y (7) *Estamos suponieñdo naturalmente que estas derivadas existen; de otro modo no tenemos derecho a tomarlas. tuna condición suficiente bajo la cua1 el orden de la diferenciación es indiferente es que U y sus derivadas parciales (al menos de orden dos) sean continuas en una región del plano xy tal como se muestra en la Figura 1.6, página 25. En lo que sigue asumiremos que esta condición se satisface a menos que se diga Io contrario. 1 Ver páginas 45-46. 4 4 Capítulo dosNos falta determinar U. Esto no es difícil, ya que la primera ecuación en (7) establece solamente que la derivada parcial de U con respecto a x es 2xy + 3x2. Deberíamos luego ser capaces de encontrar a U por el recíproco de la diferenciación con re pecto a x, esto es, la integración con respecto a x, manteniiend y constant 1. La constante de integración que debe añadirse es indepenndient de x pero podrh depender de y ; esto es, la constante arbitraria puede realmente ser una función de y. Denote esto por f(y). Así, obtenemos u = s(2xy + 3X2)fJX + f(y) (8) el símbolo ax enfatiza que la integración es con respecto a X, manteniendo y constante. Desarrollando esta integración, encontramos u = x2y + x3 + f(y) (9) Para hallar f(y), sustituya (9) en la segunda de las ecuaciones (7). Entonces $ rx*y + x3 + f(y)] = x2 0 x2 + f'(Y) = x2 de modo que f’(Y) = 0 0 f(y) = constante = A .& De donde, U = x2y + x3 + A Así, la ecuación diferencial puede ser escrita d(x”y + x3 +A) = 0 y la integraació produce 3czy +’ x3 + A = k ó x2 y $ ~3 = c donde hemos escrito c = B:A. Se observa que ésta es la misma solución que se obtuvo en la pasada sección. Se observa también que no hubo realmente necesidad de añadir la constante de integración, A, para hallar f(y). Para probar la parte de suficiencia del teorema de la página 44, basta mostrar que si Ml8y= aN/¿?x entonces podemos de hecho producir una funciió U(n, y) tal que au M au N -= , ax ay= (10) Ciertamente hay funciones U que satisfarán la primera de las ecuaciones (10); de hecho todas estas funciones están dadas por u= J~u+f(y) (11) Todo lo que tenemos que hacer ahora es mostrar que existe una función f(y) tal que (ll) también satisfará la segunda de las ecuaciones (lo), esto es, debeemo mostrar que f(y) existe de modo que d & LS M8x+f(y) =N 0 f’(y)=N-$Jkfax 1 Para mostrar esto, necesitamos sólo probar que G$JIW~ (12) Ecuaciones diferenciales de primer orden y ordinarias simples de alto orden 4 6es una función sólo de y. Esto será realmente cierto si la derivada parcial con respecto a x de la expresión (12) es cero. Pero ésto se muestra fácilmente comm sigue: puesto que aM/dy = aN/dx por hipótesis. La suficiencia está por tanto probaada EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Resuelva 2xy dx + (x2 + cos y)dy = 0. Solución Aqui M = 2xy, N = x2 + cos y, F = 2x -aN -ax Y la ecuación es exacta. Así U existe tal que au -= 2xy, au ax ay = x2 + cos y 03) Integrando la primera ecuación con respecto a x da U=.x” y + f(v). Sustituyyend en la segunda ecuación de (13), encontramos x2 + y(y) = x2 + cos y, f’(Y) = cos Y, -OY) = seny De donde, U= ~2 y + sen y y la solución general requerida es x2 y + sen y = c. EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Resuelva ‘y ’ = (xy2 -l)/(l -~2 y), dado que y = 1 donde x = 0. Sts$ución Escribiendo Ia ecuación como (xyz -1)dx + (~2 y -1)dy = 0, tenemos M = xy2 -1, N = x2y -1, aM aN ay=5 = 2xy y la ecuación es exacta. Así, de dU/dx = M y dU/ay = N encontramos ‘-u -x2y2. 2 x -y = c Usando la condici6n de que y = 1 donde x = 0, tenemos finalmente kx’y’ -.x-y = -1. El estudiante puede encontrar más fácil resolver ecuaciones exactas por un método de inspección conocido como “agrupación de términos”. Este está basado en la habilidad de reconocer ciertas diferenciales exactas. 46 Cal)ítulo dosEJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Resuelva 2xy dx + (x2 + cos y) dy = 0 por “agrupación de términos”. Solución La ecyación es exacta. Si agrupamos los términos como sigue: (2x4’ dx + x2 dy) + cos y dy = 0 entonces d(x’y) + heny) = 0 0 d(x2y + seny) = 0 Así, la solución es x2 y + sen y = c, estando de acuerdo con el Ejemplo ilustraativ 1. EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 Resuelva y ’ = (xyz -l)/(l -x’y) por “agrupación de términos”. Solución La ecuación escrita (3tyz -1)dx + (x’y -l)dy = 0 es exacta. Agrupando se obtiene (xy2 dx + x2y dy) -dx -dy = 0 0 -dx -dy = 0, esto es d De donde, k En general, el método de agrupación produce resultados más rápidos perr requiere más experiencia. El método general requiere menos ingenio EJERCICIOS A -c 1. Escriba cada ecuación en la forma M dx f N dy = 0, pruebe la exactitud, resuelva aquellas ecuaciones que son exactas. (a) 3xdx + 4ydy= 0. (b) y’ = s. (c) 2xyy’ $= x2 -y2. (4 Y’ = 2, (f) $ = r2 sen 4 . 2r cos C/I -1 (ii9 (ye-” -senx)dx -(eCX + 2y)dy = 0. dx + (In x + 2y)dy = 0. (i) y’ = AY -4 e” -2xy’ (j) (x2 + x)dy + (2xy + 1 + 2 cos x)dx = 0. 2. Resuelva cada ecuación sujeta a las condiciones indicadas. (a) y’ = y -2x . -’ y(1) = 2. 2y-x’ (b) 2xy dx + (x2 + 1)dy = 0; y(1) = -3. w Y’ = 2x -seny x cos y ; Y(2) = 0. (4 ; =,,,;~~‘,a, y ; ~(4 = ;. , (e) (x2 + 2ye**)y’ + 2xy + 2yZe2” = 0; y(O) = 1. Ecuacionés diferenciales de primer orden y ordinarias simples de alto orden 473. i. 2. 3. \ 4. 5. 1. 2. -3 . 4. Muestre que cada una de las siguientes ecuaciones no es exacta pero llega a ser exacta al multiplicarla por el factor integrante indicado. Luego, resuelva cada ecuaciión (a) (y2 + 2x2jdx + xg dy = 0; x. (b) y dx + (4x -y’)dy = 0; y’. (c) cos x dy -(2yknx -3)dx = 0; cos x. 1 (4 (x -y)dx + (x + Y)~Y = 0; -$yz). EJERCICIOS B Resuelva [--&-++-&]dY=o. Pruebe que una condi& necesaria y suficiente para que la ecuación f(x)& + g(r)h(y)dy = 0 sea exacta es que g(x) sea constante. Pruebe que una condición necesaria y suficiente para que la ecuación [f,(x) + gl(y)l dn + [fi (x1 + g, (y)] dy = 0 sea exacta es que g, (yhfx +fi (n)dy sea una diferencial exacta. Determine la ecuación más general ZV(x, y) tal que (y sen x + xzy _ x secy)dx + N(x, y)dy = 0 sea exacta, y obtenga su solución. eesuelva 2xsen: + 2x tan y -y cos 2 -y seg’ f x cos f + xseg’ i dy = 0. X X > Compare con21 Ejercicio 10-B, página 41. EJE RCIC IOS C Muestre que yf(xy)dx + rg(ry)dy = 0 no es exacta en general pero llega a ser exactt al multiplicarla por el factor integrante { ny[f(xy) -g(xy) ] ] -1. lhe Ejercicio 1 para resolver (xyz q 2y)dx + (3x2~ -4n)dy = 0. Si dP/ax = i?Qfdy y @/ay = -aQ/ax muestre que la ecuación Pd+ + Qdy = 0 no es exacta en general pero llegar a ser exacta al multiplicarla por l/(F +Q’). Ilusttr al considerar P = x2 -yz , Q = 2xy. Sea f(z) = P(n, y) + iQ(z, y) donde f(z) es un polinomio en la variable compleja z = z -+ iy y P y Q son reales. (a) Pruebe que ap aQ aP aQ z=-$ dy=-dx (b) Discuta la relacih de (a) con el Ejercicio 3. (c) Las ecuaciones en Ja), frecuentemment llamadas las ecuaciones de Cauchy-Riemann, json válidas para otras funcioones Explique. C)Ecuaciones hechas exactas por un factor integrante apropiado Si la ecuación M dx + N dy = 0 es exacta, esto es, si aA4/¿3y = aN/ax, entonces la ecuación s,e puede resolver por los métodos de la sección anterior. En caso de que la ecuación no sea exacta, es posible que la ecuación la podammo hacer exacta al multiplicarla por un factor integrante apropiado cc, de 4a Capítulo dosmodo que la ecuación resultante pMdx+,uNdy=O (1) será exacta, esto es &W = &N) (2) Desafortunadamente no hay un solo método para obtener factores integrantes. Si hubiera, nuestra tarea estaría altamente simplificada. Afortunadamente, sin embargo, existen algunos metodos, los cuales discutiremos, que parecen surgir frecuentemente en la práctica. El primer método que debería buscarse siempre en la práctica es por supuesto el método de separación de variables, donde el factor integrante es generalmente aparente puesto que M y N puedde cada una escribirse como el producto de una función de x y una función de y. Veamos uno de tales ejemplos usando las ideas del factor integrante y exactitud. EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Resuelva 2 = 3x + xy2 ,si y(l) = 3. Y + X2Y Solución Escribiendo la ecuación como (3x + ~yz )dr -(y + x”y)dy = 0 tenemos aN M = 3x -t xy2, N = -y -X2y,% = 2xy,-= -2xy aY ax de modo que la ecuación no es exacta. Notando que M y N cada una puede ser factorizada en un producto de una función de x y una función de y, esto es, x(3 + y2)dx -y(1 + ‘x2)dy = 0 (3) un factor integrante es 1 p = (3 -t y2)(l + x2) Multiplicando (3) por este factor integrante se tiene la cual es separable y la ecuación es exacta. La integración de (5) produce entonnce -$ In (1 + x2) -3 In (3 + yz) = c 0 (1 +-x2) = 43 + y2) Puesto que y = 3 cuando x = 1, encontramos A = i. Así, la solución requerida es (1 + x2) = Q(3 + y2) o y2 _ 6x2 = 3 (Q 5.1 ECUACIONES HECHAS EXACTAS POR FACTORES INTEGRANTES QUE INVOLUCRAN UNA VARIABLE Supóngase que se desea resolver la ecuación diferencial (2y2x -y)dx f x dy = 0 (7) Ecuaciones diferenciales de primer orden y ordinarias simples de alto orden 49Es fácil mostrar que la ecuación no es separable y no es exacta: Agrupando apropiadamente los términos en la forma (xdy -ydx) + 2y2x dx = 0 y dividiendo por y2 podemos escribir la ecuación como -0 -d f + d(x2) = o o -; + X2 = c lo cual da la solución general. El método es comúnmente conocido como el método de inspección y está basado en la ingenuidad en muchos casos. El estudiante puede observar del método anterior que l/y2 es un factor integrante de la ecuación (7). La multiplicación por este factor hace exacta la ecuación (7), y podemos luego usar nuestro procedimiento estándar. Pero icómo podemos decir que l/y2 es un factor integrante? Consideremos este problema. Considere el caso donde Mdx + N dy = 0 no es separable o exacta. Multipliiquemo nuestra ecuación por el factor integrante p (aún desconocido). Por definición de un factor integrante, la ecuación PMdr +pNdy = 0 es ahorr exacta, de modo que (8) A +j ww = &N Simplificaremos nuestro trabajo al considerar dos casos: Cuso 1, p es una función sólo de x. En este caso podemos escribir (8) como (9) Si el coeficiente de dx a la derecha de (9) es una función sólo de x [digamos fWl> entonces tenemos d& = f(x)dx y así In p = If(x)dx o p = ej fwdx omitiendo la constante de integración. Podemos enunciar este resultado comm sigue: Teorema. Si i(g -g) = f(x), entonces &f(x)dx es un factor integrante. Caso 2, b es una función sólo de y. En este caso, (8) puede ser escrita como dp P fi+M-=$ 0 aY dY y podemos probar el .Teorema. -Si k (g -2) = g(y), entonces .cJg(Y)dY es un factor integrante. Un esquema nemotécnico para resumir el procedimiento es el siguiente. Considere Mdxi-Ndy=O 50 Capítulo doscalcule Si (1) = (2), la ecuación es exacta y puede fácilmente resolverse. Si (1) # (2), calcule (1) menos (2), dividida por N; llame el resultado f. Si f es una función sólo de x, entonces eJf dx es un factor integrante. Si no, calcule (2) menos (l), divida por M; llame el resultado g. Si g es una función sólo de y, entonces eSg*y es un factor integrante. EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Resuelva y di + (3 + 3x -y)dy = 0. Solución Aquí M=y,N=3+3.~-y,$f=l,E= de modo que la ecuación no es exacta. Ahora l -3 3+3x-L’ 3-l 2 no es una función sólo de x. Pero -= ~ Y Y 3 es una función sólo de y. Por tanto eJc2/y)*y = e21ny = e’ny* = Y2 es un factor integrante. Multiplicando la ecuación dada por ~2, el estudiante pnede ahora mostrrar realmente, que llega a ser exacta y la solución es Y4 xy3 + y3 --j-= c EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 2XY Una curva que tiene una pendiente dada por 2 = 2p x -y2 pasa por el punto (2, 1). Encuentre su ecuación. Solución La ecuación diferencial puede escribirse 2xy dr + (y’ -x2 )dx = 0. M = 2xy, N = y2 -x2, de modo que la ecuación no es exacta. Ahora 2 x -( -2 x ) 4.X y2 -x2 =.z j -x no es una función sólo de x, pero -2 x -2 x -2 -=-. 2xy 4 es una función sólo de y. Por tanto, un factor integrante está dado por ,S(-W*y = e-21n~ _-y -2 Ecuaciones diferenciales de primer orden y ordinarias simples de alto orden 51Usando el factor integrante, encontramos la solución general x2 + y2 = cy Para la curva particular que pasa por (2, 1) hallamos c = 5, y la ecuación requeerid es x2 + y’ = 5y, o en forma explícita, y = + (5 -V25 -4x2). Observación. La ecuación también puede resolverse como una ecuaciió homogénea. EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 Resuelva y’ = x -y, dado que y = 2 donde x = 0. Solución Escribiendo la ecuación diferencial como (x -y)dx -dy = 0 3M dN tenemos M = X _ y, N = -1 , --z-j, -=o aY UX de modo que la ecuación-no es exacta. Ahora (-1 -O)/-l= 1 es una funciió de x. Por tanto, eJ ’ dx = ex es un factor integrante. Como el estudiante puede mostrarlo, la solución requerida es (X -l)ex -yex = -3. EJERCICIOS A 1. Resuelva: (a) (3x + 2y')dx + 2xy dy = 0. (b) (2x3 -y)dx + x dy = 0; y(1) = 1. (c) (1.2 cos x -y)dx + (x + Jqdy = 0. (d) (x + x3sen 2y)dy -2y dx = 0. dV (4 -& = sen y x cos y -sen2 y ; y(0) = f. (f) (2ysenx -cos x)dx + cos x dy = 0. -3x (h) $ = $-. (j) (y3 + 2e"y)dx + (ex + 3$)dy = 0. 2. La ecuación diferencial de una familia es y ’ = (x +y)/x. Encuentre la ecuación de una curva de esta familia que pasa por (3,O). 3. Complete las soluciones de las ecuaciones diferenciales en los Ejemplos ilustrativos 3 y 4. EJERCICIOS B Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios l 2 = !y’cotx +st+nxcosx (1.Y 24' -. 2. g= x'y.1 4.3' 3. (3x2 + )’ + 3X3?.) -x2 /4, la cual describe geométricamente la región por encima de la parábola de la Figura 2.2. Dado un punto, diagamos (1, 2), en esta región, vemos de la solución general y = cx + cz que cz + c -2 = 0 Figura 2.1 62 Capítulo dosFigura 2.2 ó c = l , -2; esto es, y = x + 1, y = 4-2x. De éstas, solamente y = x + 1, x 2 -2, satisface la primera ecuación de (7), mientras que y = x + 1, x 0 -2, satisface la segunda ecuación de (7) acorde con el teorema de existencia-uniciddad De manera similar podemos mostrar que y = 4 -2x, x 5 4, es la única solucció de la segunda ecuación en (7) que pasa por (1, 2), mientras y = 4 -2x, x 2 4, es la única solución de la primera ecuación. La situación se indica en la-Figura 2.2. Los conceptos descritos anteriormente para la ecuación de Clairaut sirvve para indicar algunos principios guías en relación a las soluciones para tipos más generales de ecuaciones. Para las ecuaciones diferenciales ordinarria de primer orden, habrá usualmente una solución general en ciertas regiones restringidas como lo garantiza el teorema de existencia-unicidad. Soluciones singulares, si ellas ocurren, deben manifestarse ellas mismas en las fronteras de tales regiones. En algunos casos ellas pueden ser vistas desdd ciertos factores que pueden llegar a ser cero o infinito.* EJERCICIOS A Obtenga la solución general y singular para cada uno de los siguientes 1. y = xy’ -(y’)2. 2. J = -uy’ + 1 + 4(Jq2, 3. y = xy’ -tan y’. 4. 4‘ = xy’ + Ji-q#. *Para futuras discusiones de envolventes y soluciones singulares, junto con tópicos relacionnados vea los ejercicios avanzados en la página 64 y también la referencia [ 131 . Ecuaciones diferenciales de primer orden y ordinarias simples de alto orden 63EJERCICIOS B 1. (a) Muestre que la ecuación diferencial para la familia de líneas rectas y = cx -c3 es y = xy ’ -(y ‘)3 . (b) Muestre que la envolvente de la familia y = cx -c3 es tambiié una solución de la ecuación diferencial en (a). ¿De qué clase es? [Sugerencia: La envolvente de una familia de un parámetro F(x, y, c) = 0, si existte se puede encontrar de la solución simultánea de F(r, y, c) = 0 y ¿?F(x, y, c)/ac = 0.1 (c) iSe puede obtener la envolvente directamente de la ecuación diferenccial 2. Use el método del Ejercicio 1 para obtener las envolventes en (a) Ejemplo ilustratiiv en la página 61. (b) Ejercicio 1A. (c) Ejercicio 2A. (d) Ejercicio 3A. (e) Ejerciici 4A. 3. Muestre que y= cx+c’ es tangente a y= -x2/4. 4. Muestre que la curva definida por las ecuaciones parámetricas (4) en la página 61 representa una solución de (l), página 110. También muestre que las líneas y = cx +f(c) representan líneas tangentes a esta curva; esto es, la curva es la envolveent de la familia de líneas tangentes. 5. La solución general de y’ = 3~213 está dada por y = (x + c)3 y la solución singulla es y = 0. Examine la relación entre estas soluciones desde el punto de vista de las envolventes. Compare con el Capítulo uno, páginas 16, 20 y 27. 6. Encuentre la solución general y singular de y ’ = fi. EJERCICIOS C 1. Muestre que la ecuación y = y ’ tan x -(y ‘)2 sec2 x se puede reducir a la ecuación de Clairaut con el uso de la transformación z = sen x, y resuelva así la ecuación. . 3. Trabaje el Ejercicio 4C, página 33, usando el concepto de una enuoluente (ver Ejerciici 03). Revisión de m&odos importantes En este capítulo hemos encontrado varios métodos de solución de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Es natural para los estudiantes preguntarse cuál de estos métodos se espera encontrar más a menudo en la práctica para que así se pueda dar un apropiado énfasis. La siguiente lista, en la cual presentamos esos métodos de importancia primaria y otros de importancia secundaria, puede servir como una ayuda útil. A . Inaportunoia prhuria 1. Separación de variables: f(x)dn + g(y)dy = 0. Integre para obtener la solución requerida J f(n)dx + J g(y)dy = c. 2. Ecuaciones homogéneas: 2 = j-p). Haga y -vx, donde v es una nueva variable dependiente dependiendd de x, y así reduzca la ecuacián al tipo de variables separables. &? Caplwto ‘dos3. Ecuaciones lineales: 2 + P(x)J = Q(x). Multiplique ambos lados por el factor integrante p = e’ Pdx de modo que la ecuación se pueda escribir &(py) = FQ. Luego integre para obteene la solución requerida py = s PQ dx + c. 4. Ecuaciones exactas: M dx + N dy = 0, donde F = 2. Escriba la ecuación como dU= 0 e integre para obtener la solución requeerid U(x, y) = c. B. Importancia secundaria 1. Ecuaciones que pueden ser hechas exactas: Vea páginas 48-54. Esto incluye 1 y 3 de lo anterior. 2. Transformación de variables: Esto incluye artificios especiales sugeriido por la forma particular de la ecuación diferencial y a menudo cae en la categoría de “artificios ingeniosos”. El método 2 ‘dado anteriormeent está incluido aquí. 3. Técnicas varias, tales como el método de inspección y la ecuación de Clairaut. Los siguientes ejercicios intentan servir como un repaso a los varios métoddos EJERCICIOS MISCELANEOS SOBRE CAPITULO 2 EJERCICIOS A Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales sujetas a las condicioone dadas, si hay alguna. 1. (x2 + l)(y3 -1)dx = x24,2 dy. 2. (JJ + 2xy)dx + (x2 + 2xy)dy = 0. 3. (x2 + 2xy)dx + (y2 + 2xy)dy = 0. 4. 2 + 2 = x2. X 5. (3 -y)dx + 2x dy = 0; y(1) = 1. 6. g i 2x = 2. 7. s2t ds + (t2 + 4)dt = 0 . 8. 2xyy’ + x2 + y2 = 0 . 9. !!L 2x2 -ye” dx ex 10. x2y’ i-xy = x + 1. 11. -= Y + tan-‘?, (IY dx x X 13. J’ + xy = x3. 15. r2 sen+ dqb = (2~ cos C$ + 1O)dr. 12.2 = x + y. 14. (3 -x2y)y’ = xy2 + 4. 16. f = x2 + 2y. 17 2xy -y4 .y’=-, 3 x 2 18. (x2 + y2)dx + 2y dy = 0; y(0) = 2. 19. (x2 + y2)dx + (2xy -3)dy = 0. 20. y’(2x + y2) = y Ecuaciones diferenciales de primer orden y ordinarias simples de alto orden 6 521. 23. u2v du -(u3 + v3)dv = 0. 22. 24. (tan y -tan2 y cos x)dx -x seo2 y dy = 0. y’senx = y cos x t-sen* x. 25. (x2 -y2)dx + 2xy dy = 0. 26. (2x2 -ye”)dx -8 dy = 0. 27. (x + y)y’ = 1. 28. (x + 2y)dx + x dy = 0. 29. sen y dx + (x cos y T y)dy = 0. 30. y’ = gix + ?, X 31. 33. 35. 37. sen x cos y dx + cos x seny dy = 0. 32. xy’ = x3 + 2y. (3xy2 + 2)dx + 2x’ydy = 0. 34. (2y2 -x)dy + y dx = 0. y” = y’ + 2x. 36. (1 + y)y’ = x&. tanxsenydx + 3dy = 0. 38. x d y -y d x = xcos l 0 dx. X 39. 41. x2y dx + (1 + x3)dy = 0. 42. 43. 45. 47. 49. 51. 53. 55. (UV -2v)du + (u -u2)dv = 0. 56. 57. 59. 61. 63. y’ = sen x tan y. 64. y’ = 2 + x, Y x 65. x dy -y dx = 2x2y2 dy. 66. xy’ + y In x = y In y + y. ds x= dN dt= -aN; N = N,ent = 0. 44. 46. x dy -y dx = x2y dy. 48. (33’ COS x + 2)~’ = y*senx; y(0) = -4. 4” = 3x + 2y. 50. 52. dr r(1 + In 4) -= di ~(1 + In r); C$ = e2 donde r = e. 5% ds 1 -= dt s+t+l‘ XJrq + yy~Jr-7 = 0. 58. 60. 62. (2y + 3x)dx + x dy = 0. (seny -x)y’ = 2x + y; y(1) = 2. 2 dy Yb + Y) iii=-----x(x -Y) xy’ + y = x2; y(1) = 2. (x + x cos y)dy -(y + seny)dx = 0. y2 d x = (2xy + x2)dy. dU -= dt -a(U -1OOt); U(0) = 0. z + 31 = 10sent; I(0) = 0. yy” + (y’)2 = 0. y’ + (cot x)y = cos x. xy’ -33’ = x4e-X, 66 Capítulo dos67. y’ = 2 -f, 68. xy” + y’ = 1. ir2 69. $ = -r3 -13’ 70. (ey + x + 3)y’ = 1. 71-dr 3 = e4 -3r; r = 1 en 4 = 0. 72. yy” = (y’)‘. . 73. x4y”’ + 1 = 0. 75. y’ cos x = y -sen 2x. 77. r3 $ = JF7. 79. x dy + 2y dx -x cos x dx = 0. 81. (3~’ + 4xy)dx + (2xy + x2)dy = 0. 83. y’ = x(x + y). 76. e2x-Y dx + eY-” dy = 0. 78. (2x2 -ye”)dx -e’ dy = 0. 80. Ji77 d$ = x2y + x2. 82. y’ = y(x + y). 85. 2 = 1 -(x -Y)~; y(0) = 1. 1 . 2. 3. 4. 5. 6. 8. 9. 10. 12. EJERCICIOS B Resuelva xyy ’ +y* = sen x haciendo y* = u. Muestre que sen-lx+sen-ry=c y x m+yVTTF=c, s o n s o l u -ciones generales de ,/mdx + ,fmdy = 0 iPuede una de estas soluciones ser obtenida de la otra? (a) Resuelva (1+ z*)dy+ (1 +y2)dx=O, dado que y(0) = 1. (b) Muestre que y = (1 -x)/(1 + x) es una solución. Relacione esto con la solución obtenida en (a). Resolver y = 2/(x + 2y -3) haciendo z + 2-y -3,= u. Resuelva y ’ = Vy + sen x -cos x. (Sugerencia: Haga fy + sen x = u .) Resuelva y ’ = tan(x +.y). 7. Resuelva y’ = eX+ 3Y + 1. Resuelva ya”)= 2y “’ + 242 sujeto ay (0) = 1, y ‘(0) = y”(0) = y”‘(O) = 0. Muestre que la ecuación yF(ny)dn + xG(lcy)dy = 0 puede resolverse por la transformmació ny = u. Así resuelva (Sy3 + 2xyz +y)dx + (~3~3 -2x3~ + x)dy = 0. Resuelva (y ‘)* + (3y -2x)y ’ -6xy = 0. dy x + y2 ll. Resuelva ~ = -; 2Y y(0) = 1. Resuelva y ’ = r + c Ecuaciones diferbnciales de primer orden y ordinarias simples de alto orden 6 7I 1. Resuelva g = EJERCICIOS C 2. Muestre que si y1 y y2 son dos soluciones diferentes de y’+P(r)y= Q(z) entonnce ellas deben estar relacionadas per y2 = y 1 (1+ ce-rQ dX/yl). Por tanto, observaand que y = ~t es una solución de y ’ + xy = x* + 1, encuentre la solución general. 3. Muestre que z~y~(aydx + gzdy) + rry8( ~dudn +6x dy) = 0 donde p, q, r, s, a, í3, 7, 6 son constentes dadas, tiene un factor integrante de la forma raya, donde a y b son constantes adecuadas. 4. Resuelva (xzy + 2y4)dx + (x3 + 3zy3 )dy = 0, usando el método del Ejercicio 3. 5. Muestre que 2 = y(y2 -x2 -1) NY2 -x2 + 1) se puede resolver por transformación a coordenaada polares r, @, donde x = r cos 4, y = r sen 4. Luego determine su solución. 6: Muestre que, si k es un factor integrante de la ecuación diferencial M dx + N dy = 0 tal como pMdx +pNdy = dU(r,y), entonces p+(U), donde $ es una funciió arbitraria, es también un factor integrante. Ilustre esto con algunos ejemplos. 7. Muestre que la ecuación diferencial y’ = P(x)F(y) + Q(x)G(y) se puede reducir a una ecuación lineal por la transformación F(Y) ‘3~) U=G(y) Q u=F(y) siempre que FG’ -GF’ ó FG’ -GF sea una constante. G F 8. Usando los resultados del Ejercicio 7, obtenga la solución general de: (a) y’=secy+ztany. (b) y’ = P(x)y + Q(x)y” (Ecuación de Bernoulli). 9. Muestre que si la ecuación M dx + N dy = 0 es tal que entonces un factor integrante está dado por e’ F’“‘r” , donde u = y/x . 10. Pruebe que si una ecuación diferencial M dx + N dy = 0 es exacta y homogénea, entonces su solución es Mx + Ny = c. Ilustre usando la ecuación diferencial (x2 + y’)dx + 2xy dy = 0 ll. (a) Pruebe que si p y u son dos factores integrantes diferentes de la ecuación M dx + N dy = 0 entonces su solución general es p = cu. (b) Ilustre parte (a) enconttrand dos factores integrantes de x dy -y dx = 0. 1 2 . La ecuación de Riccati está dada por y ’ = P(x)yz + Q(x)y + R(x). (a) Muestre que si una solución de esta ecuación, digamos y,(z), es conocida, entonces la solución general puede encontrarse usando la transformación y = y1 + l/u donde u es una nueva variable dependiente. 88 Capftulo dos(b) Muestre que si se conocen dos soluciones, digamos y I (x) y yz (x), la soluciió general es Y -Yl (c) Muestre que sí se conocen tres soluciones digamos y , (x), y î (x) y y B (x), entonnce la solución general es (Y -YlHY2 -Y3) = c (Y -YdY1 -Y3) 13. Resuelva la ecuación y’ -ny2 -2y+4-4x notando que y = 2 es una solución particular. 14. Resuelva 2 + y2 = I + x2. Y’ 15. Resuelva la ecuación y’ = ---ciones. x-1 5 + 1 notando que y = I y y = x son solu-Ecuaciones diferenciales de primer orden y ordinarias simples de alto arden 69t r e s aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden y simples de orden superior 1. APLICACIONES A LA MECANICA 1.1 Introducción 1.2 Las leyes del movimiento de Newton 2. APLICACIONES A LOS CIRCUITOS ELECTRICOS 2.1 Introducción 2.2 Unidades 2.3 La ley de Kirchhoff 3. TRAYECTORIAS ORTOGONALES Y SUS APLICACIONES 4. APLICACIONES A LA QUIMICA Y A LAS MEZCLAS QUIM ICAS 5. \ APLICACIONES A FLUJO DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO 6. APLICACIONES A PROBLEMAS MISCELANEOS DE CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO 7. EL CABLE COLGANTE 8. UN VIAJE A LA LUNA 9. APLICACIONES A COHETES 10. PROBLEMAS DE FISICA QUE INVOLUCRAN GEOMETRIA 11. PROBLEMAS MISCELANEQS EN GEOMETRIA 12. LA DEFLEXION DE VIGAS 13. APLICACIONES A BIOLOGIA 13.1 Crecimiento biológico 13.2 Un problema epidemiológ@13.3 Absorcibn de drogas en órganos o c6lulas 14. APLICACIONES A LA ECONOMIA 14.1 Oferta y demanda 14.2 Inventarios 70En este capítulo discutiremos aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden y simples de orden superior a problemas de la mecánica, econommía química, doblamiento de vigas, y otros. Las secciones están organizaada de modo que los estudiantes puedan hacer énfasis en aquellos tópicos que se adaptan particularmente a sus intereses o necesidades. Aplicaciones a la mecánica 1.1 INTRODUCCION El tema de la física trata de la investigación de las leyes que gobiernan el comportamiento del universo físico. Por universo físico entendemos la totallida de objetos alrededor nuestro, no sólo las cosas que observamos, sino las que no observamos, tales como los átomos y moléculas. El estudio del movimiient de los objetos en nuestro universo es una rama de la mecánica llamaad dinámica. Las leyes del movimiento de Newton, conocidas por los estudiiante en física elemental, forman la base fundamental para su estudio. Resulta, sin embargo, que para los objetos que se mueven muy rápido (por ejemplo, cerca a la velocidad de la luz, 186.000 millas por segundo) no podemmo usar las leyes de Newton. En vez debemos usar una versión revisada de estas leyes, desarrolladas por Einstein y conocidas como mecánica relativistta o mecánica de la relatividad. Para objetos de dimensiones atómicas, las leyes de Newton tampoco son válidas. De hecho, para obtener descripciones precisas del movimiento de objetos de dimensiones atómicas, necesitamos establecer un conjunto de leyes estudiadas en un tema avanzado conocido como mecánica cuántica. Mecánica cuántica y relativista son muy complicaada para ser investigadas en este libro, puesto que el estudiante necesitaarí conocimientos previos más extensos en matemáticas y física para empeeza a estudiar estos temas. Afortunadamente, para estudiar el movimiento de los objetos que encontraamo en nuestra vida diaria, objetos que ni alcanzan velocidades cercanas a la de la luz ni objetos con dimensiones atómicas, no necesitamos mecánica cuántica o relativista. Las leyes de Newton son lo suficientemente precisas en estos casos y por tanto emprenderemos una discusión de estas leyes y sus aplicaciones. 1.2 LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON Las tres leyes del movimiento primero desarrolladas por Newton son: 1. Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo en movimiento tiende a persistir en movimiento en una línea recta con velocidad constante a menos que fuerzas externna actúen sobre él. 2. La tasa de cambio en momentum de un cuerpo en el tiempo es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo y tiene la misma dirección a la fuerza. 3. A cada acción existe una reacción igual y opuesta. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de pr¡Ter orden y s/mples de orden superior 71. La segunda ley nos proporciona una relación importante conocida a los estudiantes de física elemental y nos referiremos a ella brevemente como la ley de Newton. El momentum de un objeto se define como su masa m multiplicada por su velocidad u. La tasa de cambio en momentum en el tiempo es así d/dt (mu). Si denotamos por F la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo la segunda ley dice que -$mu) CC F (1) donde el símbolo oc denota proporcionalidad. Introduciendo la constante de proporcionalidad k, obtenemos ,, $nv) = kF dv Si m es una constante, mz=kF o ma=kF dònde a = dv/dt’ es la aceleración. Así vemos que F=y (2) El valor de k depende de las unidades que deseemos usar. Hasta el momentt se usan dos sistemas principales. (a) El sistema CGS o sistema Centímetro, Gramo, Segando. En . este sistema la longitud se mide en centímetros (cm), la masa en gramos (g), y el tiempo en segundos (seg). El valor más simple para k es k = 1, de modo que la ley (2) es FL mu (3) Si una cierta fuerza produce una aceleración de un centímetro por segundo por segundo (1 cm/segz ) en una masa de 1 g, entonces de (3) F = 1 g . 1 cm/segz = 1 g cm/segY Llamamos tal fuerza una dina. El sistema cgs también se llama sistema métriice(b) El sistema PLS, o sistema Pie, Libra, Segundo. En este sistema también podemos usar k = 1, de modo que la ley es FE ma. Si una cierta fuerza produce una aceleración de un pie por segundo por segundo (1 pie/seg2) en una masa de una libra (Ib), llamamos esta fuerza un poundal. Así, de F = na tenemos ñ poundal = 1 Ib piesheg” . Otra manera de expresar la ley de Newton es usar el peso en vez de la masa del objeto. Mientras que la masa de un objeto es la misma en toda partt de la tierra (o realmente en cualquier parte del universo)* el peso cambbi de lugar a 1ugar.f Se observará que para que un cuerpo actúe sólo por su peso W, la aceleración correspondiente es aquella debida a la gravedad g. La fuerza es W, y la ley de Newton es W = mg (4) Dividiendo la ecuación (3) por la ecuación (41, tenemos *Realmente, estamos hablando aquí sobre “masa en reposo”, porque en la teoría de la relativvida cuando un objeto está en movimiento su masa cambia. tEn la superficie de la Tierra este cambio no excede el 2 por ciento. 72 Capítulo tresF (1 IX-0 f--W(r (5) w CI CI Podemos usar la ecuación (5) ya sea con unidades cgs o pls. En tal caso es claro que F y W tienen las mismas unidades si Q y g las tienen. Con unidades CGS: Si W está en gramos peso, a y g en cm/segz, entonces F está en gramos peso. Si W está en dinas, a y g en cm/segg , entonnce F está en dinas. En la superficie de la Tierra g = 980 cm/segz , aproximadammente Con unidades PLS: Si W está en libras peso, a y g en pie/segZ, entonnce F está en libras peso. En la superficie de la Tierra g= 32 pies/seg2, aproximadamente. En ciertos campos es costumbre usar el sistema cgs junto con la ley F = ma, y usar el sistema pls junto con la ley F = Wa/g. Algunas veces se hace uso de masa en términos de slugs.* Nota: Será costumbre en este libro usar 1. F = mu, donde F está en dinas, m en gramos, a en cm/seg” . 2. F = Wa/g, donde F y W están en libras, a y g en pie/segZ .t Cuando se desean otras unidades, se pueden hacer los cambios apropiadoos Si en un problema las unidades no se especifican, cualquier sistema se puede usar siempre y cuando se mantenga la c0nsistencia.t En la simbología del cálculo podemos escribir las leyes de Newton en formma diferentes al notar que la aceleración puede expresarse como la primera derivada de la velocidad u (esto es, du/dt) ó como la segunda derivada de un desplazamiento s (esto es, dzs/dt2 ). Así f+/JErn-dt dt2 (cgs) F = Jv* _ Wti2s 9 dt g dt2 (PlS) Consideremos ahora las formulaciones matemáticas de varios problemas en mecánica que involucran los conceptos anteriores, y la solución e interprettació de tales problemas. Q Una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad partiendo del reposo. Asumiendo despreciable la resistencia del aire establezca la ecuación diferencial y las condiciones asociadas que describen el movimiento y resuélvala. *El número de libras peso dividido por g (lo cual es aproximadamente 32) se conoce como el número de slugs. Así, la masa de un peso de 64 Ib es 2 slugs. iCuando se use la abreviación Ib nos referimos a libras peso. upara algunos propósitos se puede usar una variación del sistema cgs conocido como sisteem metro, kilogramo, segundo o sistema mks. Aquí la longitud está en metros (100 cm), la mass en kilogramos (1000 g) y el tiempo en segundos. La fuerza requerida para mover una masa de 1 kilogramo a una aceleración de 1 metro/seg2 se llama un newton. La abreviación de metro, kilogramo, y newton son m, kg, y n respectivamente. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden y simples de orden superior 73Diagrama de fuerza Tierra Figura 3.1 Figura 3.2 firmulación mutemática. En la formulación matemática de problemma de física (o para tal propósito, cualquier problema) es útil dibujar diagraama cuando sea posible. Estos ayudan a fijar ideas y consecuentemente ayudan a traducir las ideas de física en ecuaciones matemáticas. Sea A (Figuur 3.1) la posición de la masa n en el tiempo t = 0, y sea P la posición de m en cualquier tiempo posterior t. En cualquier problema de física que involuucr cantidades vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración, las cuales necesariamente requieren un conocimiento de direcciión es conveniente establecer un sistema de coordenadas, junto con la asignacció de direcciones positivas y negativas. En el presente problema sea A el origen de nuestro sistema de coordenadas y escojamos el eje x como la vertiica con “abajo” como la dirección positiva (y por consiguiente con “arriba” como la dirección negativa). La velocidad instantánea en P es u = ch/&. La aceleración instantánea en P es a = dv/dt ó a = d”x/dt’ . La fuerza neta actúa verticalmente hacia abajo (considerada positiva como se muestra en el diagrama de fuerzas de la Figura 3.2). Su magnitud es mg. Por la ley de Newton tenemos _. in Li; = ntg 0 -= g dt Puesto que la masa cae desde el reposo vemos que v = 0 cuando t = 0, ó en otras palabras v(O) =O. Nuestra formulación matemática es el problema de valor inicial do z = Y. u(0) = 0 Aquí tenemos una ecuación de primer orden y su condición requerida. Otra manera de formular el problema es escribir d2X d2x 171 -$ = my 0 dt’ = B En tal caso tenemos una ecuación de segundo orden en las variables x y t, y necesitamos dos condiciones para determinar x. Una de ellas es v = 0 ó dx/dt = 0 en t = 0. La segunda puede obtenerse al notar que x = 0 en t = 0 (puesto que escogimos el origen de nuestro sistema de coordenadas en A). La formulación matemática es d’x d‘c dr’ = Y? x=0 y d;=O e n t = O 7 4 Capítulo tresEl procedimiento será típico en las formulaciones matemáticas de problemas. Cuando establezcamos ecuaciones diferenciales. para describir algún fenomeen o ley, siempre las acompañaremos de suficientes condiciones necesariia para la determinación de las constantes arbitrarias en la solución general. Solución Empezando con du’/dt =g, obtenemos por integración u =gt + cr. P u e s t o q u e o=Ocuando t=O, c,=O, ó u=gt, estoes,:=@. Otra integración produce x = +gtz +c, . Puesto que x= 0 en t = 0, cz = 0. Por tanto X = jgt” . Podríamos haber llegado al mismo resultado al empezar con (7). Como una aplicación, supóngase que deseamos conocer dónde está el objeet después de 2 seg. Entonces, por el sistema cgs n = +(980 cm/segz ) (2 seg)z = 1960 cm. Por el sistema pls, x = +(32 pies/seg* ) (2 seg)l = 64 pies. Para encontrar la velocidad después de 2 seg escribimos (en el sistema PlS) dx dt = yt = 32 pies/segr x 2 seg = + 64 pies/seg El signo más indica que el objeto se está moviendo en la dirección positiva, esto es, hacia abajo. Se debería notar que si hubiéramos tomado la dirección positiva hacia arriba la ecuación diferencial hubiera sido m(du/dt) = -mg, esto es, dv d2x --z-g 0 d t -g= -9 Esto conduciría, por supuesto, a resultados equivalentes a los obtenidos. Una bola se lanza hacia arriba con una velocidad de 128 pies/seg. ¿ Cuál es su velocidad después de 2,4 y 6seg? iCuándo regresará a su posición de partida? iCuál es la máxima altura que alcanza antesde regresar? Formulación matemática. Aquí tomaremos el eje x como la vertical, con su origen en la tierra en A de modo que x = 0 cuando t = 0 (Figura 3.3). Consideremos “arriba” como positivo. La fuerza que actúa sobre la bola (Fi-HP l&lX A h Tierra P lmg Diagrama de fuerza Figura 3.3 Figura 3.4 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden y simples de orden superior 76gura 3.4) es su peso y debemos considerar por tanto que es -mg (el signo menos significa abajo). La ecuación diferencial para el movimiento es d2x d2x mF=-mg 0 z=-g Se necesitan dos condiciones para determinar x. Una se obtiene del hecho de que x = 0 en t = 0. La otra se obtiene del hecho de que la velocidad iniciia es 128 pies/seg. Esta velocidad está en la dirección hacia arriba y por tanto es positiva. Así v=$=+128 e n t=O La formulación matemática completa es d2x dx z= -9, x=0 y -= 128 en t = 0 dt Solución La integración de la ecuación diferencial en (8) produce $= -gt + th8y puesto que dx/dt = 128 donde t = 0, c, = 128, de modo que * = -gt + Otra integración produce x = >’ + 128t + c 2 y puesto que x = 0 donde t=O, c1 =O. De donde, x = -$gr’ + 128t o x = 128t -16t2. Velocidad después de 2, 4, 6seg. Tenemos para la velocidad en tiempo t v=;=J28-32t Hac>endo t = 2, encontramos u = 64, lo que significa que la bola se está elevaand a la tasa de 64 pies/seg. Haciendo t = 4, encontramos u = 0, lo que significa que la bola se ha detenido. Haciendo t = 6, encontramos ZJ = -64, lo que significa que la bola se ha devuelto y baja a la tasa de 64pies/seg. Tiempo para el retorno. La bola está en la posición A, el .punto de partidda cuando x =O. Esto ocurre cuando -16tz + 128t =O ó -16t(t -8) = 0, esto es, t = 0 ó t = 8. El valor t = 0 es trivial, puesto que ya sabemos que x = 0 en t = 0. El otro valor t = 8 indica que la bola regresa después de 8seg. Máxima altura de elevación. El valor máximo de x puede hallarse hacieend dx/dt = 0, lo cual equivale a hallarlo cuando u = 0. Tenemos IJ = -= 128 -32t = 0 dt donde t = 4 Puesto que d’ x/dtz es negativa, x es realmente un máximo para t = 4. El valor de x para t = 4 es 256. De donde, la altura máxima que alcanza la bpla es 256 pies. EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Un paracaidista (y por supuesto su pa’racaídas) cae desde el reposo. El peso combinado del paracaidista y su paracaídas es W. El paracaídas tiene una fuerza actuando sobre él (debido a la resistencia del aire) la cual es pro-76 Capítulo tresporcional a la velocidad en cualquier instante durante la caída. Asumiendo que el paracaidista cae verticalmente hacia abajo y que el paracaídas ya está abierto cuando el salto ocurre, describa el movimiento resultante. Formulación matemática. Dibujamos, como de costumbre, un diagrram físico y de fuerzas (Figuras 3.5 y 3.6). Asuma A como el origen y AB la dirección del eje x positivo. Las fuerzas actuantes son: (a) el peso combinaad W hacia abajo; (b) la fuerza de resistencia R del aire actuando hacia arriba. La fuerza neta en la dirección positiva (hacia abajo) es W-R. Puestt que la resistencia es proporcional a la velocidad tenemos R x11.1 o R=/+.( donde p es la constante de proporcionalidad. Puesto que v es siempre positiiva no necesitamos el signo de valor absoluto, y podemos escribir simplemeent R = bu. De donde la fuerza neta es W-pu, y obtenemos por la ley de Newton w dc -= w -ljl 7‘ dt Puesto que el paracaidista empieza en el reposo, v = 0 en t = 0. Así la formulacció matemática completa está dada por el problema de valor inicial w (11, ~ = w -pu, 7’ dt r=O e n t=O Solución La ecuación diferencial tiene sus variables separables. Así, w (ll s 7-.--= w -/12: sg dt 0 -F In (CV -Pv) = <~t + c, Wln W Puest’o que v=O en t=O, c, = -__-B y así, De donde Tierra Figura 3.5 Figura 3.6 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden y simples de orden superior 7 7Vt Velocidad limite F --r Figura 3.7 Figura 3.8 Se notará que a medida que t -CO , v tiende a W/a, una velocidad constaant límite. Esto registra lo que observamos en los paracaídas que viajan a velocidades pwy aproximadamente uniformes después de transcurrido ciertt tiempo. También podemos determinar la distancia recorrida por el paracaiddist como una función del tiempo. De tenemos Usando el hecho de que n: = 0 en t = 0, encontramos c2 = -W* /B*g . De donde, . -Lww _ !z Bs Los gráficos de IJ y x como funciones de t se muestran en las Figuras 3.7 y 3.8. 1. "‘ 2. 78 EJERCICIOS A Una masa de 25 g cae desde el reposo bajo la influencia de la gravedad. (a) Estableezc una ecuación diferencial y condiciones para el movimiento. (b) Encuentre la distancia viajada y la velocidad conseguida 3 seg después de empezar su movimiiento (c) iCuánta distancia recorre la masa entre el 30. y 40. seg? jentre 61 4o.-“‘-” y 50. seg? Una masa de 200 g se lanza hacia arriba con una velocidad de 2450 cm/seg. (a) Encuentre las distancias desde el punto de partida y las velocidades conseguidas 2 y 4 seg después de empezar el movimiento. (b) Encuentre el punto más alto alcannzad Y el tiempo requerido. (c) iCuáles son las distancias totales recorridas después de 2 seg? idespués de 4 seg? Ca piulo tres\ 3. 4 . 5. 6 . 7 . 8 . 9 . 1. 2 . Un peso de 6 Ib se deja caer desde una cima de f millas de alto. Asumiendo ninguun resistencia del aire, jen qué tiempo y con qué velocidad llega a la Tierra? Una pequeña gota de aceite, de 0,2 g de masa, cae en el aire desde el’reposo. Para una velocidad de 40cm/seg, la fuerza debida a la resistencia del aire es 160 dinaas Asumiendo que )a fuerza de resistencia del aire es proporcional a la velocidad: (a) Encuentre la velocidad y la distancia recorrida como una función del tiempo. (b) Encuentre la velocidad límite. La fuerza de resistencia del agua que actúa sobre un bote es proporcional a su veloccida instantánea, y es tal que a 20 pies/seg la resistencia del agua es 40 lb. Si el bote pesa 320 Ib y el único pasajero pesa 160 Ib, y si el motor puede ejercer una fuerza estable de 50 Ib en la dirección del movimiento: (a) Encuentre lamáxima velocidad a la cual el bote puede viajar. (b) Encuentre la distancia recorrida y la velocidad a cualquier tiempo, asumiendo que el bote parte del reposo. Un paracaidista y su paracaídas pesan 200 lb. En el instante en que el paracaídas se abre, él está viajando verticalmente hacia abajo a 40pies/seg. Si la resistencia del aire varía directamente proporcional a la velocidad instantánea y la resistencci del aire es de 80 Ib cuando la velocidad es 20 pies/seg: (a) Encuentre la velociida límite. (b) Determine la posición y la velocidad a cualquier tiempo. Un peso de 192 Ib tiene la velocidad límite de 16 pies/seg cuando cae en el aire. el cual ofrece una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad instantánea del peso. Si el peso parte del reposo: (a) Encuentre la velocidad del peso después de 1 seg. (b) iA qué distancia se encuentra antes de que la velocidad sea de 15 pies/seg? Resuelva el problema anterior si la fuerza de resistencia del aire varía proporcionalmment al cuadrado de la velocidad instantánea. Una partícula se mueve a lo largo del eje x estimulada solamente por una fuerza opuesta proporcional a su velocidad instantánea. La partícula empieza en el origen con una velocidad de 10 pies/‘seg, la cual se reduce a 5 pies/seg después de moveers 2,5 pies. Encuentre su velocidad cuando esté a 4 pies del origen. EJERCICIOS B Muestre que una bola lanzada verticalmente hacia arriba con velocidad inicial uo toma para regresar el doble del tiempo requerido para alcanzar su punto más alto. Encuentre la velocidad al regreso. La resistencia del aire se asume despreciable. Un cuerpo se mueve en una línea recta con aceleración constante a. Si u0 es la velocidad inicial, u la velocidad, y s la distancia viajada después de tiempo t, muestre que: (a) L‘ = ~;o + ut. (b) s = rot + tat’. (c) c 2 = 1;; + 2u.s. 3. Una masa m se lanza hacia arriba con una velocidad inicial uO. La resistencia del aire es proporcional a su velocidad instantánea, siendo k la constante de proporcionnalidad Muestre que la máxima altura conseguida es muo ---k T:pln l+kc, ( > mg 4. Un paracaidista y su paracaídas pesan Wlb. Cuando el paracaídas se abre él está viajando verticalmente hacia abajo a LI,, pies/seg. Si la fuerza de resistencia del aire varía proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea y si la resistencia del aire es F Ib, donde la velocidad es Vpies/seg: (a) Escriba las ecuaciones diferennciale para la velocidad y el desplazamiento como una función del tiempo. (b) Encuentre la velocidad t seg después de abrirse el paracaídas y la velocidad límite. iQué simplificaciones resultan si ue = O? (c) Encuentre la velocidad como una función de la distancia recorrida. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden y simples de orden superior 795. Un objeto con peso de 1.000 Ib se hunde en el agua empezando desde el reposo. Dos fuerzas actúan sobre él, una fuerza de flotación de 200 Ib, y una fuerza de resistencci del agua la cual es numéricamente igual a 100 u Ib, donde u está en pies seg. Encuentre la distancia recorrida después de 5 seg y su velocidad límite. 6. Un objeto de 10 Ib se deja caer verticalmente hacia abajo desde una cima muy altta La ley de resistencia en el sistema pls está dada por 0,001 IJ~, donde v es la velocidad instantánea. Determine (a) la velocidad como una función de la distanciia (b) la velocidad como una función del tiempo, (c) la velocidad del objeto despuué de haber caído 500pies, (d) la velocidad límite, (e) la distancia recorrida después de 10seg. 7. Una partícula se mueve en una línea recta hacia un punto fijo 0 en la línea con una velocidad instantánea proporcional a la n-ésima potencia de su distancia instanttáne de 0. (a) Muestre que si n 2 1 la partícula nunca alcanzará 0. (b) Discuut los casos de n < 1. 8. Cuando una bola se lanza hacia arriba, ésta alcanza una altura particular después de un tiempo T, cuando asciende y en el tiempo T, cuando desciende. (a) Asumieend que la resistencia del aire es despreciable, muestre que la altura está dada por $gT, T,. (b) ¿Cómo se puede usar este resultado para medir la altura de un árbol sin subirse a él? 9. Muestre que la bola en el Ejercicio 8 fue lanzada hacia arriba con una velocidad de Ig(T, + T,). 10. iCuánto tiempo tomará para solo deslizar una cadena de longitud L sobre una mess sin fricción si inicialmente una paf)te de ella de longitud a cuelga sobre el lado? ll. Una partícula de masa m se mueve a lo largo del eje 3c bajo la influencia de una fuerza dada por F(x). Si u es la velocidad instantánea, muestre que $?u? + V(x) = E donde E es una constante y V(x) = J: F(u)du asumiendo que a es tal que V(a) = 0. El resultado se conoce como el principio de la conservación de energía, donde 1 mui se llama la energía cinética, V(x) la energgí potencial y E la energía total. EJERCICIOS C 1. Un peso de 100 Ib se desliza hacia abajo desde el reposo en un plano inclinado (Figuur 3.9) el cual forma un ángulo de 30” con la horizontal. Asumiendo la ausencià de fricción: (a) Establezca la ecuación diferencial y’condiciones que describan el movimiento. (b) ¿Qué distancia recorrerá el peso 5 seg después de empezar y cuál será su velocidad y aceleración en ese instante? (Sugerencia: Descomponga la fuerza debida al peso en dos componentes, una paralela y otra perpendicular al plano. La componente P paralela al plano es la fuerza neta que produce el movimiennto. 2. Muestre que un peso W, dada una velocidad incial vg, se desliza una distancia s hacia abajo por un plano inclinado sin fricción de inclinación (Y en el tiempo Jv; + Zgssen r -uo g senr 3. Un objeto de masa m se lanza hacia arriba por un plano con inclinación CY. Asumieend que no hay fricción, muestre que la máxima distancia alcanzada es u,,/(2 gsena). 80 Capítulo tresFigura 3 9 4. Si se tiene en cuenta la resistencia del aire proporcional a la velocidad instantánne (constante de proporcionalidad h), muestre que el objeto en el Ejercicio 3, alcaanz una distancia máxima hacia arriba en el plano inclinado dada por nlv, x $L,,,.,,(* +&J. Verifique que esta distancia tiende a la del Ejercicio 3 a medida que k-0. 5. Un peso de 100 Ib parte del reposo hacia abajo por un plano con 30” de inciinaciión Si el coeficiente de fricción entre el peso y el plano es 0,2 ¿qué distancia bajaar el peso después de 5seg? Encuentre su velocidad y aceleración en ese instaant (asuma que el peso sí arranca). (Sugerencia: Refiriéndose a la Figura 3.9, la fuerza de fricción que actúa está dada por la componente normal N multiplicadd por el coeficiente de fricción.) 6. Un peso W se le da una velocidad inicial ug hacia abajo en un plano inclinado de ángulo N. Si el coeficiente de fricción entre el peso y el plano es p, muestre que después de un tiempo T el peso viaja a una distancia r,,T + f(q senx -,q cos x)T’ si tan r > jl 7. De acuerdo a la teoría especial de la relatividad de Einstein, la masa de una par-~ tícula varía con su velocidad LI de acuerdo a la fórmula “‘0 111 = J---donde m, es la masa en el reposo y c es la velocidad de la luz (186.000 millas/‘seg). La ecuación diferencial del movimiento es F = l+&J Si una partícula parte del reposo en f = 0 y se mueve en una línea recta estimuladd sólo por una fuerza constante F, ¿qué distancia cubrirá y cuál será su velocidad en tiempo t? Muestre que a medida que transcurre el tiempo, la velocidad de la partícula se acerca a la velocidad de la luz. 8. Un objeto con una masa en el reposo m, de 10.000 g se mueve en el eje n bajo una fuerza constante de 50.000 dinas. Si empieza del reposo e? x = 0 en tiempo t = 0, determine dónde estará en cualquier tiempo asumiendo: (a) La masa del objeto es constante e igual a m,,. (b) L a masa varía de acuerdo a ley de la relatividad especial. 9. Objetos que parten del reposo caen sin fricción a lo largo de cuerdas de un círculo vertical terminan todos en el punto más bajo. Muestre que ellos alcanzan el punto en el mismo tiempo. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden y simples de orden superior 8110. ¿El resultado del Ejercicio 9 es cierto si el círculo está inclinado a un ángulo con la vertical? Explique. ll. ¿Si un objeto se lanza verticalmente hacia arriba y si la resistencia del aire está presente, tomará para regresar al punto de partida un tiempo igual al doble del requeerid para alcanzar su punto más alto? Explique (vea Ejercicio 1B). 12. ¿En el Ejercicio 11 la velocidad de retorno del objeto será la misma a la cual es lanzado? Explique. 13. Un satélite gira en una órbita circular actuado sólo por una fuerza de resistencia proporcional al cuadrado de su velocidad instantánea. (a) Si la velocidad es u0 en tiempo t = 0 y L’ i en el tiempo t = T, muestre que la velocidad en cualquier tiempo es f‘O~‘l T, L> = 1.1 T, + (I’(, -Ir] II (b) Muestre que el número de revoluciones hechas entre los tiempos t = 0 y f = T, es _ UilUl -r, 10 ‘3 niu,,-U,J i ‘i “ 1 (c> Muestre que aunque la velocidad se mantiene decreciendo el satélite gira indefiniddamente (d) iPiensa usted que el problema representa una situación física posible? Expliique 14. Trabaje el Ejercicio 13 si la fuerza de resistencia es proporcional a la n-ésima potennci de la velocidad instantánea y examine el caso especial donde n = 3. 15. Trabaje el Ejercicio 10B si la mesa está inclinada un ángulo N con la horizontal y el segmento de longitud a cuelga sobre el lado más alto. iHay alguna restricción en CY? Explique. 2 Aplicaciones a los circuitos eléctricos 2 . 1 INTRODUCCION Así como la mecánica tiene como base fundamental las leyes de Newton, el tema de la electricidad también tiene una ley que describe el comportamieent de los circuitos eléctricos conocida como la ley de Kirchhoff, la cual se describirá y usará en esta sección. Realmente, la teoría de la electricidad está gobernada por un cierto conjunto de ecuaciones conocidas en la teoría electromagnética como las ecuaciones de Maxwell. Así como no podemos entrra en una discusión de la mecánica relativista o cuántica debido a la insuficiienci de conocimientos previos de los estudiantes tampoco podemos entrra en la discusión de las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, así como las leyes de Newton son suficientes para el movimiento de los “objetos de diariio” la ley de Kirchhoff es ampliamente adecuada para estudiar las propiedaade simples de los circuitos eléctricos. Para un completo estudio de los circuitos eléctricos el estudiante debe, por supuesto, hacer prácticas de laboraatori y observar demostraciones en la clase. En un libro de matemáticas podemos presentar sólo una breve discusión. El circuito eléctrico más simple es un circuito en serie en el cual tenemos una fem (fuerza electromotriz), la cual actúa como una fuente de energía tal como una batería o generador, y una resistencia, la cual usa energía, tal comm una bombilla eléctrica, tostador, u otro electrodoméstico. 82 Capitulo tresEn física elemental encontramos que la fem está relacionada con el flujo de corriente en el circuito. En forma simple, la ley dice que la corriente instanttáne I (en un circuito que contiene sólo una fem E y una resistencia) es directamente proporcional a la fem. En símbolos, De donde, IxE o Ex1 (1) E = IR donde R es una constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de resisttenci 0, simplemente, resistencia. Las unidades, generalmente conocidda como “unidades prácticas” son tales que E está en v o l t i o s , I está en amperios y R en ohmios. La ecuación (1) es familiar al estudiante de física elemental bajo el nombre de la ley de Ohm. Circuitos más complicados, pero para muchos casos más prácticos, son circuitos que contienen otros elementos distintos a resistencias. Dos elementto importantes son inductores y condensadores. Un inductor se opone a cambios en corriente. Tiene un efecto de inercia en electricidad de la misma manera que una masa tiene un efecto de inercia en mecánica. De hecho la analogía es bastante, y se podría decir mucho acerca de esto. Un condensaddo es un elemento que almacena energía. En física hablamos de una caída de voltaje a través de un elemento. En la práctica podemos determinar esta caída de voltaje, o como se llama comúnmmente caída de potencial o diferencia de potencial, por medio de un instrumment llamado un voltímetro. Experimentalmente las siguientes leyes se cumplen.1. La caída de voltaje a través de una resistencia es proporcional a la corriente que pasa a través de la resistencia. Si E, es la caída de voltaje a través de una resistencia e I es la corrientte entonces ER x 1 o Ex=Rl donde R es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de resistennci 0 simplemente resistencia. 2. La caída de voltaje a través de un inductor es proporcional a la tasa de tiempo instantánea de cambio de la corriente. Si EL es la caída de voltaje a través del inductor, entonces E, -% ; o E,> = L ;-donde L es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de inductannci o simplemente la inductancia. 3. La caída de voltaje a través de un condensador es proporcional a la carga eléctrica instantánea en el condensador. Si E,: es la caída de voltaje a través del condensador y Q la carga instanttánea entonces E,, x Q o E, = ; Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden y simples de orden superior 83donde hemos tomado l/C como la constante de proporcionalidad, C se conooc como el coeficiente de capacitancia o simplemente capacitancia. 2 . 2 U N I D A D E S En electricidad, como en mecánica, existe más de un sistema de unidadees En este libro consideramos y usamos solamente uno de tales sistemas. La Tabla 3.1 resume las cantidades eléctricas importantes con sus símbolos y unidades. Como en mecánica, el tiempo está en segundos. Tabla 3.1 Cantidad Símbolo Unidad Voltaje, fem, o potencial Resistencia Inductancia Capacitancia Corriente Carga E 6 v Volt io R Ohmio 1, Henrio (’ Faradio I Amperio 4 Culombio La unidad de corriente, el amperio (abreviado con frecuencia amp), corresspond a una carga de un culombio que pasa por un punto dado del circuuit por segundo. 2.3 LA LEY DE KIRCHHOFF El siguiente es un enunciado de la ley de Kirchhoff: La suma algebraica de todas las caídas de voltaje alrededor de un circuito eléctrico es cero. [Otra manera de enunciar esto es decir que el voltaje suministrado (fem) es igual a la suma de las caídas de voltaje.] Se acostumbra indicar los diferentes elementos de un circuito como se ilustra: 0 o -I+ G e n e r a d o r o b a t e r í a Reslstencla m Inductor it C o n d e n s a d o r --L l a v e o I n t e r r u p t o r Como un ejemplo, considere un circuito eléctrico consistente de una fuentt de voltaje E (batería o generador), una resistencia R, un inductor L conecttado en serie como se muestra en la Figura 3.10.* Adoptamos la siguiient Convención. La corriente fluye del lado positivo (+ ) de la baterrí o generador a través del circuito hacia el lado negativo (-), comm se muestra en la Figura 3.10. *Algunas veces, por brevedad, hablaremos de una batería E, resistencia I;, condensador (‘, etc., en vez de una batería con una fem de E voltios, una resistencia de R ohmios, un condensaado con una capacitancia de (’ faradios, etc. 8 4 Capitulo rresFigura 3.10 -n+ I_ ... Figura 3. ll Puesto que, por la ley de Kirchhoff, la fem suministrada (E) es igual a la caída de voltaje a través del inductor (15 dl/dt) más la caída de voltaje a través de la resistencia (RI), tenemos como la ecuación diferencial requeriid para el circuito .~+RI=, Como otro ejemplo, suponga que nos dan un circuito eléctrico consistentt de una batería o generador de E voltios en serie con una resistencia de R ohmios y un condensador de C faradios como en la Figura 3.11. Aquí la caída de voltaje a través de la resistencia es RI y la caída de voltaje a través del condensador es Q/C, de modo que por la ley de Kirchhoff tal como aparece esto no es una ecuación diferencial. Sin embargo al notar que la corriente es la tasa de tiempo de cambio en la carga, esto es, Z= dQ/dt, (2) se convierte en la cual es una ecuación diferencial para la carga instantánea. Acompañando a las ecuaciones diferenciales obtenidas están las condiciones que se derivaan por supuesto, del problema especifico considerado. Un generador con una fem de 100 voltios se conecta en serie con una resisttenci de 10 ohmios y un inductor de 2 henrios. Si el interruptor K se cierrr en tiempo t = 0, establezca una ecuación diferencial para la corriente y determine la corriente en tiempo t. .Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden y simples de orden superior 85 ‘2 henrios Figura 3.12 Formulación matemática. Como es costumbre dibujamos el diagrama físico (Figura 3.12). Llamándo Z la corriente en amperios que fluye como se ilustra, tenemos: (1) voltaje suministrado = 100 voltios, (2) caída de voltaje a través de la resistencia (RZ) = 10 Z, (3) caída de voltaje a través del inductto (L dZ/dt) = 2 dZ/dt. De donde, por la ley de Kirchhoff, loo=lor+2-0 dt g + 51 = 50 (3) Puesto que el interruptor se cierra en t = 0, debemos tener Z= 0 en t = 0. Solución La ecuación diferencial (3) es una ecuación de primer orden lineal con factor integrante es t . Multiplicado por este factor da % (e5’I) = 50e” ó estI= 10e5’ + c esto es, Z = 10 + ce-“. PuestoqueZ=Oen t=O, c= -1 0 . AsíZ=10(1-e-5f). Otro método. La ecuación (3) puede también resolverse por separación de variables. El gráfico de Z contra t se muestra en la Figura 3.13. Note que la corrientt es cero en t = 0 y crece hacia un máximo de 10 amperios aunque teóricameent nunca lo alcanza. El estudiante debería notar la similitud entre este problema y el problema de la caída del paracaidista en el Ejemplo ilustrativo 3 de la sección pasada. Establezca y resuelva una ecuación diferencial para el circuito eléctrico del Ejemplo ilustrativo 1 si el generador de 100 voltios se remplaza por otro con una fem de 20 cos 5t voltios. . ---1 10 amp L/Figura 3.13 8 6 Capítulo tresFormulación matemática. La única diferencia es que 20 cos 5t rempllaz a 100 en la ecuación (3). De donde, la ecuación requerida es 101 + 2; = llI 20cos5t 0 z + 51 = 10 cos 5t (4) Solución Multiplique la segunda ecuación en (4) por el factor integrante Pt. Luego ; (2’1) = loe”’ cos 5t y e5’1 = 10 d’ eS’ cos 5t dt = e5’(cos St + sen5t) + c 0 1 = cos 5t +sen 5t + c.C5’ Puesto que I=O en t=O, tenemos c= -1. Así, I=cos5t+sen5t-e-51. L Una fem decayente E = 2OOe-5’ se conecta en serie con una resistencia de 20 ohmios y un condensador de 0,Ol faradios. Asumiendo Q = 0 en t = 0, encuentre la carga y la corriente en cualquier tiempo. Muestre,que la carga alcanza un máximo, calcúlelo y halle cuándo se obtiene. Formulación matemática. Refiriéndonos a la Figura 3.14 tenemos (1) voltaje suministrado (E) = 200e -5 [, (2) caída de voltaje en la resistencci (RI) = 201, (3) caída de voltaje a través del condensador (Q/C) = Q/0,001 = 1OOQ. De donde, por la ley de Kirchhoff, 201+ 1OOQ = 200e-5’ y, puesto que I= dQ/dt, 202 + 1OOQ = 200@--“’ 0 ('Q rlt + 5Q = loe-” Solución