تصحيح امتحان الرياضيات 2004 مع فورباك ( Mathematics )

ﺔﻴﺑﺮﻐﻤﻟا ﺔﻜﻠﻤﻤﻟاﺪﺣﻮﻤﻟا ﻲﻨﻃﻮﻟا نﺎﺤﺘﻣﻻاا ةدﺎﻬﺷ ﻞﻴﻨﻟ ﺎﻳرﻮﻟﺎآﺎﺒﻟ ﺔﻴﻨﻃﻮﻟا ﺔﻴﺑﺮﺘﻟا ةرازو ﻮﻴﻧﻮﻳ ةرود 2004 ) ﺔﻳدﺎﻌﻟا ةروﺪﻟا( ﻤﻟاــةدﺎ :تﺎﻴﺿﺎﻳﺮﻟا ﺔﺒﻌﺸﻟا :ع . ﺔﻴﺒﻳﺮﺠﺗ–ع .صأ ﺔﻴﺒﻳﺮﺠﺗ .–ع .ﺔﻴﻋارز ىﻮﺘﺴﻤﻟا : ﺔﻴﻧﺎﺜﻟايﻮﻧﺎﺛ )ﻤﻟا ﺮﻴﻏ ﺔﺒﺳﺎﺤﻟا ﺔﻟﻵا لﺎﻤﻌﺘﺳﺎﺑ ﺢﻤﺴﻳﺔﺠﻣﺮﺒ( عﻮﺿﻮﻤﻟا : لوﻷا ﻦﻳﺮﻤﺘﻟا ءﺎﻀﻔﻟا() ﺮﺷﺎﺒﻣ ﻢﻈﻨﻤﻣ ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ ﻢﻠﻌﻣ ﻰﻟإ بﻮﺴﻨﻣ E ( ) , , , O i j k 􀁇 􀁇 􀁇 S ﻦﻜﺘﻟ()ﻂﻘﻨﻟا ﺔﻋﻮﻤﺠﻣ (),,Mxyzﺚﻴﺤﺑ : 2 2 2 4 2 2 0 x y z y z + + − + + = S ( ) 0, 2, 1 Ω − 1( ﻦﻴﺑ()ﺎهﺰآﺮﻣ ﺔﻜﻠﻓ نأ ﺎﻬﻋﺎﻌﺷو 3 = r. ( ) 1,1,0 A − 2( أ-ﺔﻄﻘﻨﻟا نأ ﻦﻣ ﻖﻘﺤﺗ ﺔﻜﻠﻔﻟا ﻰﻟإ ﻲﻤﺘﻨﺗ ( ) S . ب-ىﻮﺘﺴﻤﻟا ﺔﻟدﺎﻌﻣ ﺐﺘآأ ( ) S ( ) P ﺔﻄﻘﻨﻟا ﺪﻨﻋ A . ﺔﻜﻠﻔﻠﻟ سﺎﻤﻤﻟا 3( أ-نأ ﻦﻣ ﻖﻘﺤﺗ : 2 0 x y z + + − = Q ( ) 2 − ( ىﻮﺘﺴﻤﻠﻟ ﺔﻴﺗرﺎﻜﻳد ﺔﻟدﺎﻌﻣ ()ﻣ رﺎﻤﻟا و ﺔﻄﻘﻨﻟا ﻦ1,3,B ) 1,1,1 􀁇 ( ) Q n ﻪﻴﻠﻋ ﺔﻴﻤﻈﻨﻣ ﺔﻬﺠﺘﻣ. ب-ﻦﻴﺑ ﻊﻄﻘﻳ نأ( ) S : ( ) ﺎﻬﻋﺎﻌﺷو ﺎهﺰآﺮﻣ ادﺪﺤﻣ ةﺮﺋاد ﻖﻓو . ﻲﻧﺎﺜﻟا ﻦﻳﺮﻤﺘﻟا ﺔﻳﺪﻘﻌﻟا داﺪﻋﻷا ﺔﻋﻮﻤﺠﻣ ﻲﻓ ﺮﺒﺘﻌﻧدﺎﻌﻤﻟا 􀁞ﺔﻟ ( ) 2 : 4 41 0 E z iz i − − + = 1 2 z . ( ) 1 0 e z 􀀻 ب ﺰﻣﺮﻧو ﺔﻟدﺎﻌﻤﻟا ﻲﻠﺤﻟ z()E ﺚﻴﺤﺑ ℜ 1( نأ ﻦﻴﺑ ﺔﻟدﺎﻌﻤﻟا ﺰﻴﻤﻣ()E ﻮه ( ) 2 2 2 1 i ⎡ ⎤ ∆ = + ⎣ ⎦ 1 2 z دﺪﺣ ﻢﺛ و . z2( ﻧ ﻊﻀ2ai= و ( ) 2 1 b i = + b نأ ﻦﻣ ﻖﻘﺤﺗ : 1za=+و b 2z a = − a , , O u v 􀁇 􀁇 ﺐﺘآاو و bﻲﺜﻠﺜﻤﻟا ﻞﻜﺸﻟا ﻰﻠﻋ . 3( ﻢﻈﻨﻤﻣ ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ ﻢﻠﻌﻣ ﻰﻟإ بﻮﺴﻨﻤﻟا يﺪﻘﻌﻟا ىﻮﺘﺴﻤﻟا ﻲﻓ ﺮﺒﺘﻌﻧ()ﻂﻘﻨﻟا ﺮﺷﺎﺒﻣ A و Bو ﻰﻠﻋ ﺎﻬﻗﺎﺤﻟأ ﻲﺘﻟا ﻲﻟاﻮﺘﻟاو bو . C a 1 z أ -ﻂﻘﻨﻟا ﻞﺜﻣ A و Bو Cﻖﻘﺤﺗو نأ ﻦﻣ : OC OA OB = + 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 OB = : ( ) نأو OA ب -نأ ﺞﺘﻨﺘﺳا OBCنأ ﻢﺛ ﻦﻴﻌﻣ A [ ] 1 3 2 8 z π π ≡ arg. ﺚﻟﺎﺜﻟا ﻦﻳﺮﻤﺘﻟا ﺎﻬﻨﻴﺑ ﺰﻴﻴﻤﺘﻟا ﻦﻜﻤﻳ ﻻ تﺎﻗﺪﻴﺑ ﻊﺴﺗ ﻰﻠﻋ ﺲﻴآ سﻮﺘﺤﻳﺲﻤﻠﻟﺎﺑ : ﻢﻗﺮﻟا نﻼﻤﺤﺗ ناوﺎﻀﻴﺑ نﺎﺘﻗﺪﻴﺑ 1 ءاﺮﻤﺣ تﺎﻗﺪﻴﺑ ثﻼﺛو مﺎﻗرﻷا ﻞﻤﺤﺗ1، 2 ،2 مﺎﻗرﻷا ﻞﻤﺤﺗ ءادﻮﺳ تﺎﻗﺪﻴﺑ ﻊﺑرأو 1 ،1 ،2 ،2. ﺲﻴﻜﻟا ﻦﻣ تﺎﻗﺪﻴﺑ ثﻼﺛ ﺪﺣاو نﺁ ﻲﻓو ﺎﻴﺋاﻮﺸﻋ ﺐﺤﺴﻧ. 1( ﺔﻴﻟﺎﺘﻟا ثاﺪﺣﻷا ﻦﻣ ﻞآ لﺎﻤﺘﺣا ﺐﺴﺣا : A : " ناﻮﻟﻷا ﺔﻔﻠﺘﺨﻣ ﺔﺑﻮﺤﺴﻤﻟا ثﻼﺜﻟا تﺎﻗﺪﻴﺒﻟا ) نﻮﻟ ﻞآ ﻦﻣ ﺔﻗﺪﻴﺑ" ( B : " ﻢﻗﺮﻟا ﺲﻔﻧ ﻞﻤﺤﺗ ﺔﺑﻮﺤﺴﻤﻟا ثﻼﺜﻟا تﺎﻗﺪﻴﺒﻟا." C : " ءاﺮﻤﺣ ةﺪﺣاو ﺔﻗﺪﻴﺑ ﻞﻗٌﻷا ﻰﻠﻋ ﺪﺟﻮﺗ ﺔﺑﻮﺤﺴﻤﻟا تﺎﻗﺪﻴﺒﻟا ﻦﻴﺑ ﻦﻣ" 2( ثﺪﺤﻟا لﺎﻤﺘﺣا ﺐﺴﺣا . : A B ∩ ﺔﻴﺑﺮﻐﻤﻟا ﺔﻜﻠﻤﻤﻟاﺪﺣﻮﻤﻟا ﻲﻨﻃﻮﻟا نﺎﺤﺘﻣﻻاا ةدﺎﻬﺷ ﻞﻴﻨﻟ ﺎﻳرﻮﻟﺎآﺎﺒﻟ ﺔﻴﻨﻃﻮﻟا ﺔﻴﺑﺮﺘﻟا ةرازو ﻮﻴﻧﻮﻳ ةرود 2004 ) ﺔﻳدﺎﻌﻟا ةروﺪﻟا( ﻤﻟاــةدﺎ :تﺎﻴﺿﺎﻳﺮﻟا ﺔﺒﻌﺸﻟا :ع . ﺔﻴﺒﻳﺮﺠﺗ–ع .صأ ﺔﻴﺒﻳﺮﺠﺗ .–ع .ﺔﻴﻋارز عﻮﺿﻮﻤﻟا : ﻊﺑاﺮﻟا ﻦﻳﺮﻤﺘﻟا I-ﻦﻜﺘﻟﺘﻤﻠﻟ ﺔﻳدﺪﻌﻟا ﺔﻟاﺪﻟا ﻲﻘﻴﻘﺤﻟا ﺮﻴﻐﻰﻠﻋ ﺔﻓﺮﻌﻤﻟا 􀁜ﻲﻠﻳ ﺎﻤﺑ : f x ( ) 1 2 12 1 x f x x e = − − + C f ( و()ﺔﻟاﺪﻠﻟ ﻞﺜﻤﻤﻟا ﻰﻨﺤﻨﻤﻟا ﻮه ﻢﻈﻨﻤﻣ ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ ﻢﻠﻌﻣ ﻲﻓ ) , , O i j 􀁇 􀁇 : . 1( أ-ﻖﻘﺤﺗ نأ ﻦﻣ 1 1 1 1 1 x x e e − = − + + x 􀁜 f ( ) lim x ﻞﻜﻟ ﻦﻣ . ب-نأ ﺞﺘﻨﺘﺳا ﺔﻳدﺮﻓ لاد . f x →+∞ : ( ) 2( ﺐﺴﺣا 3( أ-ﻦﻴﺑ نأ 2 1 1 ' 2 1 xx e f x e ⎛ ⎞ − = − ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ x 􀁜 f ﻞﻜﻟ ﻦﻣ . ب-ﺔﻟاﺪﻟا تاﺮﻴﻐﺗ لوﺪﺟ ﻂﻋا ﻰﻠﻋ + 􀁜 . ج-نأ ﺞﺘﻨﺘﺳا : 2 1 1 2 x ﻞﻜﻟ ﻦﻣ x + 􀁜. x e − ≤ + 14( نأ ﻦﻴﺑ : ( ) 1 lim 1 0 2 x f x x →+∞⎡ ⎤ ⎛ ⎞ − − = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ﺔﺠﻴﺘﻨﻟا ﻩﺬه ﺎﻴﺳﺪﻨه لوأ ﻢﺛ . 5( ﻢﻠﻌﻤﻟا ﻲﻓ ﺊﺸﻧأ( ) , , O i j 􀁇 􀁇 ﻪﺘﻟدﺎﻌﻣ يﺬﻟا ﻢﻴﻘﺘﺴﻤﻟا 1 1 2 y x = − C ﻰﻨﺤﻨﻤﻟا ﺊﺸﻧأ ﻢﺛ (). 6( أ-ﻊﺿﻮﺑxte−= نأ ﻦﻴﺑ : 01 1 1 ln 1 2 x e dx e − + ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∫ . ب-ﺴﺣا ﻰﻨﺤﻨﻤﻟا ﻦﻴﺑ رﻮﺼﺤﻤﻟا ىﻮﺘﺴﻤﻟا ﺰﻴﺣ ﺔﺣﺎﺴﻣ ﺐ( ) C 1 ﺎﻤﻬﺘﻟدﺎﻌﻣ ﻦﻳﺬﻠﻟا ﻦﻴﻤﻴﻘﺘﺴﻤﻟاو ﻞﻴﺻﺎﻓﻷا رﻮﺤﻣو ﻲﻟاﻮﺘﻟا ﻰﻠﻋx= − 0 x و = . 1 2 1 1 n n u e + = − II-ﺘﻟﻲﻠﻳ ﺎﻤﺑ ﺔﻓﺮﻌﻤﻟا ﺔﻳدﺪﻌﻟا ﺔﻴﻟﺎﺘﺘﻤﻟا : ﻦﻜ ( ) n u 01u= و u + ﻞﻜﻟ nﻦﻣ . 􀁠 0 n 􀀻 n 􀁠 : 1( نأ ﻊﺟﺮﺘﻟﺎﺑ ﻦﻴﺑ : uﻞﻜﻟ ﻦﻣ . 2( أ-لاﺆﺴﻟا ﺔﺠﻴﺘﻧ لﺎﻤﻌﺘﺳﺎﺑ ،ﻖﻘﺤﺗ ﻣ ،لوﻷا ءﺰﺠﻟا ﻦﻣ ج ﺚﻟﺎﺜﻟانأ ﻦ 1 12 n n u u + ≤ n 􀁠 ﻞﻜﻟ ﻦﻣ . ب-ﺔﻴﻟﺎﺘﺘﻤﻟا نأ ﺞﺘﻨﺘﺳا ( ) n u ﺔﻴﺼﻗﺎﻨﺗ . 3( نأ ﻦﻴﺑ : 12 n n ⎛ ⎞ ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n 􀁠 lim n n u →+∞ uﻞﻜﻟ ﻦﻣ ﺐﺴﺣا ﻢﺛ .