LOS NUMEROS REALES

1 Cap¶³tulo 1 El Conjunto de los n¶umeros Reales M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodr¶³guez S. Instituto Tecnol¶ogico de Costa Rica Escuela de Matem¶atica ¢ ¢ ¢ Revista digital Matem¶atica, educaci¶on e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)2Cr¶editos Primera edici¶on impresa: Rosario ¶Alvarez, 1984. Edici¶on LaTeX: Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac¶on, Mar¶³a Elena Abarca, Lisseth Angulo. y Walter Mora. Colaboradores: Cristhian Pa¶ez, Alex Borb¶on, Juan Jos¶e Fallas, Je®rey Chavarr¶³a Edici¶on y composici¶on ¯nal: Walter Mora. Gr¶a¯cos: Walter Mora, Marieth Villalobos. Comentarios y correcciones: escribir a wmora2@yahoo.com.mxContenido 1.1 El conjunto de los n¶umeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 El conjunto de los n¶umeros Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 El conjunto de los n¶umeros Racionales y el conjunto de los n¶umeros Irracionales . . . . . . . . . 4 1.4 El conjunto de los n¶umeros Irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 El conjunto de los n¶umeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.1 Operaciones de¯nidas en el conjunto de los n¶umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2 Orden en el conjunto de los n¶umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Aritm¶etica en el Conjunto de los N¶umeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7 Propiedades de los n¶umeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7.1 Operaciones de¯nidas en el conjunto de los n¶umeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7.2 Adici¶on de los n¶umeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7.3 Multiplicaci¶on de n¶umeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7.4 Operaciones combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.7.5 Algoritmo de la divisi¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.7.6 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.7.7 Algunos criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.7.8 M¶ultiplos y factores de un n¶umero entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.7.9 N¶umeros primos y n¶umeros compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.7.10 Representaci¶on de un n¶umero compuesto como el producto de n¶umeros primos . . . . . . 40 1.7.11 M¶aximo divisor com¶un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.7.12 M¶³nimo m¶ultiplo com¶un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.8 Propiedades de los n¶umeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.8.1 Fracciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.8.2 Simpli¯caci¶on de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.8.3 Fracciones can¶onicas y fracciones reducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.8.4 Ampli¯caci¶on de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.8.5 Representaci¶on de n¶umeros racionales usando el m¶³nimo denominador com¶un . . . . . . . 51 1.9 Algoritmos de las operaciones de¯nidas en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.9.1 Adici¶on de n¶umeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.9.2 Sustraci¶on de n¶umeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.9.3 Algoritmo de la multiplicaci¶on de n¶umeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.9.4 Algoritmo de la divisi¶on de n¶umeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.9.5 Operaciones combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.9.6 Potencias en el conjunto de los n¶umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1.9.7 Propiedades de las potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.9.8 Ra¶³z en¶esima de un n¶umero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1.9.9 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 1.9.10 Productos de radicales de diferente ¶³ndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 34 El Conjunto de los N¶umeros Reales 1.1 El conjunto de los n¶umeros Naturales De¯nici¶on 1 El conjunto cuyos elementos son 0; 1; 2; 3; 4; ::: recibe el nombre de conjunto de los n¶umeros naturales y se denota con el s¶³mbolo N; as¶³: N = f0; 1; 2; 3; 4; 5; :::g N¶otese que este conjunto tiene un primer elemento, a saber, el cero, pero no existe un ¶ultimo elemento. Por esta raz¶on diremos que el conjunto de los n¶umeros naturales es in¯nito. 1.2 El conjunto de los n¶umeros Enteros De¯nici¶on 2 El conjunto cuyos elementos son :::;¡4;¡3;¡2;¡1; 0; 1; 2; 3; 4; ::: recibe el nombre de conjunto de los n¶umeros enteros y se denota con el s¶³mbolo Z; as¶³: Z = f:::;¡4;¡3;¡2;¡1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; :::g N¶otese que: 1.) El conjunto de los n¶umeros enteros no tiene un primer elemento ni un ¶ultimo elemento, por lo que decimos que es in¯nito. 2.) Los n¶umeros naturales 0; 1; 2; 3; 4; ::: pertenecen al conjunto de los n¶umeros enteros, de donde se tiene que el conjunto de los n¶umeros naturales es subconjunto del conjunto de los n¶umeros enteros, lo que se expresa simb¶olicamente as¶³: N ½ Z 1.3 El conjunto de los n¶umeros Racionales y el conjunto de los n¶umeros Irracionales Notaci¶on: Sean a 2 Z y b 2 Z tal que b 6= 0. La expresi¶on a ¥ b denota el resultado de dividir a por b lo cual tambi¶en se escribe ab; es decir: a ¥ b = ab La expresi¶on ab se lee \a sobre b" Observaci¶on importante: La divisi¶on por cero no est¶a de¯nida, es decir, la frase \a dividido por cero" no tiene sentido matem¶atico en este contexto.J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 5 De¯nici¶on 3 El conjunto cuyos elementos son los n¶umeros que se pueden presentar como ab , con a 2 Z; b 2 Z y b 6= 0 recibe el nombre de conjunto de los n¶umeros racionales y se denota con el s¶³mbolo Q, as¶³: Q = n ab = a 2 Z; b 2 Z y b 6= 0o Observaci¶on: Recuerde que ab signi¯ca \a dividido por b" y como la divisi¶on por cero no est¶a de¯nida, la frase \a dividido por cero" no tiene sentido matem¶atico en este contexto. Por esto es que en la de¯nici¶on anterior se pide que b 6= 0. Ejemplo 1 35; ¡1 2 ; 04; 12 ¡10; ¡9 ¡2; 31; y 5 ¡1 representan n¶umeros racionales. De¯nici¶on 4 Sean a 2 Z; b 2 Z y b 6= 0. En la expresi¶on ab , \a" recibe el nombre de numerador y \b" recibe el nombre de denominador. Y la ex- presi¶on ab recibe el nombre de fracci¶on. Consideremos los siguientes ejemplos ilustrativos: 1.) Como 3 ¥ 1 = 3 entonces 31 = 3 2.) Como ¡6 ¥ 1 = ¡6 entonces ¡6 1 = ¡6 3.) Como ¡50 ¥ 1 = ¡50 entonces ¡50 1 = ¡50 4.) Sea a 2 Z: Como a ¥ 1 = a entonces a1 = a Los ejemplos (1); (2); (3) son casos particulares del ejemplo (4), esto nos permite enunciar el siguiente resultado. Todo n¶umero entero es un n¶umero racional, es decir el conjunto de los n¶umeros enteros es subcon- junto del conjunto de los n¶umeros racionales y escribimos:6 El Conjunto de los N¶umeros Reales Z ½ Q Expansi¶on decimal de un n¶umero racional Sea a 2 Z; b 2 Z y b 6= 0. Si para un n¶umero representado como ab se realiza la divisi¶on de a por b, se obtiene otra representaci¶on para dicho n¶umero la cual recibe el nombre de expansi¶on decimal. Ejemplo 2 Determine la expansi¶on decimal de 54 Soluci¶on Dividimos 5 por 4 5 4 ¡4 10 1:25 ¡8 20 20 0 La expansi¶on decimal de 54 es 1:25 es decir, 54 = 1:25 Ejemplo 3 Determine la expansi¶on decimal de ¡3 8 Soluci¶on Dividimos 3 por 8 3 8 ¡0 30 0:375 ¡24 60 ¡56 40 40 0 La expansi¶on decimal de ¡3 8 es ¡0:375 es decir, ¡3 8 = ¡0:375J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 7 Observemos que en los dos ejemplos anteriores el residuo (¯nal) que se obtiene despu¶es de varias divisiones es cero (0), por lo que decimos que 1:25 y 0:375 son expansiones decimales peri¶odicas ¯nitas o simplemente expansiones decimales ¯nitas. De¯nici¶on 5 Sea ab 2 Q tal que a 2 Z y b 2 Z Si al dividir a por b se obtiene como residuo ¯nal cero, se dice que ab tiene una expansi¶on decimal ¯nita. Analicemos los siguientes ejemplos donde al dividir el numerador por el denominador no es posible obtener un residuo ¯nal igual a cero. Ejemplo 4 Determine la expansi¶on decimal de: a.) 2 11 b.) ¡7 6 Soluci¶on a.) 2 11 2 11 ¡! ¡0 20 0:1818::: Residuo ¡11 90 que se ¡! ¡88 20 repite ¡11 90 ¡! ¡88 2 Por lo que 2 11 = 0:1818:::, donde los tres puntos signi¯can que el t¶ermino 18 se repite inde¯nidamente y en ese caso escribimos: 2 11 = 0:18 (la barra horizontal sobre 18 indica que 18 se repite inde¯nidamente) b.) ¡7 68 El Conjunto de los N¶umeros Reales 7 6 ¡6 10 1:1666::: ¡! ¡6 40 Residuo ¡! ¡36 40 que se ¡! ¡36 40 repite ¡! ¡36 40 ¡! ¡36 4 Por lo que ¡7 6 = ¡1:1666:::, donde los tres puntos signi¯can que el d¶³gito 6 se repite inde¯nidamente y escribimos: ¡7 6 = ¡1:1 6 (observemos que solo el 6 se repite) Note que en el ejemplo 3, al obtener las expansiones decimales de los n¶umeros dados no se llega a un residuo ¯nal cero, pero a partir de cierto momento, los residuos se repiten, lo que a su vez implica que un d¶³gito - o un grupo de d¶³gitos - del cociente, se repiten (en el ejemplo 3 se repiten 18 y 6 respectivamente) por lo que decimos que 0:18 y ¡1:16 son expansiones decimales peri¶odicas in¯nitas. De¯nici¶on 6 Sea ab 2 Q tal que a 2 Z y b 2 Z. Si al dividir a por b no es posible obtener como residuo ¯nal cero, se dice ab tiene una expansi¶on decimal peri¶odica in¯nita. Los resultados obtenidos en los ejemplos (1); (2); (3) son casos especiales del siguiente hecho. Todo n¶umero racional se puede representar por una expansi¶on decimal peri¶odica ¯nita o por una expansi¶on decimal in¯nita peri¶odica (o simplemente por una expansi¶on decimal peri¶odica). Ejercicios 1 Para cada uno de los n¶umeros siguientes determine su expansi¶on decimal e indique si ¶esta es ¯nita o peri¶odica in¯nita. a.) ¡17 3 b:) 1 20 c:) ¡3 7 d:) 13 6 e:) 421 100J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 9 De lo anterior ya sabemos que todo n¶umero racional se puede expresar por medio de una expansi¶on decimal peri¶odica (¯nita o in¯nita). Pero, >es cierto lo inverso?, o sea >toda expansi¶on decimal peri¶odica (¯nita o in¯nita) representa un n¶umero racional? Antes de dar una respuesta a estas preguntas analicemos los siguientes ejemplos. Ejemplo 5 Determine si 0:23 representa un n¶umero racional. Soluci¶on Sean n = 0:23 entonces n = 0:232323::: n = 0:2323 como se repiten los d¶³gitos multiplicamos por 100 a ambos miembros de la igualdad. 100 n = 100(0:2323); realizando la operaci¶on 100 n = 23:23 Tomemos 100 n = 23:23 y n = 0:23, y restemos t¶ermino a t¶ermino 99 n = 23 por lo que: n = 23 99 Por lo tanto 0:23 representa un n¶umero racional y 0:23 = 23 99 Ejemplo 6 Determine si ¡0:456 representa un n¶umero racional. Soluci¶on Observe que en este caso la expansi¶on decimal es ¯nita. Sea n = ¡0:456 Multiplicando por 1000 a ambos miembros de la igualdad se tiene. 1000 n = ¡465 por lo que:10 El Conjunto de los N¶umeros Reales n = ¡456 1000 Por lo tanto ¡0:456 representa a un n¶umero racional y ¡0:456 = ¡456 1000 Ejemplo 7 Determine si 4:531 representa un n¶umero racional. Soluci¶on Sea n = 4:531 Multipliquemos por 100 a ambos miembros de la igualdad 100 n = 453:1 Multipliquemos por 10 a ambos miembros de la igualdad 1000 n = 4521:1 Tomemos 1000 n = 4521:1 y 100 n = 453:1 y restemos t¶ermino a t¶ermino 1000 n = 4531:1 ¡100 n = ¡453:1 900 n = 4078 por lo que n = 4078 900 Por lo tanto 4:531 representa un n¶umero racional y 4:531 = 4078 900 Los ejemplos (4); (5) y (6) son casos particulares del siguiente resultado: Todo n¶umero con decimal peri¶odica (¯nita o in¯nita) representa un n¶umero racional Ejercicios 2 Determine el n¶umero racional que representa cada una de las siguientes expansiones decimales: a:) 4; 12 b:) 0; 325 c:) ¡ 1; 62 d:) 1; 345 e:) ¡ 2; 505J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 11 1.4 El conjunto de los n¶umeros Irracionales Dados los resultados anteriores tenemos que todo n¶umero que se representa por una expansi¶on decimal peri¶odica (¯nita o in¯nita) es un n¶umero racional, pero cabe hacerse dos preguntas: >Existen expansiones decimales que no sean per¶³odicas?, y si existen, >qu¶e n¶umeros representan? Para contestar la primera pregunta consideremos las siguientes expansiones decimales: a.) 0:20 200 2000 20000 200000 2::: b.) 5:7822 3222 42222 5222222 6::: Observe que en las dos expansiones decimales anteriores, ¶estas no son peri¶odicas y por los resultados anteriores estas expansiones no representan n¶umeros racionales. Las expansiones decimales (a) y (b) anteriores reciben el nombre de expansiones decimales in¯nitas no peri¶odicas. Para contestar la segunda pregunta tenemos: De¯nici¶on 7 Los n¶umeros que se pueden representar por expansiones decimales in¯nitas no per¶³odicas reciben el nombre de n¶umeros irracionales. El conjunto cuyos elementos son los n¶umeros irracionales, recibe el nombre de conjunto de los n¶umeros irra- cionales y se denota con el s¶³mbolo I. Observaci¶on: Por la de¯nici¶on de n¶umero racional y la de n¶umero irracional se tiene que no existen n¶umeros que sean racionales e irracionales a la vez, simb¶olicamente esto se indica de la siguiente manera: Q \ I =  1.5 El conjunto de los n¶umeros Reales De¯nici¶on 8 La uni¶on del conjunto de los n¶umeros racionales con el conjunto de los n¶umeros irracionales, recibe el nombre de conjunto de los n¶umeros reales y se denota con el s¶³mbolo R, simb¶olicamente escribimos: R = Q [ I12 El Conjunto de los N¶umeros Reales 1.5.1 Operaciones de¯nidas en el conjunto de los n¶umeros reales En el conjunto de los n¶umeros reales est¶an de¯nidas dos operaciones, que llamaremos adici¶on ymultiplicaci¶on. Decir que la adici¶on y la multiplicaci¶on son operaciones de¯nidas en el conjunto de los n¶umeros reales signi¯ca que si dos n¶umeros reales se relacionan mediante alguna de estas dos operaciones el resultado es un n¶umero real. Propiedades de adici¶on en el conjunto de los n¶umeros reales A1 Sean a 2 R; b 2 R entonces a + b = b + a (la adicci¶on es conmutativa) Por ejemplo: 5 + 3 = 3 + 5 A2 Sean a 2 R; b 2 R; c 2 R entonces a + (b + c) = (a + b) + c (la adici¶on es asociativa) Por ejemplo: 7 + (6 + 2) = (7 + 6) + 2 A3 Existe 0; 0 2 R tal que para todo a; a 2 R; a + 0 = 0 + a = a (0 es el elemento neutro aditivo) Por ejemplo: ¡3 5 + 0 = ¡3 5 A4 Para todo a; a 2 R existe ¡a; ¡a 2 R tal que a + (¡a) = (¡a) + a = 0 (cada n¶umero real posee inverso aditivo) Por ejemplo: el inverso aditivo de ¡8 es 8 pues ¡8 + 8 = 0 Propiedades de la multiplicaci¶on en el conjunto de los n¶umeros reales M1 Sean a 2 R; b 2 R entonces a ¢ b = b ¢ a (la multiplicaci¶on es conmutativa) Por ejemplo: 3 ¢ 2 = 2 ¢ 3 M2 Sean a 2 R; b 2 R; c 2 R entonces a ¢ (b ¢ c) = (a ¢ b) ¢ c (la multiplicaci¶on es asociativa) Por ejemplo: ¡5 ¢ (2 ¢ 1) = (¡5 ¢ 2) ¢ 1 M3 Existe 1; 1 2 R tal que para todo a; a 2 R; a ¢ 1 = 1 ¢ a = a (1 es el elemento neutro multiplicativo) Por ejemplo: 4 ¢ 1 = 4J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 13 M4 Para todo a; a 2 R; a 6= 0, existe a¡1; a¡1 2 R tal que a ¢ a¡1 = a¡1 ¢ a = 1 (cada n¶umero real diferente de 0 posee inverso multiplicativo). Con a¡1 = 1a Por ejemplo: 15 ¢ 1 15 = 1 Propiedad distributiva de la multiplicaci¶on con respecto a la adici¶on Si a 2 R; b 2 R; c 2 R; entonces se cumple que: a ¢ (b + c) = a ¢ b + a ¢ c Por ejemplo: ¡11 ¢ (3 + 9) = (¡11) ¢ 3 + (¡11) ¢ 9 La sustracci¶on de¯nida en el conjunto de los n¶umeros reales Sean a 2 R; b 2 R. Llamaremos sustracci¶on de a y b, y denotaremos a ¡ b a la operaci¶on de¯nida por: a ¡ b = a + (¡b) Por ejemplo: a.) 5 ¡ 3 = 5 + (¡3) b.) 54 ¡ 17 = 54 + ¡1 7 La divisi¶on de¯nida en el conjunto de los n¶umeros reales Sean a 2 R; b 2 R; b 6= 0. Se de¯ne la divisi¶on de a por b y se denota a ¥ b a la operaci¶on de¯nida por: a ¥ b = a ¢ 1b Como se dijo anteriormente a ¥ b se denota como ab es decir: a ¥ b = ab14 El Conjunto de los N¶umeros Reales Observaci¶on: Recuerde que si ab representa un n¶umero real entonces b tiene que ser diferente de cero, pues la divisi¶on por cero no est¶a de¯nida matem¶aticamente. 1.5.2 Orden en el conjunto de los n¶umeros reales Representaci¶on de los n¶umeros reales Es posible establecer una correspondencia entre los n¶umeros reales y los puntos de una recta (recta num¶erica) de la siguiente manera: dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de ¶esta para representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento de cero a uno, para as¶³ representar los n¶umeros enteros, los n¶umeros 1; 2; 3; 4; ::: (en este orden) a la derecha del cero y los n¶umeros ¡3;¡2;¡1; ::: (en este orden) a la izquierda del cero. ...-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9... 0 Números Enteros Enteros Positivos Enteros Negativos Los restantes n¶umeros reales se representan en esta recta, usando su expansi¶on decimal tal como se muestra en el ejemplo 8. Ejemplo 8 Represente en la recta num¶erica los n¶umeros 65 y ¡7 2 Soluci¶on 65 = 1:2 y ¡7 2 = ¡3:5 Usando estos resultados, podemos representar en la recta num¶erica 65 y ¡7 2 de la siguiente manera. 5 6 7 8 9... De¯nici¶on 9 En una recta num¶erica el punto que representa el cero recibe el nombre de origen. De¯nici¶on 10 1.) Los n¶umeros reales que se representan a la derecha del origen se llaman n¶umeros reales positivos.J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 15 2.) Los n¶umeros reales que se representan a la izquierda del origen se llaman n¶umeros reales negativos. La relaci¶on \menor que" en el conjunto de los n¶umeros reales En el conjunto de los n¶umeros reales se de¯ne una relaci¶on, llamada \menor que", de la siguiente manera. De¯nici¶on 11 Sean a 2 R; b 2 R. Se dice que a es menor que b, y se escribe a < b, si a ¡ b es un n¶umero negativo. Por ejemplo: a.) 2 < 3 pues 2 ¡ 3 = ¡1 y ¡1 es negativo b.) ¡3 < 1 pues ¡3 ¡ 1 = ¡4 y ¡4 es negativo c.) ¡5 < ¡2 pues ¡5 ¡ (¡2) = ¡3 y ¡3 es negativo d.) ¡6 < 0 pues ¡6 ¡ 0 = ¡6 y ¡6 es negativo De la de¯nici¶on de la relaci¶on \menor que" se tiene que todo n¶umero negativo es menor que cero (ver ejemplo d) La relaci¶on \mayor que" en el conjunto de los n¶umeros reales De¯nici¶on 12 Sean a 2 R; b 2 R, se dice que a es mayor que b, y se escribe a > b, si a ¡ b es un n¶umero positivo. Por ejemplo: a.) 5 > 2 pues 5 ¡ 2 = 3 y 3 es positivo b.) 3 > ¡1 pues 3 ¡ (¡1) = 4 y 4 es positivo c.) ¡2 > ¡4 pues ¡2 ¡ (¡4) = 2 y 2 es positivo d.) 7 > 0 pues 7 ¡ 0 = 7 y 7 es positivo De la de¯nici¶on de la relaci¶on \mayor que" se tiene que todo n¶umero positivo es mayor que cero (ver ejemplo d)16 El Conjunto de los N¶umeros Reales Algunas propiedades de la relaci¶on \menor que" O1 Si a 2 R; b 2 R entonces se cumple una y s¶olo una de las siguientes condiciones: a < b; b < a; a = b O2 Sean a 2 R; b 2 R; c 2 R. Si a < b y b < c entonces a < c O3 Sean a 2 R; b 2 R. Si 0 < a y 0 < b entonces 0 < a ¢ b O4 Sean a 2 R; b 2 R. Si a < 0 y b < 0 entonces 0 < a ¢ b O5 Sean a 2 R; b 2 R. Si a < 0 y 0 < b entonces a ¢ b < 0 O6 Sean a 2 R; b 2 R. Si 0 < a y b < 0 entonces a ¢ b < 0 O7 Sea a 2 R. Si a < 0 entonces 0 < ¡a O8 Sean a 2 R; b 2 R. Si a < b entonces ¡b < ¡a O9 Sean a 2 R; b 2 R; b 6= 0. Si 0 < ab entonces 0 < a ¢ b O10 Sean a 2 R; b 2 R; b 6= 0. Si ab < 0 entonces a ¢ b < 0 O11 Sean a 2 R; b 2 R; c 2 R. Si a < b entonces a + c < b + c O12 Sean a 2 R; b 2 R; c 2 R; c > 0. Si a < b entonces a ¢ c < b ¢ c O13 Sean a 2 R; b 2 R; c 2 R; c < 0. Si a < b entonces b ¢ c < a ¢ c Observaci¶on: 1.) Si en cada una de las propiedades anteriores se sustituye el s¶³mbolo \<" por el s¶³mbolo \>"; las propiedades que se obtienen son ciertas (y corresponden a la relaci¶on \mayor que") 2.) Si a y b son n¶umeros reales: decir que \a es menor que b" es equivalente a decir que \b es mayor que a". Simb¶olicamente se escribe: Sean a 2 R; b 2 R a < b , b > aJ. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 17 Por ejemplo: a.) 2 < 3 es equivalente a 3 > 2 b.) ¡1 > ¡5 es equivalente a ¡5 < ¡1 c.) ¡2 < 0 es equivalente a 0 > ¡2 Notaci¶on: Sean a 2 R; b 2 R. La expresi¶on \a < b ¶o a = b" usualmente se escribe a · b. La expresi¶on \a · b" se lee \a" es menor o igual que \b". Observaci¶on: Sean a 2 R; b 2 R. Para que \a · b" sea verdadera basta con que se cumpla una y s¶olo una de las siguientes condiciones: 1.) a < b; 2.) a = b Ejemplo 9 a.) 4 · 6 es verdadera pues 4 < 6 b.) 2 · 2 es verdadera pues 2 = 2 c.) 5 · 3 es falsa pues no se cumple 5 < 3 ni 5 = 3 Notaci¶on: Sean a 2 R; b 2 R. La expresi¶on \a > b o a = b" usualmente se escribe a ¸ b. La expresi¶on \a ¸ b" se lee \a" es mayor o igual que \b". Observaci¶on: Sean a 2 R; b 2 R. Para que \a ¸ b" sea verdadera basta con que se cumpla una y s¶olo una de las siguientes condiciones: 1.) a > b; 2.) a = b Ejemplo 1018 El Conjunto de los N¶umeros Reales a.) 3 ¸ ¡2 es verdadera pues 3 > ¡2 b.) ¡2 ¸ 0 es falsa pues no se cumple que ¡2 > 0 ni ¡2 = 0 c.) 6 ¸ 6 es verdadera pues 6 = 6 Valor absoluto en el conjunto de los n¶umeros reales De¯nici¶on 13 Sean a 2 R; b 2 R y supongamos que a · b ; se llama distancia entre a y b, al n¶umero no negativo b ¡ a. Notemos que la distancia entre dos n¶umeros reales diferentes entre s¶³ es un n¶umero positivo, pues el menor se resta del mayor. V¶eanse los siguientes ejemplos: 1:) La distancia entre 1 y 4 es 3, pues 4 ¡ 1 = 3 2:) La distancia entre 2 y ¡3 es 5, pues 2 ¡ (¡3) = 5 3:) La distancia entre ¡7 y ¡3 es 4, pues ¡3 ¡ (¡7) = 4 Ejercicios 3 Para cada uno de los casos siguientes determine la distancia entre los n¶umeros a y b si: 1.) a = 2; b = 9 2.) a = ¡3; b = 5 3.) a = 0; b = 6 4.) a = 2; b = ¡7 5.) a = ¡1; b = ¡9 6.) a = ¡4; b = 0 Supongamos que se desea calcular la distancia entre 0 y un n¶umero real x cualquiera. A esta distancia la denotaremos por j x j y se llama valor absoluto de x. As¶³: j x j indica la distancia entre x y 0J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 19 Ejemplo 11 a.) j 3 j= 3 ¡ 0 = 3 es decir j 3 j= 3 b.) j 0 j= 0 ¡ 0 = 0 es decir j 0 j= 0 c.) j ¡5 j= 0 ¡ (¡5) = 5 es decir j ¡5 j= 5 d.) j 5 j= 5 ¡ 0 = 5 es decir j 5 j= 5 En general, sea x 2 R 1.) Si x > 0; tenemos j x j= x ¡ 0 = x; es decir si x > 0 entonces j x j= x 2.) Si x < 0; tenemos j x j= 0 ¡ x = ¡x; es decir si x < 0 entonces j x j= ¡x 3.) Si x = 0; tenemos j x j= 0 ¡ 0 = 0; es decir j 0 j= 0 As¶³ tenemos la siguiente de¯nici¶on De¯nici¶on 14 Para cada n¶umero real x, de¯nimos su valor absoluto, y lo representamos por j x j de la manera siguiente: a.) j x j= x si x ¸ 0 ¶o b.) j x j= ¡x si x < 0 Ejercicios 4 Usando la de¯nici¶on de valor absoluto, calcule: a.) j 11 j b.) j 21 j c.) j ¡13 j d.) j ¡109 j e.) j 0 j f.) j ¡115 j20 El Conjunto de los N¶umeros Reales 1.6 Aritm¶etica en el Conjunto de los N¶umeros Reales Introducci¶on Los temas presentados anteriormente nos dan una visi¶on acerca del conjunto de los n¶umeros reales, las opera- ciones que en este conjunto se de¯nen y las propiedades que ¶estas poseen. Nuestro objetivo en esta secci¶on es lograr que el estudiante adquiera destrezas en la realizaci¶on de las opera- ciones b¶asicas en el conjunto de los n¶umeros reales (adici¶on, sustracci¶on, multiplicaci¶on y divisi¶on). Para esto enunciamos algunas propiedades en el conjunto de los n¶umeros naturales, enteros, racionales y en general en el conjunto de los n¶umeros reales, as¶³ como los algoritmos que se utilizan para realizar dichas operaciones. Queremos enfatizar la importancia de los temas que en esta secci¶on se desarrollan, pues ellos constituyen una base fundamental para un buen desempe~no y as¶³ obtener una mejor comprensi¶on por parte de los estudiantes de los temas que estudiaremos en el cap¶³tulo siguiente. 1.7 Propiedades de los n¶umeros enteros 1.7.1 Operaciones de¯nidas en el conjunto de los n¶umeros enteros Nota: 1.) Si a 2 Z y a > 0 entonces decimos que a tiene signo positivo (+) 2.) Si a 2 Z y a < 0 entonces decimos que a tiene signo negativo (¡) Generalmente al representar los n¶umeros enteros positivos el signo (+) se omite, no as¶³ para los n¶umeros negativos los cuales al ser representados siempre debe indic¶arseles el signo (¡). 1.7.2 Adici¶on de los n¶umeros enteros Caso 1: Adici¶on de n¶umeros enteros de igual signo En este caso, se suman sus valores absolutos y al resultado se le hace corresponder el signo de ambos n¶umeros. Ejemplo 12 Determine el resultado que se obtiene al sumar ¡8 y ¡5 Soluci¶on j ¡8 j= 8; j ¡5 j= 5; adem¶as el signo de ¡8 y ¡5 es negativo (¡) por lo que: ¡8 + ¡5 = ¡(8 + 5) = ¡13 O sea, ¡8 + ¡5 = ¡13J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 21 Ejemplo 13 Determine el resultado que se obtiene al sumar ¡9 y ¡11 Soluci¶on j ¡9 j= 9; j ¡11 j= 11 ; adem¶as el signo de ¡9 y ¡11 es negativo (¡) por lo que: ¡9 + ¡11 = ¡(9 + 11) = ¡20 O sea, ¡9 + ¡11 = ¡20 Ejemplo 14 Determine el resultado que se obtiene al sumar 27 y 4 Soluci¶on j 27 j= 27; j 4 j= 4; adem¶as el signo de 27 y 4 es positivo (+) por lo que: 27 + 4 = 31 Los ejemplos (1), (2) y (3) son casos particulares del siguiente resultado: Si a 2 N y b 2 N entonces: ¡a + ¡b = ¡(a + b) a + b = +(a + b) Caso 2: Adici¶on de n¶umeros enteros con distinto signo En este caso, el resultado viene dado por la diferencia de los valores absolutos de ambos n¶umeros (el mayor menos el menor) a cuyo resultado se le hace corresponder el signo del n¶umero de mayor valor absoluto. Ejemplo 15 Determine el resultado que se obtiene al sumar ¡8 y 9 Soluci¶on j ¡8 j= 8; j 9 j= 9; de donde: j 9 j>j ¡8 j y como 9 tiene signo positivo (+) entonces: ¡8 + 9 = 9 ¡ 8 = 1 es decir, ¡8 + 9 = 1 Ejemplo 1622 El Conjunto de los N¶umeros Reales Determine el resultado que se obtiene al sumar 5 y ¡12 Soluci¶on j 5 j= 5; j ¡12 j= 12; de donde: j ¡12 j>j 5 j y como ¡12 tiene signo negativo (¡) entonces: 5 + ¡12 = ¡(12 ¡ 5) = ¡7 es decir, 5 + ¡12 = ¡7 Ejemplo 17 Determine el resultado que se obtiene al sumar ¡6 y 2 Soluci¶on j ¡6 j= 6; j 2 j= 2; de donde: j ¡6 j>j 2 j y como ¡6 tiene signo negativo (¡) entonces: ¡6 + 2 = ¡(6 ¡ 2) = ¡4 es decir, ¡6 + 2 = ¡4 Ejercicios 5 1.) Escriba en notaci¶on decimal el n¶umero que representa cada una de las siguientes expresiones: 1.) ¡14 + 72 2.) ¡128 + (¡29) 3.) 12 + (¡12) 4.) ¡142 + 67 5.) 27 + (¡32) 6.) 25 + 13 2.) Sean a; b 2 R. Usando el hecho de que a ¡ b = a + (¡b) escriba en notaci¶on decimal el n¶umero que representa cada una de las siguientes expresiones: 1.) ¡121 ¡ 15 2.) ¡40 ¡ 70 3.) ¡1 ¡ 4 1.7.3 Multiplicaci¶on de n¶umeros enteros Recordemos que para a 2 R; b 2 R se tiene que : 1.) Si 0 < a y 0 < b entonces 0 < a ¢ b 2.) Si a < 0 y b < 0 entonces 0 < a ¢ b 3.) Si a < 0 y 0 < b entonces a ¢ b < 0 4.) Si 0 < a y b < 0 entonces a ¢ b < 0J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 23 Las propiedades (1) y (2) se pueden resumir diciendo: Si a y b tienen igual signo entonces a ¢ b es positivo Por ejemplo a.) (¡8) ¢ (¡6) = 48 b.) (8) ¢ (¡6) = ¡48 c.) (¡8) ¢ 6 = ¡48 d.) 12 ¢ 5 = 60 e.) (¡7) ¢ (¡9) = 63 f.) (¡3)(¡4)(¡1) = ¡12 Notaci¶on: Sea a 2 Z, entonces: a.) (¡1)a = ¡a b.) ¡(¡a) = a Por ejemplo a.) (¡1)5 = ¡5 b.) (¡1)3 = ¡3 c.) ¡(¡12) = 12 d.) ¡(¡25) = 25 Ejemplo 18 Escriba en notaci¶on decimal el n¶umero que representa cada una de las siguientes expresiones: a.) 8 ¡ (¡6) Soluci¶on 8 ¡ (¡6) = 8 + ¡(¡6) = 8 + 6 = 14 ) 8 ¡ (¡6) = 14 b.) ¡17 ¡ (¡13) Soluci¶on24 El Conjunto de los N¶umeros Reales ¡17 ¡ (¡13) = ¡17 + ¡(¡13) = ¡17 + 13 = ¡4 ) ¡17 ¡ (¡13) = ¡4 c.) ¡(¡4) ¡ 3 Soluci¶on ¡(¡4) ¡ 3 = 4 ¡ 3 = 1 ) ¡(¡4) ¡ 3 = 1 Ejemplo 19 Escriba en notaci¶on decimal el n¶umero que representa cada una de las siguientes expresiones: a.) 6 ¡ (¡5) ¡ 9 Soluci¶on 6 ¡ (¡5) ¡ 9 = 6 + 5 ¡ 9 = 11 ¡ 9 = 2 ) 6 ¡ (¡5) ¡ 9 = 2 b.) ¡1 ¡ (¡2) + 30 Soluci¶on ¡1 ¡ (¡2) + 30 = ¡1 + 2 + 30 = 1 + 30 = 31 ) ¡1 ¡ (¡2) + 30 = 31J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 25 Ejercicios 6 Escriba en notaci¶on decimal el n¶umero que representa cada una de las siguientes expresiones: a.) ¡16 ¡ (¡8) b.) ¡(¡9) + 3 c.) ¡(¡6) ¡ (¡1) d.) ¡(¡11) + 5 ¡ 2 e.) ¡3 ¡ (¡4) ¡ (¡3) f.) 2 ¡ 13 ¡ 6 g.) 25 ¡ 28 + ¡(5) h.) 2 ¡ (¡1) + 3 i.) 1 ¡ 2 ¡ 6 + 8 1.7.4 Operaciones combinadas Consideremos la expresi¶on 2 + 3 ¢ 5 El resultado de realizar las operaciones puede ser 25 (si se realiza la suma primero y luego el producto) o bien 17 (si se realiza el producto primero y luego la suma). S¶olo uno de los resultados debe ser v¶alido. Convenio 1 En una expresi¶on que no involucre par¶entesis y en la cual aparecen conjuntamente el producto y la suma (o resta) se entender¶a que el producto ha de realizarse primero. Lo anterior se expresa brevemente de la siguiente forma: \La multiplicaci¶on tiene prioridad sobre la adici¶on y la sustracci¶on" Por lo tanto tenemos que: 2 + 3 ¢ 5 = 2 + 15 = 2 + 15 = 17 ) 2 + 3 ¢ 5 = 17 Consideremos el siguiente ejemplo: 6 ¡ 4 ¢ 7 = 6 ¡ 28 = ¡22 ) 6 ¡ 4 ¢ 7 = ¡22 Ejemplo 20 Determine el n¶umero que representa cada una de las siguientes expresiones:26 El Conjunto de los N¶umeros Reales a.) 7 ¢ 2 ¡ 13 Soluci¶on 7 ¢ 2 ¡ 13 = 14 ¡ 13 = 1 Por lo que, 7 ¢ 2 ¡ 13 = 1 b.) 3 ¢ 2 ¡ 5 ¢ 4 ¡ 3 Soluci¶on 3 ¢ 2 ¡ 5 ¢ 4 ¡ 3 = 6 ¡ 20 ¡ 3 = ¡14 ¡ 3 = ¡17 Por lo que, 3 ¢ 2 ¡ 5 ¢ 4 ¡ 3 = ¡17 Ejercicios 7 Determine el n¶umero que representa cada una de las siguientes expresiones: a.) ¡8 ¢ 7 + 12 ¢ 3 ¡ 6 b.) 11 + 6(¡7) ¡ 4 ¢ 3 c.) ¡8 ¢ (¡4) ¡ 5 ¢ (¡3) ¡ 10 d.) 2 ¢ (3) + 5 ¡ 3 ¢ 8 Convenio 2 En una expresi¶on que involucre par¶entesis se deben realizar primero las operaciones indicadas dentro del par¶entesis. Ejemplo 21 Determine el n¶umero que representa cada una de las siguientes expresiones: a.) ¡5 + 4 ¢ (2 ¡ 7) Soluci¶onJ. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 27 ¡5 + 4 ¢ (2 ¡ 7) = ¡5 + 4 ¢ (¡5) = ¡5 + (¡20) = ¡25 Por lo que, ¡5 + 4 ¢ (2 ¡ 7) = ¡25 b.) ¡2 ¢ (¡12) ¡ 3 ¢ (5 ¡ 6) + 4 Soluci¶on ¡2 ¢ (¡12) ¡ 3 ¢ (5 ¡ 6) + 4 = 24 ¡ 3(¡1) + 4 = 24 + 3 + 4 = 31 Por lo que, ¡2 ¢ (¡12) ¡ 3 ¢ (5 ¡ 6) + 4 = 31 Ejercicios 8 Determine el n¶umero que representa cada una de las siguientes expresiones: a.) (¡2 ¡ 8) ¢ 5 + 4 b.) ¡2 ¡ (¡2 + 6) ¢ 5 c.) 12 ¢ (3 ¡ 6) ¡ 6 ¢ (6 + 7) d.) ¡(3 ¡ 3) ¢ 5 + 3 ¢ (2 ¡ 7) Cuando se presenta un par¶entesis dentro de otro par¶entesis procedemos a realizar las operaciones indicadas en el par¶entesis interno y as¶³ sucesivamente hasta obtener el n¶umero correspondiente a la expresi¶on. Ejemplo 22 Determine el n¶umero que representa cada una de las siguientes expresiones: a.) ¡2 + 3 ¢ [6 ¡ 2 ¢ (3 ¡ 12)] Soluci¶on ¡2 + 3 ¢ [6 ¡ 2 ¢ (3 ¡ 12)] = ¡2 + 3 ¢ [6 ¡ 2 ¢ (¡9)] = ¡2 + 3 ¢ [6 + 18] = ¡2 + 3 ¢ [24] = ¡2 + 72 = 7028 El Conjunto de los N¶umeros Reales Por lo que, ¡2 + 3 ¢ [6 ¡ 2 ¢ (3 ¡ 12)] = 70 b.) ¡f6 + 7 ¢ (5 ¡ 2 ¢ 4) + 4g Soluci¶on ¡f6 + 7 ¢ (5 ¡ 2 ¢ 4) + 4g = ¡f6 + 7 ¢ (5 ¡ 8) + 4g = ¡f6 + 7 ¢ (¡3) + 4g = ¡f6 ¡ 21 + 4g = ¡f¡11g = 11 Por lo que, ¡f6 + 7 ¢ (5 ¡ 2 ¢ 4) + 4g = 11 Ejercicios 9 Determine el n¶umero que representa cada una de las siguientes expresiones: a.) 2 ¢ [3 ¢ (7 ¡ 11) ¡ 21] ¡ 4 b.) 4 ¡ 5 ¢ [3 ¢ (5 ¡ 2) + 8 ¡ 2 ¢ 6] Ejemplo 23 Determine el n¶umero que representa cada una de las siguientes expresiones: a.) 5 ¡ 2 ¢ [3 ¢ (7 ¡ 4) ¡ (¡12 + 3)] ¡ 6 Soluci¶on 5 ¡ 2 ¢ [3 ¢ (7 ¡ 4) ¡ (¡12 + 3)] ¡ 6 = 5 ¡ 2 ¢ [3 ¢ (3) ¡ (¡9)] ¡ 6 = 5 ¡ 2 ¢ [9 + 9] ¡ 6 = 5 ¡ 2 ¢ (18) ¡ 6 = 5 ¡ 36 ¡ 6 = ¡31 ¡ 6 = ¡37J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 29 Por lo que, 5 ¡ 2 ¢ [3 ¢ (7 ¡ 4) ¡ (¡12 + 3)] ¡ 6 = ¡37 b.) ¡7 ¢ (3 ¡ 4 ¢ 2) + 2 ¢ [¡2 ¢ (¡6 ¡ 1) + 3] Soluci¶on ¡7 ¢ (3 ¡ 4 ¢ 2) + 2 ¢ [¡2 ¢ (¡6 ¡ 1) + 3]g = ¡7 ¢ (3 ¡ 8) + 2 ¢ [¡2 ¢ (¡7) + 3]g = ¡7 ¢ (¡5) + 2 ¢ [14 + 3]g = 35 + 2 ¢ (17) = 35 + 34 = 69 Por lo que, ¡7 ¢ (3 ¡ 4 ¢ 2) + 2 ¢ [¡2 ¢ (¡6 ¡ 1) + 3] = 69 Ejercicios 10 Determine el n¶umero que representa cada una de las siguientes expresiones: a.) ¡3[4(3¡2)¡(¡5+16)+12]¡16 b.) 5¡2 ¢ [(5¡7)+(3¡2)¡1] ¢ (¡1) c.) 1 ¡ 8 ¢ [10 ¢ (¡15 ¡ 2) ¡ 17] + 6 ¢ (¡7 ¡ 84) d.) 5 ¡ 2 ¢ (3 ¡ 11) ¢ (¡4)[5 ¡ (6 ¡ 9)] Ejemplo 24 Determine el n¶umero que representa la expresi¶on: 12 ¡ f¡2 + 3 ¢ [4 ¡ (¡8 + 12) + 1] ¡ 2g + 3 Soluci¶on 12 ¡ f¡2 + 3 ¢ [4 ¡ (¡8 + 12) + 1] ¡ 2g + 3 = 12 ¡ f¡2 + 3 ¢ [4 ¡ (4) + 1] ¡ 2g + 3 = 12 ¡ f¡2 + 3 ¢ [1] ¡ 2g + 3 = 12 ¡ f¡2 + 3 ¡ 2g + 3 = 12 ¡ f¡1g + 3 = 12 + 1 + 3 = 16 Por lo que, 12 ¡ f¡2 + 3 ¢ [4 ¡ (¡8 + 12) + 1] ¡ 2g + 3 = 1630 El Conjunto de los N¶umeros Reales Ejercicios 11 Determine el n¶umero que representa cada una de las siguientes expresiones. a.) ¡f¡10 ¢ [7 ¢ 8 ¡ (5 ¡ 9)] + 17g + 5 b.) ¡22 + 15 ¡ 17 ¡ 14 + 35 c.) 32 ¡ 77 ¡ 22 + 14 d.) ¡8 ¡ 22 ¡ 14 + 25 e.) 2(13 ¡ 2) + [f3 ¡ 4 + (2 ¡ 7)g ¡ 8] ¡ 6 f.) 8 ¡ 6 ¢ [5 ¢ (6 ¡ 3 ¢ f¡3 ¢ (5 ¡ 2)g + 2) ¡ 1] + 7 g.) 3 ¢ [2 ¢ f¡(3 ¡ 2) + 7 ¢ 4 ¡ 5 ¢ (11 ¡ 6)g + 8] ¡ 2 Observaci¶on: La adici¶on, la sustracci¶on y la multiplicaci¶on son operaciones de¯nidas en el conjunto de los n¶umeros enteros, esto es, si se relacionan dos n¶umeros enteros, por alguna de estas operaciones el resultado es un n¶umero entero. Pero la divisi¶on no es una operaci¶on de¯nida en el conjunto de los n¶umeros enteros pues, por ejemplo: a.) 3 ¥ 2 = 1:5 y 1:5 no es un n¶umero entero b.) ¡7 ¥ 3 = ¡2:3 y ¡2:3 no es un n¶umero entero c.) 5 ¥ (¡4) = ¡1:25 y ¡1:25 no es un n¶umero entero Sin embargo, para el conjunto de los n¶umeros enteros, tenemos el siguiente resultado. 1.7.5 Algoritmo de la divisi¶on Si a 2 Z; b 2 Z con b 6= 0 entonces existen c y r; con c 2 Z; r 2 N tales que: a = b ¢ c + r, con r < b (¤) Nota: Con respecto a la igualdad anterior el n¶umero c es el cociente, y el n¶umero r es el residuo que se obtiene al dividir a por b. Consideremos los siguientes ejemplos: 1.) Realizando la divisi¶on de 150 por 6 tenemos que: 150 6 ¡12 30 25 ¡30 0 Como 0 < 6, el procedimento de divisi¶on se detiene.J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 31 El cociente es 25 y el residuo es 0, y adem¶as por el algoritmo de la divisi¶on: 150 = 6 ¢ 25 + 0 2.) Realizando la divisi¶on de 23 por 4 tenemos que: 23 4 ¡20 3 5 Como 3 < 4, el procedimento de divisi¶on se detiene. El cociente es 5 y el residuo es 3, y adem¶as por el algoritmo de la divisi¶on: 23 = 4 ¢ 5 + 3 Ejercicios 12 Por medio de la divisi¶on determine el cociente c y el residuo r para cada uno de los casos siguientes: a.) 49 = 5 ¢ c + r b.) 476 = 7 ¢ c + r c.) 135 = 45 ¢ c + r d.) 9 = 15 ¢ c + r 1.7.6 Divisibilidad De¯nici¶on 15 Sean a 2 Z; b 2 Z. Se dice que : a es divisible por b, si al dividir j a j por j b j, se tiene como cociente un n¶umero natural c, y como residuo 0. Ejemplo 25 Determine si 72 es divisible por 6: Soluci¶on Como j 72 j= 72; j 6 j= 6 y al realizar la divisi¶on de 72 por 6 tenemos que 72 6 ¡6 12 12 ¡12 0 El residuo es 0 y el cociente es 12 (un n¶umero natural). Por lo tanto 72 es divisible por 6. Ejemplo 2632 El Conjunto de los N¶umeros Reales Determine si 37 es divisible por ¡5: Soluci¶on Como j 37 j= 37, y j ¡5 j= 5 y al realizar la divisi¶on de 37 por 5 tenemos que 37 5 ¡35 2 7 El residuo es 2 y el cociente es 7 (un n¶umero natural); al ser el residuo diferente de cero, 37 no es divisible por ¡5. Ejemplo 27 Determine si ¡135 es divisible por 7: Soluci¶on Como j ¡135 j= 135; j 7 j= 7 y al realizar la divisi¶on de 135 por 7 tenemos que 135 7 ¡7 65 19 ¡63 2 El cociente es 19 y el residuo es 2, al ser el residuo diferente de 0; ¡135 no es divisible por 5. Ejemplo 28 Determine si ¡51 es divisible por ¡3: Soluci¶on Como j ¡51 j= 51 y j ¡3 j= 3 y al realizar la divisi¶on de 51 por 3 tenemos que 51 3 ¡3 21 17 ¡21 0 El cociente es 17 y el residuo es 0, por lo tanto 51 es divisible por ¡3. Ejercicios 13J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 33 Realizando la divisi¶on correspondiente conteste las siguientes preguntas: 1.) >Es 154 divisible por 7? Justi¯que su respuesta. 2.) >Es 39 divisible por ¡12? Justi¯que su respuesta. 3.) >Es ¡104 divisible por ¡13? Justi¯que su respuesta. 4.) >Es ¡71 divisible por 17? Justi¯que su respuesta. 1.7.7 Algunos criterios de divisibilidad De acuerdo con el concepto de divisibilidad estudiado anteriormente se tiene que para determinar si un n¶umero entero a es divisible por un n¶umero entero b, debe realizarse la divisi¶on de j a j por j b j. Si el residuo que se obtiene al realizar esta divisi¶on es cero, entonces a es divisible por b. Si este residuo es diferente de cero entonces a no es divisible por b. Este procedimiento resulta ser un poco largo cuando las cantidades consideradas son "muy grandes". A continuaci¶on enunciaremos algunos criterios de divisibilidad que nos permitir¶an determinar, en forma abre- viada, algunos casos en que un n¶umero entero a es divisible por un n¶umero natural b. Para los criterios que siguen entenderemos por d¶³gitos de nuestro sistema de numeraci¶on decimal los n¶umeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Criterio de la divisibilidad por 2 Un n¶umero entero es divisible por 2, si y s¶olo s¶³ si el d¶³gito de las unidades es divisible por 2. Por ejemplo: a.) 374 es divisible por 2 pues el d¶³gito de las unidades (4) es divisible por 2. b.) 5620 es divisible por 2 pues el d¶³gito de las unidades (0) es divisible por 2. c.) 537 no es divisible por 2 pues el d¶³gito de las unidades (7) no es divisible por 2. d.) ¡238 es divisible por 2 pues el d¶³gito de las unidades (8) es divisible por 2. e.) ¡159 no es divisible por 2 pues el d¶³gito de las unidades (9) no es divisible por 2. Ejercicios 14 Usando el criterio anterior determine cu¶ales de los siguientes n¶umeros son divisibles por 2. a.) 1268 b.) ¡35794 c.) 9237 d.) 2450 e.) ¡379 f.) ¡47534 El Conjunto de los N¶umeros Reales Nota: 1.) Si un n¶umero entero es divisible por 2 recibe el nombre de n¶umero par. 2.) Si un n¶umero entero no es divisible por 2, recibe el nombre de n¶umero impar. Criterio de la divisibilidad por 3 Un n¶umero entero es divisible por 3 si y s¶olo s¶³ la suma de sus d¶³gitos es divisible por 3. Por ejemplo: a.) 504 es divisible por 3, pues 5 + 0 + 4 = 9 y 9 es divisible por 3. b.) 957 es divisible por 3, pues 9 + 5 + 7 = 21 y 21 es divisible por 3. c.) ¡375 es divisible por 3, pues 3 + 7 + 5 = 15 y 15 es divisible por 3. d.) ¡218 no es divisible por 3, pues 2 + 1 + 8 = 11 y 11 no es divisible por 3. e.) ¡4523 no es divisible por 3, pues 4 + 5 + 2 + 3 = 14 y 14 no es divisible por 3. Observe que en los casos (c), (d) y (e) anteriores para aplicar el criterio de divisibilidad, no se toma en cuenta el signo (¡) Ejercicios 15 Usando el criterio de divisibilidad por 3, determine cu¶ales de los siguientes n¶umeros son divisibles por 3. a.) 374 b.) ¡1047 c.) 1983 d.) 17983 e.) ¡5383 f.) ¡285 Criterio de la divisibilidad por 5 Un n¶umero entero es divisible por 5, si el d¶³gito de las unidades es 5 (cinco) o es 0 (cero). Por ejemplo: a.) 725 es divisible por 5, pues el d¶³gito de las unidades es 5. b.) 490 es divisible por 5, pues el d¶³gito de las unidades es 0.J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 35 c.) ¡468 no es divisible por 5, pues el d¶³gito de las unidades no es 5, ni es 0. Ejercicios 16 Usando el criterio de la divisibilidad por 5, determine cu¶ales de los siguientes n¶umeros son divisibles por 5. a.) ¡1345 b.) 753 c.) 920 d.) ¡5554 e.) ¡41270 f.) 11235 Criterio de la divisibilidad por 7 Un n¶umero entero n es divisible por 7 si y s¶olo s¶³ la resta entre, el valor absoluto del n¶umero que se obtiene al suprimir el d¶³gito de las unidades de n y el doble del d¶³gito de las unidades es divisible por 7. Ejemplo 29 Determine si 182 es divisible por 7 Soluci¶on El d¶³gito de las unidades de 182 es 2 y el doble de este d¶³gito es 4; adem¶as: 18 ¡ 4 = 14 Como 14 es divisible por 7, entonces 182 es divisible por 7. Ejemplo 30 Determine si 426 es divisible por 7 Soluci¶on El d¶³gito de las unidades de 426 es 6 y el doble de este d¶³gito es 12; adem¶as: 42 ¡ 12 = 30 Como 30 no es divisible por 7, entonces 426 no es divisible por 7. Ejemplo 31 Determine si 108 es divisible por 7 Soluci¶on El d¶³gito de las unidades de 108 es 8 y el doble del d¶³gito es 16; adem¶as: 10 ¡ 16 = ¡6 Como ¡6 no es divisible por 7, entonces 108 no es divisible por 7.36 El Conjunto de los N¶umeros Reales Ejemplo 32 Determine si 119 es divisible por 7 Soluci¶on El d¶³gito de las unidades de 119 es 9 y el doble del d¶³gito es 18; adem¶as: 11 ¡ 18 = ¡7 Como ¡7 es divisible por 7, entonces 119 es divisible por 7. Ejemplo 33 Determine si ¡263 es divisible por 7 Soluci¶on El d¶³gito de las unidades de ¡263 es 3 y el doble del d¶³gito es 6, j ¡26 j= 26 y adem¶as: 26 ¡ 6 = 20 Como 20 no es divisible por 7, entonces ¡263 no es divisible por 7. Ejemplo 34 Determine si ¡385 es divisible por 7 Soluci¶on El d¶³gito de las unidades de ¡385 es 5 y el doble del d¶³gito es 10, j ¡38 j= 38 y adem¶as: 38 ¡ 10 = 28 Como 28 es divisible por 7, entonces ¡385 es divisible por 7. Ejercicios 17 Usando el criterio de la divisibilidad por 7, determine cu¶ales de los siguientes n¶umeros son divisibles por 7. a.) 161 b.) ¡277 c.) 581 d.) ¡669 e.) ¡735 f.) 806 Criterio de la divisibilidad por 11 Un n¶umero entero es divisible por 11 si y s¶olo s¶³ la diferencia entre la suma de los d¶³gitos que se encuentran en los lugares impares y la suma de los d¶³gitos que se encuentran en los lugares pares es divisible por 11. Ejemplo 35 Determine si 8349 es divisible por 11 Soluci¶onJ. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 37 La suma de los d¶³gitos que se encuentran en los lugares impares es: 8 + 4 = 12. La suma de los d¶³gitos que se encuentran en los lugares pares es: 3 + 9 = 12, adem¶as: 12 ¡ 12 = 0 Como 0 es divisible por 11, entonces 8349 es divisible por 11. Ejemplo 36 Determine si ¡7293 es divisible por 11 Soluci¶on La suma de los d¶³gitos que se encuentran en los lugares impares es: 7 + 9 = 16. La suma de los d¶³gitos que se encuentran en los lugares pares es: 2 + 3 = 5, adem¶as: 16 ¡ 5 = 11 Como 11 es divisible por 11, entonces ¡7293 es divisible por 11. Ejemplo 37 Determine si 7869 es divisible por 11 Soluci¶on La suma de los d¶³gitos que se encuentran en los lugares impares es: 7 + 6 = 13. La suma de los d¶³gitos que se encuentran en los lugares pares es: 8 + 9 = 17, adem¶as: 13 ¡ 17 = ¡4 Como ¡4 no es divisible por 11, entonces 7869 no es divisible por 11. Ejercicios 18 Usando el criterio de la dibisibilidad por 11, determine cu¶ales de los siguientes n¶umeros son divisibles por 11. a.) 23716 b.) ¡37631 c.) ¡133375 d.) 66687 e.) 17983 f.) ¡21813 1.7.8 M¶ultiplos y factores de un n¶umero entero De¯nici¶on 16 Sean a 2 Z; b 2 Z; c 2 Z; si a = b ¢c se dice que a es un n¶umero m¶ultiplo de b y c; adem¶as b y c son factores o divisores de a. Ejemplo 3838 El Conjunto de los N¶umeros Reales 1.) Como 45 = 9 ¢ 5 entonces 45 es un m¶ultiplo de 9 y 5 , 9 es un factor o divisor de 45. 2.) Como 37 = 1 ¢ 37 entonces 37 es un m¶ultiplo de 37 y 1, entonces 1 y 37 son factores o divisores de 37. 3.) Como ¡42 = ¡6 ¢ 7 entonces ¡42 es un m¶ultiplo de ¡6 y 7 entonces ¡6 y 7 son factores o divisores de ¡42. De¯nici¶on 17 Sean a 2 Z y b un factor de a. Si b 2 N entonces b recibe el nombre de factor natural de a. Ejemplo 39 1.) Como ¡30 = ¡2 ¢ 15 y 15 2 N entonces 15 recibe el nombre de factor natural de ¡30. 2.) Como 77 = 11 ¢ 7 y 11 2 N; 7 2 N entonces 11 y 7 reciben el nombre de factores naturales de 77. Ejemplo 40 Determine los factores (divisores) naturales de 14 Soluci¶on 14 es divisible ¶unicamente por 1; ¡1; ¡2; 7; ¡7; 14 y ¡14 por lo tanto los factores (divisores) naturales de 14 son: 1; 2; 7 y 14. Ejemplo 41 Determine todos los factores (divisores) naturales de 6 Soluci¶on 6 es divisible ¶unicamente por 1; ¡1; 2; ¡2; 3; ¡3; 6 y ¡6 entonces los factores (divisores) naturales son: 1; 2; 3 y 6. Ejemplo 42 Determine todos los factores (divisores) naturales de 17 Soluci¶on 17 es divisible ¶unicamente por 1; ¡1; 17 y ¡17 entonces los factores (divisores) naturales de 17 son 1 y 17. Ejercicios 19J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 39 1.) Determine todos los factores naturales de 36 2.) Determine todos los factores naturales de 39 3.) Determine todos los factores naturales de 43 Observaci¶on: Si n 2 N entonces siempre se cumple que 1; ¡1; n y ¡n son factores o divisores de n. Pues: n = 1 ¢ n; n = (¡1) ¢ (¡n) 1.7.9 N¶umeros primos y n¶umeros compuestos De¯nici¶on 18 Sea n 2 N; n > 1. Se dice que n es un n¶umero primo, si sus ¶unicos factores (divisores) naturales son 1 y n. Ejemplo 43 a.) 23 es un n¶umero primo pues sus ¶unicos factores (divisores) naturales son 1 y 23. b.) 77 no es un n¶umero primo pues sus factores naturales son 1; 7; 11 y 77. Ejercicios 20 1.) Escriba los n¶umeros naturales primos menores que 30. 2.) >Es 43 un n¶umero primo? Justi¯que su respuesta. 3.) >Es 69 un n¶umero primo? Justi¯que su respuesta. 4.) >Cu¶ales n¶umeros naturales pares son n¶umeros primos? De¯nici¶on 19 Sea n 2 N; n > 1. Se dice que n es un n¶umero compuesto, si n no es un n¶umero primo. Ejercicios 21 Escriba cinco n¶umeros naturales compuestos. De¯nici¶on 20 Sea a 2 Z Si c es un factor natural de a y c es un n¶umero primo se dice que c es un factor primo de a .40 El Conjunto de los N¶umeros Reales Ejemplo 44 a.) 15 = 5 ¢ 3 y 5; 3 son n¶umeros primos por lo que 5 y 3 son factores primos de 15 b.) 42 = 6 ¢ 7 = 2 ¢ 3 ¢ 7, como 2; 3 y 7 son n¶umeros primos y a su vez son factores de 42, entonces 2; 3 y 7 son factores primos de 42. Ejercicios 22 Determine los factores primos, de los siguientes n¶umeros: a): 6 b:) 10 c:) ¡ 55 d:) ¡ 140 e:) ¡ 73 1.7.10 Representaci¶on de un n¶umero compuesto como el producto de n¶umeros primos Aceptemos sin demostrar el siguiente teorema. Teorema 1 Todo n¶umero natural compuesto se puede expresar como producto de n¶umeros primos. A la representaci¶on de un n¶umero natural como el producto de factores primos la llamaremos factorizaci¶on prima o factorizaci¶on completa del n¶umero. Aceptaremos adem¶as que la factorizaci¶on prima de un n¶umero natural es ¶unica, salvo el orden de los factores. Existen diferentes formas de ir indicando el procedimiento para la obtenci¶on de la factorizaci¶on prima de un n¶umero natural. Estas formas lo que buscan es simpli¯car el trabajo, pero todos conducen a un mismo resultado. A continuaci¶on indicamos una forma, que consideramos simpli¯ca bastante el trabajo y a la vez permite obtener la factorizaci¶on completa de un n¶umero en una forma ordenada. Ejemplo 45 Determine la factorizaci¶on prima de 300 Soluci¶onJ. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 41 300 2 150 2 75 3 25 5 5 5 As¶³ 300 = 2 ¢ 2 ¢ 3 ¢ 5 ¢ 5 1 Ejemplo 46 Determine la factorizaci¶on prima de 105 Soluci¶on 105 3 35 5 7 7 As¶³ 105 = 3 ¢ 5 ¢ 7 1 Ejercicios 23 Para cada uno de los n¶umeros, determine su factorizaci¶on prima: a:) 504 b:) 1170 c:) 735 d:) 154 e:) 675 1.7.11 M¶aximo divisor com¶un Los conjuntos cuyos elementos son los divisores naturales de 12 y 18 respectivamente son: D12 : n 1 ; 2 ; 3 ; 4; 6 ; 12 o D18 : n 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9; 18 o Encerrados en un rect¶angulo aparecen los n¶umeros que pertenecen a ambos conjuntos, al mayor de estos n¶umeros lo llamaremos m¶aximo divisor com¶un de 12 y 18, en este caso 6, y escribimos M.D.C.(12; 18) = 6 En general si a; b; :::; c son n¶umeros naturales y el m¶aximo divisor com¶un de ellos es k entonces escribimos: M.D.C.(a; b; :::; c) = k Ejemplo 4742 El Conjunto de los N¶umeros Reales Determine M.D.C.(12; 40; 56) Soluci¶on D12 : n1; 2; 3; 4 ; 6; 12 o D40 : n1; 2; 4 ; 5; 8; 10; 20; 40 o D56 : n1; 2; 4 ; 7; 8; 14; 28; 56 o As¶³ obtenemos que M.D.C.(12; 40; 56) = 4 De¯nici¶on 21 El m¶aximo divisor com¶un de dos o m¶as n¶umeros naturales es el mayor n¶umero natural que es divisor de cada uno de los n¶umeros dados. Ejercicios 24 Veri¯que que: 1.) M.D.C. (54; 90) = 6 2.) M.D.C. (5; 25; 90) = 5 El procedimiento que hemos visto para determinar el m¶aximo divisor com¶un de dos o m¶as n¶umeros no es muy pr¶actico cuando se trabaja con cantidades grandes. Podemos obtener el mismo resultado con el procedimiento que se presenta en el siguiente ejemplo. Ejemplo 48 Determine M.D.C.(2520; 720; 540) Soluci¶on El procedimiento se basa en escribir los divisores primos comunes de los tres n¶umeros en una columna a la derecha de la l¶³nea vertical. 2520 720 540 2 1260 360 270 2 630 180 135 3 210 60 45 3 70 20 15 5 14 4 3J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 43 El M.D.C de los tres n¶umeros dados al inicio se obtiene multiplicando los n¶umeros que est¶an a la derecha de la l¶³nea vertical, o sea: M.D.C.(2520; 720; 540) = 2 ¢ 2 ¢ 3 ¢ 3 ¢ 5 = 180 As¶³, M.D.C.(2520; 720; 540) = 180 Ejercicios 25 1.) Determine M.D.C.(2745, 5400, 3780) 2.) Determine M.D.C.(2478, 29190, 9360) 1.7.12 M¶³nimo m¶ultiplo com¶un Los conjuntos cuyos elementos son los m¶ultiplos naturales de 3 y 2 son respectivamente: M3 = n3; 6 ; 9; 12 ; 15; 18 ; 21; 24 ; ::: o M2 = n2; 4; 6 ; 8; 10; 12 ; 14; 16; 18 ; 20; 22; 24 ; 26; ::: o Encerrados en un rect¶angulo aparecen los n¶umeros que pertenecen a ambos conjuntos, al menor de todos es- tos n¶umeros se le asigna el nombre de m¶³nimo m¶ultiplo com¶un de 3 y 2, en este caso 6, y escribimos m.m.c.(3; 2) = 6 En general si a; b; :::; c son n¶umeros naturales y el m¶³nimo m¶ultiplo com¶un de ellos es r entonces escribimos. m.m.c.(a; b; :::; c) = r Ejemplo 49 Determine m.m.c.(12; 18; 24) Soluci¶on M12 : n12; 24; 36; 48; 60; 72 ; 84; 96; 108; 120; 132; 144; ::: o M18 : n18; 36; 54; 72 ; 90; 108; 126; 144; 162; ::: o M24 : n24; 48; 72 ; 96; 120; 144; 168 ::: o As¶³ obtenemos que m.m.c.(12; 18; 24) = 7244 El Conjunto de los N¶umeros Reales De¯nici¶on 22 El m¶³nimo m¶ultiplo com¶un de dos o m¶as n¶umeros naturales es el menor n¶umero natural que es m¶ultiplo de cada uno de los n¶umeros dados. El procedimiento que hemos visto para determinar el m¶³nimo m¶ultiplo com¶un de dos o m¶as n¶umeros no es muy pr¶actico cuando se trabaja con cantidades grandes. Podemos obtener el mismo resultado con el procedimiento que se presenta en el ejemplo siguiente: Ejemplo 50 Determine m.m.c.(12; 28; 24) Soluci¶on El procedimiento se basa en escribir los factores primos de al menos uno de los tres n¶umeros en una columna a la derecha de la l¶³nea vertical. 12 18 24 2 6 9 12 2 3 9 6 2 3 9 3 3 1 3 1 3 1 1 1 Observe que el procedimiento se \detiene" cuando el n¶umero que se obtiene en cada una de las columnas a la izquierda de la l¶³nea vertical es 1. El m¶³nimo m¶ultiplo com¶un de los n¶umeros dados se obtiene multiplicando los n¶umeros que est¶an a la derecha de la l¶³nea vertical, o sea: m.m.c.(12; 18; 24) = 2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 3 ¢ 3 = 72 As¶³ m.m.c.(12; 18; 24) = 72 Ejercicios 26 Determine: 1.) m.m.c.(14; 22) 2.) m.m.c.(12; 17; 20) 3.) m.m.c.(24; 40; 56) 4.) m.m.c.(120; 360; 180) 5.) m.m.c.(121; 64) 6.) m.m.c.(91; 39) Teorema 2J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 45 Sean a 2 N y b 2 N tales que a y b no tienen factores primos comunes entonces m.m.c. (a; b) = a ¢ b En tal caso decimos que a y b son primos relativos o coprimos entre s¶³. Por ejemplo: 1.) 2 y 3 son primos relativos entre s¶³ =) m.m.c. (3; 2) = 6 2.) 15 y 7 son primos relativos entre s¶³. =) m.m.c. (15; 7) = 105 Ejercicios 27 1.) Determine si 32 y 35 son primos relativos entre s¶³. 2.) Determine si 66 y 55 son primos relativos entre s¶³. 1.8 Propiedades de los n¶umeros racionales Recordemos que el conjunto cuyos elementos son los n¶umeros que se pueden representar por ab , con a 2 Z; b 2 Z y b 6= 0 recibe el nombre de conjunto de los n¶umeros racionales y se denota con el s¶³mbolo Q. As¶³: Q = n ab = a 2 Z; b 2 Z y b 6= 0o De¯nici¶on 23 Sea a 2 Z; b 2 Z y b 6= 0 En ab ; el n¶umero representado por a se llama numerador, el n¶umero representado por b se llama denomi- nador, la expresi¶on ab recibe el nombre de fracci¶on. 1.8.1 Fracciones equivalentes De¯nici¶on 24 Sea ab 2 Q y cd 2 Q Las fracciones ab y cd reciben el nombre de fracciones equivalentes (entre s¶³) si representan al mismo n¶umero racional y en tal caso escribimos ab = cd Ejemplo 5146 El Conjunto de los N¶umeros Reales Determine si 48 es equivalente a 12 Soluci¶on 48 = 0:5 pues 4 ¥ 8 = 0:5 12 = 0:5 pues 1 ¥ 2 = 0:5 Por lo que 48 y 12 representan un mismo n¶umero racional es decir, son fracciones equivalentes entre s¶³, es decir 48 = 12 Ejemplo 52 Determine cu¶ales de las fracciones 5 20; 16 4 y 28 son equivalentes a 3 12 Soluci¶on 3 12 = 0:25 pues 3 ¥ 12 = 0:25 5 20 = 0:25 pues 5 ¥ 20 = 0:25 16 4 = 4 pues 16 ¥ 4 = 4 28 = 0:25 pues 2 ¥ 8 = 0:25 De donde se concluye que 3 12 es equivalente a 5 20 y a 28, es decir 3 12 = 5 20 y 3 12 = 28 Ejercicios 28 Determine cu¶ales de las fracciones ¡2 6 ; ¡3 9 y ¡6 2 son equivalentes entre s¶³: En los ejemplos (54) y (55) anteriores obtuvimos que: 48 = 12; 3 12 = 5 20 y 3 12 = 28 Observe que: a.) 48 = 12 y tambi¶en se cumple que 4 ¢ 2 = 8 ¢ 1 b.) 3 12 = 5 20 y tambi¶en se cumple que 3 ¢ 20 = 12 ¢ 5 c.) 3 12 = 28 y tambi¶en se cumple que 3 ¢ 8 = 12 ¢ 2J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 47 Los casos (a), (b) y (c) anteriores son ejemplos donde se aplic¶o el siguiente criterio, el cual se puede usar para determinar si dos fracciones son equivalentes entre s¶³: Sean ab 2 Q y cd 2 Q; ab = cd , a ¢ d = b ¢ c Ejemplo 53 a.) Determine si ¡3 5 es equivalente a ¡21 35 b.) Determine si 3 18 es equivalente a 15 9 c.) Determine si ¡5 2 es equivalente a ¡10 2 Soluci¶on a.) ¡3 5 es equivalente a ¡21 35 es decir, ¡3 5 = ¡21 35 , pues se cumple que ¡3 ¢ 35 = 5(¡21) b.) 3 18 no es equivalente a 15 9 es decir, 3 18 6= 15 9 , pues se tiene que 3 ¢ 9 6= 18 ¢ 15 c.) ¡5 2 no es equivalente a ¡10 2 es decir, ¡5 2 6= ¡10 2 , pues se tiene que ¡5 ¢ 2 6= ¡10 ¢ 2 Ejercicios 29 1. Determine cu¶ales pares de las fracciones siguientes son equivalentes entre s¶³: a.) 67 y 89 b.) 35 ¡21 y ¡5 3 c.) 31 y 57 19 d.) 25 4 y 4 25 2. Usando el resultado anterior veri¯que que: Si ab 2 Q y cd 2 Q entonces se cumple que: a:) ¡a ¡b = ab b:) a ¡b = ¡a b48 El Conjunto de los N¶umeros Reales Nota: En adelante, por las igualdades anteriores obtenidas en el ejercicio 25, parte (2), trabajaremos con fracciones equivalentes cuyo denominador sea positivo. 1.8.2 Simpli¯caci¶on de fracciones Sea ab 2 Q Simpli¯car la fracci¶on ab consiste en dividir el numerador y el denominador de dicha fracci¶on por un mismo n¶umero natural n; n ¸ 2 y n un factor com¶un de a y b. Obtenemos as¶³ la fracci¶on: a ¥ n b ¥ n la cual es equivalente a ab y escribimos ab = a ¥ n b ¥ n Ejemplo 54 Simpli¯que las siguientes fracciones: a.) 46 28 b.) ¡39 27 c.) 154 Soluci¶on a.) 46 28 Dividiendo el numerador y el denominador por 2 tenemos que: 46 28 = 46 ¥ 2 28 ¥ 2 = 23 14 es decir; 46 28 = 23 14 b.) ¡39 27 Dividiendo el numerador y el denominador por 3 tenemos que:J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 49 ¡39 27 = ¡39 ¥ 3 27 ¥ 3 = ¡13 9 es decir; ¡39 27 = ¡13 9 c.)15 4 En este caso 15 y 4 no tienen factores comunes mayores que 2, por esta raz¶on decimos que 15 4 no se puede simpli¯car. 1.8.3 Fracciones can¶onicas y fracciones reducibles Consideremos 9 15, el m¶aximo divisor com¶un de 9 y 15 es 3, utilizando esto podemos simpli¯car 9 15 de la manera siguiente: 9 15 = 9 ¥ 3 15 ¥ 3 = 35 es decir; 9 15 = 35 Ahora si consideramos 35 observemos que M.D.C. (3; 5) = 1, por lo cual 35 no se puede simpli¯car. De¯nici¶on 25 Decimos que un n¶umero racional est¶a representado por una fracci¶on can¶onica ab , si el m¶aximo divisor com¶un de jaj y jbj es 1. As¶³ con respecto al caso anterior 35 es la fracci¶on can¶onica de 9 15. Nota La fracci¶on can¶onica correspondiente a un n¶umero racional se conoce tambi¶en con el nombre de fracci¶on irre- ducible. Teorema 3 Sea ab 2 Q Si M.D.C. (jaj ; jbj) = k entonces la fracci¶on a ¥ k b ¥ k es una fracci¶on can¶onica Ejemplo 55 Determine la fracci¶on can¶onica correspondiente a:50 El Conjunto de los N¶umeros Reales a.) 42 105 b.) ¡84 30 Soluci¶on a.) 42 105 Calculemos M.D.C. (42 ; 105) 42 105 3 14 35 7 2 5 Por lo que M.D.C. (42; 105) = 3 ¢ 7 = 21 As¶³ pues 42 105 = 42 ¥ 21 105 ¥ 21 = 25 De donde la fracci¶on can¶onica correspondiente a 42 105 es 25 es decir; 42 105 = 25 b.) ¡84 30 Calculemos M.D.C. (j ¡84 j ; j 30 j) es decir; M.D.C. (84; 30) 84 30 2 42 15 3 14 5 Por lo que M.D.C. (84; 30) = 2 ¢ 3 = 6 As¶³ pues ¡84 30 = ¡84 ¥ 6 30 ¥ 6 = ¡14 5 De donde la fracci¶on can¶onica correspondiente a ¡84 30 es ¡14 5 es decir; ¡84 30 = ¡14 5 Ejercicios 30 Determine la fracci¶on can¶onica correspondiente a: 1.) 81 54 3.) 75 225 5.) ¡68 17 2.) ¡17 23 4.) ¡171 189 6.) 675 1260J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 51 1.8.4 Ampli¯caci¶on de fracciones Ampli¯car una fracci¶on ab consiste en multiplicar el numerador y el denominador de dicha fracci¶on por un mismo n¶umero entero n; n ¸ 2; obteni¶endose as¶³ la fracci¶on: a ¢ n b ¢ n la cual es equivalente a ab y escribimos ab = a ¢ n b ¢ n Por ejemplo: Si en la fracci¶on 34 multiplicamos el numerador y el denominador por 5 obtenemos: 15 20, y decimos en este caso que 15 20 es una ampli¯caci¶on de 34 es decir; 34 = 15 20 Ejercicios 31 Haciendo uso de la ampli¯caci¶on de fracciones determine tres fracciones equivalentes a: 1.) 53 3.) 1 5.) ¡2 7.) 76 9.) ¡11 4 2.) ¡1 4.) 25 10 6.) 0 8.) 6 10.) ¡75 7 1.8.5 Representaci¶on de n¶umeros racionales usando el m¶³nimo denominador com¶un De¯nici¶on 26 El m¶³nimo m¶ultiplo com¶un de los denominadores de dos o m¶as fracciones recibe el nombre de m¶³nimo denomi- nador com¶un de dichas fracciones. Ejemplo 56 Determine el m¶³nimo denominador com¶un de 56; 49 y ¡32 Soluci¶on El m.m.c. (6; 9; 2) = 18, por lo que por la de¯nici¶on anterior tenemos que 18 es el m¶³nimo denominador com¶un de 56; 49 y ¡32 Ejercicios 32 Para cada uno de los casos siguientes determine el m¶³nimo denominador com¶un de las fracciones dadas:52 El Conjunto de los N¶umeros Reales 1.) ¡53 y 27 3.) 37; 2 14 y 53 2.) ¡35 ; 23 y ¡7 15 4.) 13 18; 5 12; ¡3 54 y 56 Ejemplo 57 Considere las fracciones 53; ¡7 6 y 8 10 (¤) a.) Determine el m¶³nimo denominador com¶un de las fracciones anteriores. b.) Escriba los n¶umeros racionales representados en (¤) por medio de fracciones equivalentes cuyo denominador sea el m¶³nimo denominador. Soluci¶on a.) Como m.m.c. (3; 6; 10) = 30 entonces 30 es el m¶³nimo denominador com¶un de: 53; ¡7 6 y 8 10 b.) Ampli¯cando las fracciones dadas en (¤) podemos obtener fracciones cuyo denominador sea el m¶³nimo denominador com¶un o sea; 30, de la manera siguiente: 53 = 5 ¢ 10 3 ¢ 10 = 50 30 , es decir; 53 = 50 30 ¡7 6 = ¡7 ¢ 5 6 ¢ 5 = ¡35 30 , es decir; ¡7 6 = ¡35 30 85 = 8 ¢ 6 5 ¢ 6 = 48 30 , es decir; 85 = 48 30 Ejercicios 33 En cada uno de los casos siguientes escriba los n¶umeros racionales dados, por medio de fracciones, cuyo denom- inador sea el m¶³nimo denominador com¶un de las fracciones dadas: 1.) ¡57 ; 3 14 y ¡7 21 3.) 49; ¡53 ; ¡2 y 1 2.) 35; ¡2 15; 7 60 y ¡1 4.) 3 44; ¡2 121 y 25 77 1.9 Algoritmos de las operaciones de¯nidas en Q 1.9.1 Adici¶on de n¶umeros racionales : Caso 1J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 53 Algoritmo de la adici¶on para n¶umeros racionales representados por fracciones de igual denominador: Si ab 2 Q y cb 2 Q entonces ab + cb = a + c b En general: Si a1 b 2 Q; a2 b 2 Q; ::: ; an b 2 Q entonces a1 b + a2 b + a3 b + ::: + an b = a1 + a2 + ::: + an b Ejemplo 58 Escriba la fracci¶on can¶onica correspondiente a: a.) 37 + 27 + 67 b.) 54 + 12 4 + ¡34 Soluci¶on a.) 37 + 27 + 67 = 3 + 2 + 6 7 = 11 7 Como m.m.c. (11; 7) = 1; 11 7 es la fracci¶on can¶onica correspondiente a 37 + 27 + 67 b.) 54 + 12 4 + ¡34 = 5 + 12 + ¡3 4 = 17 ¡ 3 4 = 14 4 = 14 ¥ 2 4 ¥ 2 = 72 Como m.m.c. (7; 2) = 1; 72 es la fracci¶on can¶onica correspondiente a 54 + 12 4 + ¡34 Ejercicios 34 Escriba la fracci¶on can¶onica correspondiente a: 1.) 43 + 13 3.) 3 13 + 2 13 + ¡4 13 2.) 11 5 + ¡65 + ¡30 5 + 15 4.) ¡1 11 + ¡3 11 + ¡2 1154 El Conjunto de los N¶umeros Reales : Caso 2 Algoritmo de la adici¶on para n¶umeros racionales representados por fracciones cuyos denominadores no son iguales entre s¶³. Para sumar n¶umeros racionales representados por fracciones cuyos denominadores no son iguales entre s¶³, se procede de la siguiente manera: i:) Se determina el m¶³nimo denominador com¶un de las fracciones dadas. ii:) Se representa cada uno de los n¶umeros racionales dados, por medio de una fracci¶on cuyo denominador sea el n¶umero obtenido en (i). iii:) Se procede como en Caso 1 Ejemplo 59 Escriba la fracci¶on can¶onica correspondiente a: a.) 56 + 7 15 b.) 18 7 + ¡32 Soluci¶on a.) 56 + 7 15 El m¶³nimo denominador com¶un de 6 y 5 es 30 por lo que: 56 + 7 15 = 5 ¢ 5 6 ¢ 5 + 7 ¢ 2 15 ¢ 2 = 25 30 + 14 30 = 25 + 14 30 = 39 30 = 39 ¥ 3 30 ¥ 3 = 13 10 es decir; 56 + 7 15 = 13 10 b.) 18 7 + ¡32J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 55 El m¶³nimo denominador com¶un de 7 y 2 es 14, por lo que: 18 7 + ¡32 = 18 ¢ 2 7 ¢ 2 + ¡3 ¢ 7 2 ¢ 7 = 36 14 + ¡21 14 = 36 + ¡21 14 = 36 ¡ 21 14 = 15 14 es decir; 18 7 + ¡32 = 15 4 Ejercicios 35 Escriba la fracci¶on can¶onica correspondiente a: 1.) 23 + 35 + 79 6.) 58 + ¡18 + ¡57 2.) 78 + 11 2 + ¡19 6 + 34 7.) 5 12 + 78 + ¡5 24 + ¡25 6 3.) 5 + 35 8.) ¡6 13 + 2 13 + ¡11 13 4.) ¡1 + 79 9.) 1 + 97 + ¡12 14 5.) ¡43 + ¡27 10.) 54 + ¡3 + 65 + 2 Otro procedimiento que se puede usar para sumar dos o m¶as n¶umeros racionales lo aporta el siguiente teorema: Teorema 4 Sean ab 2 Q; cd 2 Q entonces: ab + cd = a ¢ d + c ¢ b b ¢ d Prueba ab + cd = a ¢ d b ¢ d + c ¢ b d ¢ b = ad + cb b ¢ d56 El Conjunto de los N¶umeros Reales es decir; ab + cd = ad + cb b ¢ d Ejemplo 60 Determine la fracci¶on can¶onica correspondiente a: a.) 76 + ¡34 b.) ¡3 10 + ¡11 6 c.) 58 + 27 Soluci¶on a.) 76 + ¡34 = 7 ¢ 4 + (¡3) ¢ 6 6 ¢ 4 = 28 + ¡18 24 = 28 ¡ 18 24 = 10 24 = 10 ¥ 2 24 ¥ 2 = 5 12 b.) ¡3 10 + ¡11 6 = (¡3) ¢ 6 + (¡11) ¢ 10 10 ¢ 6 = ¡18 + ¡110 60 = ¡128 60 = ¡128 ¥ 4 60 ¥ 4 = ¡32 15 c.) 58 + 27 = 5 ¢ 7 + 2 ¢ 8 8 ¢ 7 = 35 + 16 56 = 51 56J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 57 Nota El procedimiento para sumar n¶umeros racionales, dado en el teorema anterior se puede generalizar para m¶as de dos sumandos, pero para estos casos se recomienda utilizar, el procedimiento enunciado en el Caso 2. 1.9.2 Sustraci¶on de n¶umeros racionales Recordemos que si p 2 R y q 2 R entonces p ¡ q = p + (¡q). En particular si ab 2 Q y cd 2 Q entonces: ab ¡ cd = ab + ¡c d Ejemplo 61 Escriba la fracci¶on can¶onica correspondiente a: a.) 67 ¡ 34 b.) 56 ¡ 26 c.) 3 12 ¡ 56 ¡ 78 Soluci¶on a.) 67 ¡ 34 = 67 + ¡34 = 6 ¢ 4 + (¡3) ¢ 7 7 ¢ 4 = 24 ¡ 21 28 = 3 28 b.) 56 ¡ 26 = 56 + ¡26 = 5 + ¡2 6 = 5 ¡ 2 6 = 36 = 3 ¥ 3 6 ¥ 3 = 1258 El Conjunto de los N¶umeros Reales c.) 3 12 ¡ 56 ¡ 78 = 3 12 + ¡56 + ¡78 = 3 ¢ 2 12 ¢ 2 + ¡5 ¢ 4 6 ¢ 4 + ¡7 ¢ 3 8 ¢ 3 = 6 24 + ¡20 24 + ¡21 24 = 6 ¡ 20 ¡ 21 24 = ¡35 24 (nota: aqu¶³ se us¶o que: m:m:c:(12; 6; 8) = 24) Ejercicios 36 Escriba la fracci¶on can¶onica correspondiente a: 1.) 52 ¡ 81 2 4.) 58 9 ¡ 28 9 + 75 7.) 4 38 ¡ 6 19 + 1 2.) 3 125 ¡ 4 400 5.) 11 42 ¡ 5 49 ¡ 6 70 8.) 4 ¡ 75 ¡ 16 3.) 58 ¡ 74 + 6 6.) ¡12 ¡ 13 ¡ 16 9.) ¡3 + 79 + 4 1.9.3 Algoritmo de la multiplicaci¶on de n¶umeros racionales Si ab 2 Q y cd 2 Q entonces se tiene que: ab ¢ cd = a ¢ c b ¢ d Ejemplo 62 Determine la fracci¶on can¶onica correspondiente a: a.) ¡35 ¢ 27 b.) 2 ¢ 11 9 c.) ¡64 ¢ ¡79 d.) ¡23 ¢ 14 Soluci¶on a.) ¡35 ¢ 27 = ¡3 ¢ 2 5 ¢ 7 = ¡6 35J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 59 b.) 2 ¢ 11 9 = 21 ¢ 11 9 = 2 ¢ 11 1 ¢ 9 = 22 9 c.) ¡64 ¢ ¡79 = (¡6) ¢ (¡7) 4 ¢ 9 = 42 36 = 42 ¥ 6 36 ¥ 6 = 76 d.) ¡23 ¢ 14 = (¡2) ¢ 1 3 ¢ 4 = ¡2 12 = ¡2 ¥ 2 12 ¥ 2 = ¡16 En general: Si a1 b1 2 Q ; a2 b2 2 Q ; ::: ; an bn 2 Q entonces: a1 b1 ¢ a2 b2 ¢ ::: ¢ an bn = a1 ¢ a2 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ an b1 ¢ b2 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ bn Ejemplo 63 Escriba la fracci¶on can¶onica correspondiente a: a.) ¡76 ¢ 35 ¢ 2 b.) ¡29 ¢ 16 ¢ 32 Soluci¶on60 El Conjunto de los N¶umeros Reales a.) ¡76 ¢ 35 ¢ 2 = ¡7 ¢ 3 ¢ 2 6 ¢ 5 ¢ 1 = ¡42 30 = ¡42 ¥ 6 30 ¥ 6 = ¡75 b.) ¡29 ¢ 16 ¢ 32 = ¡2 ¢ 1 ¢ 3 9 ¢ 6 ¢ 2 = ¡6 108 = ¡6 ¥ 6 108 ¥ 6 = ¡1 18 Ejercicios 37 Escriba la fracci¶on can¶onica correspondiente a: 1.) 78 ¢ 16 21 3.) 15 7 ¢ ¡46 5.) ¡92 ¢ ¡11 2 ¢ ¡46 2.) ¡4 ¢ ¡14 5 4.) 67 ¢ 8 ¢ ¡7 16 6.) ¡3 5 ¢ ¡15 1.9.4 Algoritmo de la divisi¶on de n¶umeros racionales Sean ab 2 Q y cd 2 Q Entonces se cumple que: ab ¥ cd = a ¢ d b ¢ c Ejemplo 64 Determine la fracci¶on can¶onica correspondiente a: a.) ¡35 ¥ 43 b.) ¡54 ¥ ¡6 c.) 3 ¥ 76 Soluci¶onJ. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 61 a.) ¡35 ¥ 43 = ¡3 ¢ 3 5 ¢ 4 = ¡9 20 b.) ¡54 ¥ ¡6 = ¡54 ¥ ¡61 = ¡5 ¢ 1 4 ¢ (¡6) = ¡5 ¡24 = 5 24 c.) 3 ¥ 76 = 31 ¥ 76 = 3 ¢ 6 1 ¢ 7 = 18 7 Recordemos que al inicio del folleto se mencion¶o que: Si a 2 R; b 2 R; y b 6= 0 entonces: a ¥ b = ab En particular si ab 2 Q; cd 2 Q; y cd 6= 0 entonces: ab ¥ cd = abcd (1) Adem¶as por el algoritmo de la divisi¶on ab ¥ cd = a ¢ d b ¢ c (2) Por lo que de (1) y (2) obtenemos que: abcd = a ¢ d b ¢ c Ejemplo 65 Determine la fracci¶on can¶onica correspondiente a:62 El Conjunto de los N¶umeros Reales a.) ¡5476 b.) 327 c.) ¡13 46 Soluci¶on a.) ¡5476 = ¡5 ¢ 6 4 ¢ 7 = ¡30 28 = ¡30 ¥ 2 28 ¥ 2 = ¡15 14 As¶³:¡5476 = ¡15 14 b.) 327 = 3127 = 3 ¢ 7 1 ¢ 2 = 21 2 As¶³:327 = 21 2J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 63 c.) ¡13 46 = ¡13 4 61 = ¡13 ¢ 1 4 ¢ 6 = ¡13 24 As¶³:¡13 46 = ¡13 24 Ejercicios 38 Escriba la fracci¶on can¶onica correspondiente: 1.) ¡23 ¥ 4 3.) 79 ¥ ¡54 5.) 312 7.) ¡764 2.) ¡6 ¥ ¡23 4.) 64 ¥ 15 6.) ¡154 8.) ¡17 32 1.9.5 Operaciones combinadas Cuando una expresi¶on involucra varias operaciones, con el ¯n de evitar ambigÄuedad, las operaciones deben realizarse con los siguientes convenios: Convenio 1 En una expresi¶on que no involucra par¶entesis deben realizarse primero todas las multiplicaciones y divisiones, en orden, de izquierda a derecha. A continuaci¶on se realizan todas las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha. Convenio 2 En una expresi¶on que involucra par¶entesis deben realizarse primero las operaciones indicadas dentro del par¶entesis. Ejemplo 66 Determine la fracci¶on can¶onica correspondiente a:64 El Conjunto de los N¶umeros Reales a.) 43 ¢ 79 ¡ 1 36 c.) 15 + 65 ¥ 23 e.) 7 12 ¥ ¡14 3 ¥ ¡54 b.) ·15 + 65¸¥ 23 d.) ¡85 ¢ 34 ¥ 3 10 f.) ¡54 ¥ 2 ¢ 8 15 ¥ 13 Soluci¶on a.) 43 ¢ 79 ¡ 1 36 = 28 27 ¡ 1 36 = 112 ¡ 3 108 = 109 108 Por lo tanto 43 ¢ 79 ¡ 1 36 = 109 108 b.) ·15 + 65¸¥ 23 = 1 + 6 5 ¥ 23 = 75 ¢ 32 = 21 10 Por lo tanto ·15 + 65¸¥ 23 = 21 10 c.) 15 + 65 ¥ 23 = 15 + 65 ¢ 32 = 15 + 35 ¢ 31 = 15 + 95 = 1 + 9 5 = 10 5 = 2 Por lo tanto 15 + 65 ¥ 23 = 2J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 65 d.) ¡85 ¢ 34 ¥ 3 10 = ¡25 ¢ 31 ¥ 3 10 = ¡65 ¥ 3 10 = ¡65 ¢ 10 3 = ¡21 ¢ 21 = ¡4 Por lo tanto ¡85 ¢ 34 ¥ 3 10 = ¡4 e.) 7 12 ¥ ¡14 3 ¥ ¡54 = 7 12 ¢ 3 ¡14 ¥ ¡54 = 7 12 ¢ ¡3 14 ¥ ¡54 = 14 ¢ ¡12 ¥ ¡54 = ¡18 ¥ ¡54 = ¡18 ¢ 4 ¡5 = ¡12 ¢ ¡15 = 1 10 Por lo tanto 7 12 ¥ ¡14 3 ¥ ¡54 = 1 1066 El Conjunto de los N¶umeros Reales f.) ¡54 ¥ 2 ¢ 8 15 ¥ 13 = ¡54 ¢ 12 ¢ 8 15 ¥ 13 = ¡58 ¢ 8 15 ¥ 13 = ¡11 ¢ 13 ¥ 13 = ¡13 ¥ 13 = ¡13 ¢ 31 = ¡33 = ¡1 Por lo tanto ¡54 ¥ 2 ¢ 8 15 ¥ 13 = ¡1 Ejercicios 39 Determine la fracci¶on can¶onica correspondiente a: 1.) 12 ¥ 34 ¥ 32 6.) 56 ¥ ·23 ¢ 65¸ 2.) ·13 + 1 15¸¥ 16 7.) ·7 + 25 8 ¸¥ ·14 + 25 4 ¸ 3.) ·4 ¡ 13¸¥ 11 6 8.) ·60 ¡ 18¸¥ ·30 ¡ 1 16¸ 4.) 56 ¥ 23 ¢ 65 9.) 2 ¢ 35 ¡ 4 ¢ 3 + 2 ¥ (3 ¡ 5) 5.) 2 ¢ 35 + 32 ¢ 4 ¡ 1 Ejemplo 67 Determine la fracci¶on can¶onica correspondiente a: 1 ¡ 83 ¢ ¡34 ¡ ½2 ¡ ·34 ¡ 1 + 25 µ¡10 + 15 4 ¶¡ 1¸¾ Soluci¶onJ. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 67 1 ¡ 83 ¢ ¡34 ¡ ½2 ¡ ·34 ¡ 1 + 25 µ¡10 + 15 4 ¶¡ 1¸¾ = 1 ¡ 83 ¢ ¡34 ¡ ½2 ¡ ·34 ¡ 1 + 25 µ¡40 + 15 4 ¶¡ 1¸¾ = 1 ¡ 83 ¢ ¡34 ¡ ½2 ¡ ·34 ¡ 1 + 25 µ¡25 4 ¶¡ 1¸¾ = 1 ¡ 83 ¢ ¡34 ¡ ½2 ¡ ·34 ¡ 1 + 11 µ¡52 ¶¡ 1¸¾ = 1 ¡ 83 ¢ ¡34 ¡ ½2 ¡ ·34 ¡ 1 ¡ 52 ¡ 1¸¾ = 1 ¡ 83 ¢ ¡34 ¡ ½2 ¡ ·3 ¡ 4 ¡ 10 ¡ 4 4 ¸¾ = 1 ¡ 83 ¢ ¡34 ¡ ½2 ¡ ·¡15 4 ¸¾ = 1 ¡ 83 ¢ ¡34 ¡ ½2 + 15 4 ¾ = 1 ¡ 83 ¢ ¡34 ¡ ½8 + 15 4 ¾ = 1 ¡ 83 ¢ ¡34 ¡ 23 4 = 1 + 21 ¡ 23 4 = 4 + 8 ¡ 23 4 = ¡11 4 Ejemplo 68 Determine la fracci¶on can¶onica correspondiente a: ¡18 5 + 6 ¢ ½¡53 ¡ ·14 3 ¡ µ 7 21 + 14 3 ¶¸+ 1 12¾ Soluci¶on68 El Conjunto de los N¶umeros Reales ¡18 5 + 6 ¢ ½¡53 ¡ ·14 3 ¡ µ 7 21 + 14 3 ¶¸+ 1 12¾ = ¡18 5 + 6 ¢ ½¡53 ¡ ·14 3 ¡ µ13 + 14 3 ¶¸+ 1 12¾ = ¡18 5 + 6 ¢ ½¡53 ¡ ·14 3 ¡ 15 3 ¸+ 1 12¾ = ¡18 5 + 6 ¢ ½¡53 ¡ ·¡13 ¸+ 1 12¾ = ¡18 5 + 6 ¢ ½¡53 + 13 + 1 12¾ = ¡18 5 + 6 ¢ ½¡20 + 4 + 1 12 ¾ = ¡18 5 + 6 ¢ ½¡15 12 ¾ = ¡18 5 + 6 ¢ ½¡54 ¾ = ¡18 5 ¡ 30 4 = ¡72 ¡ 150 20 = ¡222 20 = ¡111 10 Ejemplo 69 Determine la fracci¶on can¶onica correspondiente a: a.) 14 + 13 8 b.) 25 23 ¡ 56 Soluci¶onJ. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 69 a.) 14 + 13 8 = 3 + 4 12 8 = 7 12 8 = 7 (12)(8) = 7 96 b.) 25 23 ¡ 56 = 25 4 ¡ 5 6 = 25 ¡16 = (2)(6) (5)(¡1) = 12 ¡5 = ¡12 5 Ejemplo 70 Determine la fracci¶on can¶onica correspondiente a: a.) 12 ¥ 34 ¥ 32 µ1 ¡ 13¶¥ µ1 ¡ 15¶ b.) ¡32 ¢ 2 ¡ 3 3 ¡ 2 ¥ µ1 + 14¶ Soluci¶on70 El Conjunto de los N¶umeros Reales a.) 12 ¥ 34 ¥ 32 µ1 ¡ 13¶¥ µ1 ¡ 15¶ = µ12 ¢ 43¶¥ 32 µ3 ¡ 1 3 ¶¥ µ5 ¡ 1 5 ¶ = 11 ¢ 23 ¥ 32 23 ¥ 45 = 23 ¥ 32 23 ¢ 54 = 23 ¢ 23 13 ¢ 52 = 4956 = (4)(6) (9)(5) = (4)(2) (3)(5) = 8 15J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 71 b.) ¡32 ¢ 2 ¡ 3 3 ¡ 2 ¥ µ1 + 14¶ = ¡32 ¢ 21 ¡ 3 3 ¡ 2 ¥ µ4 + 1 4 ¶ = ¡31 ¢ 11 ¡ 3 3 ¡ 2 ¥ µ54¶ = ¡3 ¡ 3 3 ¡ 21 ¥ 54 = ¡6 3 ¡ 2 ¢ 4 1 ¢ 5 = ¡6 3 ¡ 85 = ¡6 15 ¡ 8 5 = ¡675 = ¡6175 = ¡30 7 1.9.6 Potencias en el conjunto de los n¶umeros reales Los n¶umeros reales que se representan cantidades muy grandes o bien cantidades muy peque~nas son de uso frecuente en campos como la F¶³sica, la Qu¶³mica y la Astronom¶³a, por ejemplo: 1. La distancia de nuestra galaxia a la constelaci¶on Osa Mayor es de 24:230:000:000:000:000:000 km. 2. El di¶ametro del n¶ucleo de un ¶atomo de un n¶ucleo de carb¶on es: 0; 000000000006096 cm. Dado lo inc¶omodo que resulta trabajar con estos n¶umeros, cuando son representados en la forma anterior, es que la matem¶atica proporcion¶o a dichas ciencias una notaci¶on que permitiera simpli¯car y agilizar los c¶alculos con n¶umeros como los mencionados. De¯nici¶on 2772 El Conjunto de los N¶umeros Reales Sea a 2 R; n 2 N; n > 1: Se de¯ne la en¶esima potencia de a y se denota an, como el n¶umero que viene dado por: a ¢ a ¢ a ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ a | {z } n veces a O sea an = a ¢ a ¢ a ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ a | {z } n veces a y se dice que la expresi¶on an es una representaci¶on exponencial o notaci¶on exponencial de la en¶esima potencia de a. Sea a 2 R: Se de¯ne: i:) a1 = a ii:) a0 = 1 con a 6= 0 y se dice que: 8<: a1 es una notaci¶on exponencial de a a0 es una notaci¶on exponencial de 1 Ejemplo 71 a.) 23 = 2 ¢ 2 ¢ 2 = 8 , o sea; 23 = 8 y en este caso decimos que 23 es una notaci¶on exponencial de 8. b.) (¡5)4 = (¡5)(¡5)(¡5)(¡5) = 625 ; o sea; (¡5)4 = 625 y este caso decimos que (¡5)4 es una notaci¶on exponencial de 625. c.) (14)1 = 14 (Por de¯nici¶on) y en este caso decimos que (14)1 es una notaci¶on exponencial de 14. d.) (¡8)0 = 1 (Por de¯nici¶on) y en este caso decimos que (¡8)0 es una notaci¶on exponencial de 1. Ejercicios 40 Represente en notaci¶on exponencial, el n¶umero correspondiente a cada una de las siguientes expresiones: 1.) 5 ¢ 5 ¢ 5 ¢ 5 ¢ 5 3.) (¡2)(¡2)(¡2) 5.) 25 2.) ¡27 4.) 17 6.) 144J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 73 De¯nici¶on 28 Sea a 2 R ; n 2 N tales que an 2 R. En la expresi¶on an : 8<: \n" recibe el nombre de exponente. \a" recibe el nombre de base. Ejemplo 72 a.) En la expresi¶on µ75¶2 ; 2 es el exponente y 75 es la base. b.) En la expresi¶on µ¡11 3 ¶6 ; 6 es el exponente y ¡11 3 es la base. Ejercicios 41 Represente cada uno de los siguientes n¶umeros en notaci¶on exponencial, de tal forma que la base sea un n¶umero primo. 1.) 49 3.) 343 5.) 29 2.) 128 4.) 1 6.) 625 1.9.7 Propiedades de las potencias Considere los dos ejemplos siguientes: a.) 23 ¢ 24 = (2 ¢ 2 ¢ 2) ¢ (2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 2) = 2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 2 = 27 b.) µ¡15 ¶3 ¢ µ¡15 ¶= ·µ¡15 ¶¢ µ¡15 ¶¢ µ¡15 ¶¸¢ µ¡15 ¶= ¡15 ¢ ¡15 ¢ ¡15 ¢ ¡15 ¢ = µ¡15 ¶4 Estos ejemplos son casos particulares de la siguiente propiedad. Propiedad 1 Sean a 2 R; n 2 N; m 2 N; si am 2 R; an 2 R entonces am ¢ an = am+n Ejercicios 4274 El Conjunto de los N¶umeros Reales Usando la propiedad anterior determine el valor de k en cada uno de los siguientes casos para que la igualdad sea verdadera. 1.) 23 ¢ 27 = 2k 3.) 5k ¢ 53 = 57 2.) (¡3)2 ¢ (¡3) = (¡3)k 4.) 7 ¢ 7k = 71 Considere los dos ejemplos siguientes: a.) (92)3 = 92 ¢ 92 ¢ 92 = (9 ¢ 9) ¢ (9 ¢ 9) ¢ (9 ¢ 9) = 96 b.) "µ¡23 ¶3#2 = µ¡23 ¶3 ¢ µ¡23 ¶3 = ·µ¡23 ¶¢ µ¡23 ¶¢ µ¡23 ¶¸¢ ·µ¡23 ¶¢ µ¡23 ¶¢ µ¡23 ¶¸ = µ¡23 ¶6 Los ejemplos anteriores ilustran la siguiente propiedad: Propiedad 2 Sean a 2 R; m 2 N; n 2 N y si am 2 R entonces: (am)n = am¢n Ejercicios 43 Usando la propiedad anterior determine el valor de k en cada uno de las siguientes casos para que la igualdad sea verdadera. 1.) ¡52¢3 = 5k 3.) ¡132¢k = 1312 2.) ¡7k¢4 = 720 4.) "µ25¶4#3 = µ25¶k De¯nici¶on 29 Sea a 2 R; a 6= 0; m 2 N Se de¯ne a¡m de la manera siguiente: a¡m = 1 amJ. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 75 Ejemplo 73 a.) 3¡2 = 1 32 c.) µ12¶¡3 = 1 µ12¶3 b.) (¡5)¡11 = 1 (¡5)11 d.) (¡6)¡1 = 1 (¡6)1 Ejercicios 44 Usando la propiedad anterior determine el valor (o valores) de k en cada uno de los siguientes casos para que la igualdad sea verdadera. 1.) (¡7)¡3 = 1 k3 3.) k¡3 = 1 63 2.) µ75¶¡2 = 1 µ75¶k 4.) k¡4 = 1 (¡5)4 Considere los dos ejemplos siguientes: a.) 65 63 = 6 ¢ 6 ¢ 6 ¢ 6 ¢ 6 6 ¢ 6 ¢ 6 = 6 ¢ 6 = 62 b.) 84 87 = 8 ¢ 8 ¢ 8 ¢ 8 8 ¢ 8 ¢ 8 ¢ 8 ¢ 8 ¢ 8 ¢ 8 = 1 8 ¢ 8 ¢ 8 = 1 83 = 8¡3 Los ejemplos anteriores ilustran la siguiente propiedad: Propiedad 3 Si a 2 R; a 6= 0; m 2 N; n 2 N entonces76 El Conjunto de los N¶umeros Reales am an = am¡n Ejercicios 45 Usando la propiedad anterior determine el valor de k en cada uno de las siguientes casos, para que la igualdad sea verdadera. 1.) 57 54 = 5k 4.) 73 75 = 7k 2.) (¡3)4 (¡3)6 = (¡3)k 5.) (11)6 (11)k = (11)¡2 3.) (4)7 (k)5 = 42 6.) 6k 65 = 6 Considere los dos ejemplos siguientes: a.) (3 ¢ 5)4 = (3 ¢ 5) ¢ (3 ¢ 5) ¢ (3 ¢ 5) ¢ (3 ¢ 5) = (3 ¢ 3 ¢ 3 ¢ 3) ¢ (5 ¢ 5 ¢ 5 ¢ 5) = 34 ¢ 54 b.) (¡2 ¢ 6)3 = (¡2 ¢ 6) ¢ (¡2 ¢ 6) ¢ (¡2 ¢ 6) = [(¡2) ¢ (¡2) ¢ (¡2)] ¢ (6 ¢ 6 ¢ 6) = (¡2)3 ¢ 63 Los ejemplos anteriores ilustran la siguiente propiedad: Propiedad 4 Si a 2 R; b 2 R; n 2 N; si an 2 R; bn 2 R entonces (a ¢ b)n = an ¢ bn Ejercicios 46 Usando la propiedad anterior determine el valor de k en cada uno de las siguientes casos para que la igualdad sea verdadera. 1.) (4 ¢ 7)3 = 4k ¢ 73 3.) (8 ¢ k)4 = 84 ¢ 74 2.) (6 ¢ 9)k = 65 ¢ 95 4.) µ27 ¢ 35¶7 = k7 ¢ 357 Considere los dos ejemplos siguientes:J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 77 a.) µ54¶3 = 54 ¢ 54 ¢ 54 = 5 ¢ 5 ¢ 5 (4 ¢ 4 ¢ 4) = 53 43 b.) µ¡97 ¶4 = µ¡97 ¶¢ µ¡97 ¶¢ µ¡97 ¶¢ µ¡97 ¶ = (¡9) ¢ (¡9) ¢ (¡9) ¢ (¡9) 7 ¢ 7 ¢ 7 ¢ 7 = (¡9)4 74 Los ejemplos anteriores ilustran la siguiente propiedad: Propiedad 5 Si a 2 R; b 2 R; a 6= 0; b 6= 0 y n 2 N; entonces hab in = an bn Ejercicios 47 Usando la propiedad anterior determine el valor de k en cada uno de las siguientes casos para que la igualdad sea verdadera. 1.) µ23¶5 = 25 3k 3.) µ2k¶3 = 8 125 2.) µ¡34 ¶k = ¡27 64 4.) µ52¶6 = 52+k 64 Notaci¶on Si a 2 R; n 2 N y an 2 R; entonces ¡an = ¡(an) Por ejemplo a.) ¡53 = ¡(53) = ¡(5 ¢ 5 ¢ 5) = ¡12578 El Conjunto de los N¶umeros Reales b.) ¡26 = ¡(26) = ¡(2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 2) = ¡64 Ejercicios 48 En cada uno de los siguientes casos, escriba en notaci¶on decimal el n¶umero que corresponde a m, para que la igualdad sea verdadera. 1.) m = ¡72 5.) m = ¡(7)2 2.) m = ¡34 6.) m = ¡(3)4 3.) m = ¡25 7.) m = ¡(2)5 4.) m = ¡43 8.) m = ¡(4)3 Observacion importante: Considere los siguientes ejemplos: a.) ¡32 = ¡(32) = ¡(9) b.) (¡3)2 = (¡3)(¡3) = 9 9=;Caso I c.) ¡25 = ¡(25) = ¡(2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 2) = ¡32 d.) (¡2)5 = (¡2)(¡2)(¡2)(¡2)(¡2) = ¡32 9=;Caso II En los ejemplos presentados anteriormente caso I y caso II podemos observar que en general, NO siempre se cumple que ¡an = (¡a)n. Ejercicios 49 Sea a 2 R; a 6= 0; n 2 N; an 2 R 1. >Qu¶e condiciones debe cumplir n para que ¡an sea igual a (¡an)? 2. >Qu¶e condiciones debe cumplir n para que ¡an sea diferente a (¡an)? Observe cada una de las siguientes igualdades: a.) (¡7)2 = 49 d.) (¡2)6 = 64 b.) 24 = 16 e.) µ¡15 ¶2 = 1 25 c.) (¡3)4 = 81 f.) (¡1)10 = 1 Los ejemplos anteriores son casos particulares del siguiente resultado:J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 79 Si a 2 R; n 2 N; n par y an 2 R entonces an ¸ 0 As¶³, si a 2 R entonces a2 ¸ 0; a4 ¸ 0; a6 ¸ 0; ::: Ejemplo 74 Determine la fracci¶on can¶onica correspondiente a cada una de las siguientes expresiones: a.) 22 ¢ 35 ¢ 24 32 ¢ 27 d.) ¡256 ¢ 1410 ¢ (¡4)0 (¡7)10 ¢ 1010 b.) 3 + 2¡1 5 ¢ 2¡1 e.) ·22 ¢ 35 ¢ 42 24 ¢ 32 ¸2 c.) ¡3¡2 µ1 + 43¶2 f.) 23 + 25 ¡ µ18¶¡1 24 ¢ 3 Soluci¶on a.) 22 ¢ 35 ¢ 24 32 ¢ 27 = 22 ¢ 24 ¢ 35 27 ¢ 32 = 26 ¢ 35 27 ¢ 32 = 26 27 ¢ 35 32 = 26¡7 ¢ 35¡2 = 2¡1 ¢ 33 = 12 ¢ 33 = 12 ¢ 27 = 27 2 Por lo que: 22 ¢ 35 ¢ 24 32 ¢ 27 = 27 280 El Conjunto de los N¶umeros Reales b.) 3 + 2¡1 5 ¢ 2¡1 = 3 + 12 5 ¢ 12 = 6 + 1 252 = 7252 = (7) ¢ (2) (2) ¢ (5) = 75 Por lo que: 3 + 2¡1 5 ¢ 2¡1 = 75 c.) ¡3¡2 ·1 + 43¸2 = ¡3¡2 ·3 + 4 3 ¸2 = ¡1 (3)2 ·73¸2 = ¡19 72 32 = ¡19 49 9 = (¡1)(9) (9)(49) = ¡1 49 Por lo que:J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 81 ¡3¡2 ·1 + 43¸2 = ¡1 49 d.) ¡256 ¢ 1410 ¢ (¡4)0 (¡7)10 ¢ 1010 = ¡(25)6 ¢ (2 ¢ 7)10 ¢ 1 710 ¢ (2 ¢ 5)10 = ¡(52)6 ¢ 210 ¢ 710 710 ¢ 210 ¢ 510 = ¡(512) ¢ 210 ¢ 710 510 ¢ 210 ¢ 710 = ¡(512) 510 ¢ 210 210 ¢ 710 710 = ¡(512¡10) ¢ 210¡10 ¢ 710¡10 = ¡(52) ¢ 20 ¢ 70 = ¡(25) ¢ 1 ¢ 1 = ¡25 Por lo que: ¡256 ¢ 1410 ¢ (¡4)0 (¡7)10 ¢ 1010 = ¡25 e.) ·22 ¢ 35 ¢ 42 24 ¢ 32 ¸2 = ·22 ¢ 35 ¢ (22)2 24 ¢ 32 ¸2 = ·22 ¢ 24 ¢ 35 24 ¢ 32 ¸2 = ·26 ¢ 35 24 ¢ 32 ¸2 = ·26 24 ¢ 35 32 ¸2 = £26¡4 ¢ 35¡2¤2 = £22 ¢ 33¤2 = (22)2 ¢ (33)2 = 24 ¢ 36 = 1166482 El Conjunto de los N¶umeros Reales Por lo que: ·22 ¢ 35 ¢ 42 24 ¢ 32 ¸2 = 11664 f.) 23 + 25 ¡ µ18¶¡1 24 ¢ 3 = 23 + 25 ¡ 118 24 ¢ 3 = 23 + 25 ¡ 8 24 ¢ 3 = 8 ¡ 8 + 25 24 ¢ 3 = 25 24 ¢ 3 = 25 24 ¢ 13 = 25¡4 ¢ 13 = 2 ¢ 13 = 23 Por lo que: 23 + 25 ¡ µ18¶¡1 24 ¢ 3 = 23 Ejercicios 50 Determine la fracci¶on can¶onica correspondiente a cada una de las siguientes expresiones:J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 83 1.) (34)3 ¢ (32)4 (¡3)15 ¢ 34 6.) 256 ¢ 1410 ¡710 ¢ 1010 2.) (¡3)7 ¢ 39 (¡3)15 ¢ 34 7.) 3511 ¢ 494 ¢ (¡12)¡31 1012 ¢ 630 ¢ (¡14)20 3.) 1 ¡ 3¡1 ¡ 2 ¢ 3¡2 3¡1 + 3¡2 8.) ¡3 ¢ 4¡1 + 1 + 2 ¢ 4¡2 4¡1 ¡ 2 ¢ 4¡2 4.) 1 + 4¡1 ¡ 2 ¢ 4¡2 6 ¢ 4¡2 + 1 + 5 ¢ 4¡1 9.) 2 + 7 ¢ 5¡1 + 3 ¢ 5¡2 2 + 3 ¢ 5¡1 ¡ 2 ¢ 5¡2 5.) (2 ¡ 3 ¢ 7)¡1 5 + 3¡1 10.) 12 + ·34¸2 ¡52 4 Teorema 5 Si a 2 R; b 2 R; c 2 R; d 2 R; a 6= 0; b 6= 0; d 6= 0; n 2 N; m 2 N; entonces se cumple la siguiente igualdad: a¡n ¢ c b¡m ¢ d = bm ¢ c an ¢ d Ejemplo 75 Determine la fracci¶on can¶onica correspondiente a cada una de las siguientes expresiones: a.) 6¡5 ¢ 23 3¡4 b.) 2¡3 ¢ 14¡2 ¢ 72 2¡5 c.) 2¡4 ¢ 3¡1 10¡3 ¢ 3¡2 ¢ 54 Soluci¶on84 El Conjunto de los N¶umeros Reales a.) 6¡5 ¢ 23 3¡4 = 34 ¢ 23 65 = 34 ¢ 23 (2 ¢ 3)5 = 34 ¢ 23 25 ¢ 35 = 1 25¡3 ¢ 35¡4 = 1 22 ¢ 31 = 1 4 ¢ 3 = 1 12 Por lo que: 6¡5 ¢ 23 3¡4 = 1 12 b.) 2¡3 ¢ 14¡2 ¢ 72 2¡5 = 25 ¢ 72 23 ¢ 142 = 25 ¢ 72 23 ¢ (2 ¢ 7)2 = 25 ¢ 72 23 ¢ 22 ¢ 72 = 25 23 ¢ 22 = 25 25 = 1 Por lo que: 2¡3 ¢ 14¡2 ¢ 72 2¡5 = 1J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 85 c.) 2¡4 ¢ 3¡1 10¡3 ¢ 3¡2 ¢ 54 = 103 ¢ 32 24 ¢ 31 ¢ 54 = (5 ¢ 2)3 ¢ 32 24 ¢ 3 ¢ 54 = 53 ¢ 23 ¢ 32 24 ¢ 3 ¢ 54 = 32¡1 24¡3 ¢ 54¡3 = 31 21 ¢ 51 = 3 2 ¢ 5 = 3 10 Por lo que: 2¡4 ¢ 3¡1 10¡3 ¢ 3¡2 ¢ 54 = 3 10 Ejercicios 51 Determine la fracci¶on can¶onica correspondiente a cada una de las siguientes expresiones: 1.) 4¡3 ¢ 62 2¡8 ¢ 32 4.) ¡6¡3 ¢ 43 25 ¢ 3¡2 7.) 102 ¢ (¡5)¡2 ¢ (¡2)¡5 5 ¢ (¡3)0 2.) 3 ¡ 4¡2 3¡1 5.) (¡7)2 ¢ 3¡5 (14)2 ¢ 3¡4 8.) 52 + 2 ¢ 3¡2 2¡1 3.) 10¡2 ¢ 6¡30 ¢ 3511 ¢ 494 (¡14)20 ¢ (¡12)¡31 6.) 2127 ¢ (¡35)14 ¢ 89 (¡45)¡13 ¢ 1413 ¢ 1210 ¢ 2714 1.9.8 Ra¶³z en¶esima de un n¶umero real De¯nici¶on 30 Sea a 2 R; a ¸ 0; n 2 N; n > 1: Se de¯ne a la ra¶³z en¶esima de a y se denota a1=n; como el n¶umero real positivo b que cumple la igualdad: bn = a: Simb¶olicamente tenemos: a1=n = b () bn = a Ejemplo 7686 El Conjunto de los N¶umeros Reales a.) 813 = 2 pues 23 = 8; en este caso decimos que 2 es la ra¶³z c¶ubica de 8 b.) 62514 = 5 pues 54 = 625; en este caso decimos que 5 es la ra¶³z cuarta de 625 c.) 4912 = 7 pues 72 = 49; en este caso decimos que 7 es la ra¶³z cuadrada de 49 Notaci¶on. Sea a 2 R; a ¸ 0; n 2 N; n > 1 La ra¶³z en¶esima de a tambi¶en se denota npa es decir: a1=n = npa Por ejemplo a.) La ra¶³z c¶ubica de 8 se puede denotar como 813 ¶o 3 p8, es decir: 813 = 3 p8 b.) La ra¶³z cuarta de 625 se puede denotar como 62514 ¶o 4 p625, es decir: 62514 = 4 p625 As¶³ usando el hecho de que a1=n = npa La realci¶on (1) se expresa as¶³: npa = b () bn = a Por ejemplo a.) 2 p121 = 11 pues 112 = 121 b.) 5 p32 = 2 pues 25 = 32 c.) 3 p343 = 7 pues 73 = 343 De¯nici¶on 31 Sea a 2 R; a ¸ 0; n 2 N; n > 1 En la expresi¶on npa : 8>>><>>>: \n" recibe el nombre de ¶³ndice. \a" recibe el nombre de subradical. \p" es el s¶³mbolo de radical. Ejemplo 77J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 87 a.) En 7 p29; 7 es el ¶³ndice del radical y 29 es el subradical. b.) En 5 p64; 5 es el ¶³ndice del radical y 64 es el subradical. c.) En 4 p81; 4 es el ¶³ndice del radical y 81 es el subradical. Propiedad 6 Sea a 2 R; a ¸ 0; n 2 N; n > 1 Entonces se cumple que: npan = a ¡npa¢n = a Demostraci¶on: 1.) Demostraremos que npan = a Sea x = an, entonces, por de¯nici¶on npx = a As¶³: npan = npx = a O sea; npan = a 2.) Demostraremos que ¡npa¢n = a Sea x = npa, entonces, por de¯nici¶on xn = a As¶³: ¡npa¢n = xn = a O sea; ¡npa¢n = a Observaci¶on De los resultados anteriores se obtiene que: Si a 2 R; a ¸ 0; n 2 IN; n > 1 entonces: npan = ¡npa¢n88 El Conjunto de los N¶umeros Reales Ejemplo 78 Escriba en notaci¶on decimal la ra¶³z cuarta de 81 Soluci¶on Factoricemos 81 81 3 27 3 9 3 3 3 1 De aqu¶³ se tiene que 81 = 34, por lo que: 4 p81 = 4 p34 = 3, es decir: la ra¶³z cuarta de 81 es 3. Ejemplo 79 Escriba en notaci¶on decimal la ra¶³z sexta de 64 Soluci¶on Factoricemos 64 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 De aqu¶³ se tiene que 64 = 26, por lo que: 6 p64 = 6 p26 = 2, es decir: la ra¶³z sexta de 64 es 2. Ejemplo 80 Escriba en notaci¶on decimal la ra¶³z tercera de 125 Soluci¶on Factoricemos 125 125 5 25 5 5 5 1 De aqu¶³ se tiene que 125 = 53, por lo que: 3 p125 = 3 p53 = 5, es decir: la ra¶³z tercera de 125 es 5. Notaci¶on: Sea a 2 R; a ¸ 0; entonces 2 pa se acostumbra escribir como pa, es decir, cuando el ¶³ndice de un radical es 2, este se omite. Teorema 6 Sea a 2 R; a ¸ 0; n 2 N; n > 1 entonces la ra¶³z en¶esima de a es ¶unica.J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 89 Ejercicios 52 Escriba en notaci¶on decimal el n¶umero correspondiente a cada una de las siguientes expresiones: 1.) p(¡5)2 2.) p52 3.) p25 Hasta ahora hemos trabajado con radicales en donde el subradical es un n¶umero real positivo, la siguiente de¯nici¶on extiende el concepto de ra¶³z en¶enesima, al caso en el que el subradical es un n¶umero real negativo, para esto, es necesario imponer algunas condiciones al indice del radical. De¯nici¶on 32 Sea a 2 R; a < 0; n 2 N; n > 1; n impar. Se de¯ne la ra¶³z en¶esima de a y se denota a1=n, como el n¶umero real negativo b que cumple la igualdad bn = a. Simb¶olicamente tenemos: a1=n = b () bn = a npa = b () bn = a Ejemplo 81 a.) 3 p¡27 = ¡3 pues (¡3)3 = ¡27 b.) 5 p¡32 = ¡2 pues (¡2)5 = ¡32 c.) 7 p¡1 = ¡1 pues (¡1)7 = ¡1 Observaci¶on importante: Si n es un n¶umero natural par entonces: La ra¶³z en¶esima de un n¶umero real neg- ativo NO est¶a de¯nida en el conjunto de los n¶umeros reales. Simb¶olicamente tenemos: Sea n 2 N; a 2 R; n > 1; n par, si a < 0 entonces: npa =2 R Por ejemplo, p¡16 =2 R En efecto, supongamos que existe un n¶umero real b tal que: p¡16 = b, entonces debe cumplirse que ¡16 = b2. De aqu¶³ se observa que esta igualdad nunca es cierta pues: b2 es positivo y ¡16 es negativo. Por lo tanto: p¡16 =2 R90 El Conjunto de los N¶umeros Reales En forma similar se puede demostrar que: 4 p¡8; 6 p¡11; 10 p¡135; 8 p¡1000; :::; no est¶an de¯nidas en el conjunto de los n¶umeros reales. Propiedad 7 Si a 2 R; a ¸ 0; n 2 N; n > 1; n impar, entonces se cumple que: np¡a; = ¡ npa Ejemplo 82 Escriba en notaci¶on decimal el n¶umero correspondiente a 3 p¡343 Soluci¶on Por la propiedad anterior tenemos que: 3 p¡343 = ¡ 3 p343 y factorizando 343 tenemos: 343 7 49 7 7 7 1 De aqu¶³ se tiene que 343 = 73, y por lo tanto: 3 p¡343 = ¡ 3 p343 = ¡ 3 p73 = ¡7, o sea; 3 p¡343 = ¡7. Ejemplo 83 Escriba en notaci¶on decimal el n¶umero correspondiente a 5 p¡243 Soluci¶on Por la propiedad anterior tenemos que: 5 p¡243 = ¡ 5 p243 y factorizando 243 tenemos: 243 3 81 3 27 3 9 3 3 3 1 De aqu¶³ se tiene que 243 = 35, y por lo tanto: 5 p¡243 = ¡ 5 p243 = ¡ 5 p35 = ¡3, o sea; 5 p¡243 = ¡3. Sea a 2 R; n 2 N; n > 1; n par, se de¯ne la ra¶³z en¶esima de an como el valor absoluto de a. Simb¶olicamente tenemos: npan = jaj; si n es par. Por ejemploJ. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 91 a.) 4p(¡3)4 = j ¡ 3j = 3 es decir; 4p(¡3)4 = 3 b.) 6 p36 = j3j = 3 es decir; 6 p36 = 3 c.) p(¡1)2 = j ¡ 1j = 1 es decir; p(¡1)2 = 1 Ejercicios 53 Escriba en notaci¶on decimal el n¶umero correspondiente a cada una de las siguientes expresiones: 1.) 3 p¡125 4.) 7 p¡128 7.) p(¡9)2 2.) 4 p625 5.) 7 p128 8.) 3 p¡27 3.) p(¡3)2 6.) 5p(¡7)5 9.) 6p(¡7)6 Propiedad 8 Sean a 2 R; b 2 R; b 6= 0; n 2 N; n > 1 , tales que npa y npb representan n¶umeros reales entonces se cumple que: nrab = npa npb !Cuidado< No siempre se cumple que: nrab = npa npb Por ejemplo, observe que: r¡4 ¡1 6= p¡4 p¡1 pues r¡4 ¡1 si est¶a de¯nida en R r¡4 ¡1 = p4 = 2 es decir r¡4 ¡1 = 2 pero p¡4 y p¡1 NO representan n¶umeros reales. Ejemplo 84 El n¶umero 3r¡32 243 puede ser representado por una fracci¶on can¶onica, determine dicha fracci¶on (use la propiedad anterior) Soluci¶on92 El Conjunto de los N¶umeros Reales 5r¡32 243 = 5 p¡32 5 p243 = ¡ 5 p32 5 p243 = ¡ 5 p25 5 p35 = ¡23 Por lo tanto: 5r¡32 243 = ¡23 Ejercicios 54 Cada una de las expresiones siguientes representa a un n¶umero real, el cual puede ser representado por una fracci¶on can¶onica, en cada caso determine la fracci¶on can¶onica correspondiente (use la propiedad anterior) 1.) 3r 8 125 3.) 3r¡125 343 2.) r25 81 4.) 5r 243 3125 Propiedad 9 Sea a 2 R; b 2 R; n 2 N; n > 1; tales que npa y npb representan n¶umeros reales entonces se cumple que: npa ¢ b = npa ¢ npb !Cuidado< No siempre se cumple que: npa ¢ b = npa ¢ npb Ejercicios 55 Escriba dos ejemplos para los cuales no se cumple la propiedad anterior, en cada caso justi¯que su respuesta. Ejemplo 85 Haciendo uso de la propiedad anterior escriba en notaci¶on decimal el n¶umero correspondiente a p225. Soluci¶on Factorizando 225 tenemos:J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 93 225 3 75 3 25 5 5 5 1 De aqu¶³ se tiene que 225 = 32 ¢ 52, y por lo tanto: p225 = p32 ¢ 52 = p32 ¢ p52 = 3 ¢ 5 = 15, es decir; p225 = 15. Ejemplo 86 Haciendo uso de la propiedad anterior escriba en notaci¶on decimal el n¶umero correspondiente a 3 p¡216. Soluci¶on 3 p¡216 = ¡ 3 p216; Factorizando 216 tenemos: 216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1 De aqu¶³ se tiene que 216 = 23 ¢ 33, y por lo tanto: 3 p¡216 = ¡ 3 p216 = ¡ 3 p23 ¢ 33 = ¡ 3 p23 ¢ 3 p33 = ¡2 ¢ 3 = ¡6, es decir; 3 p¡216 = ¡ 3 p216 = ¡6. Ejercicios 56 Haciendo uso de la propiedad anterior escriba la notaci¶on decimal del n¶umero correspondiente a cada una de la siguientes expresiones: 1.) p441 3.) 3 p¡2744 2.) p1225 4.)p1764 A continuaci¶on nuestro objetivo es de¯nir lo que vamos a entender por potencias en el que el exponente es un n¶umero racional. De¯nici¶on 33 Sean a 2 R; m 2 N; n 2 N; m > 1; n > 1; tales que mpa representa un n¶umero real, entonces se cumple que: mpan = an=m y ¡mpa¢n = an=m Ejemplo 87 a.) 3 p52 = 523 c.) ³6 p3´7 = 376 b.) p43 = 432 d.) ³5 p2´3 = 23594 El Conjunto de los N¶umeros Reales 1.9.9 Propiedades Las propiedades enunciadas anteriormente para potencias en los cuales el exponente es un n¶umero entero, tambi¶en son v¶alidas para potencias en las cuales el exponente es un n¶umero racional; a saber: 1.) amn ¢ apq = amn +pq 4.) ¡amn ¢pq = amn ¢ pq 2.) amn apq = amn ¡pq ; a 6= 0 5.) (a ¢ b)mn = amn ¢ bmn 3.) a¡m n = 1 amn ; a 6= 0 6.) ³ab ´mn = amn bmn ; b 6= 0 Ejemplo 88 Usando las propiedades de los radicales y las potencias con exponente racional, veri¯que cada una de las siguientes igualdades. a.) p1296 = 36 b.) 5r210 315 = 4 27 Soluci¶on a.)p1296 1296 2 648 2 324 2 162 2 81 3 27 3 9 3 3 3 1 De aqu¶³ se tiene que 1296 = 24 ¢ 34, por lo que: p1296 = p24 ¢ 34 = p24 ¢ p34 = 242¢ 342 = 22 ¢ 32 = 4 ¢ 9 = 36, es decir; p1296 = 36. b.) 5r210 315 = 5 p210 5 p315 = 210 5 315 5 = 22 33 = 4 27 es decir; 5r210 315 = 4 27J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 95 Ejercicios 57 Usando las propiedades de los radicales y las potencias con exponentes racionales, veri¯que cada una de las siguientes igualdades. 1.) 3 p26 ¢ 39 = 108 3.) 5r710 ¢ 115 315 = 539 27 2.) 3 p29 ¢ 33 ¢ 53 = 120 4.) 9r318 ¢ 59 49 ¢ 227 = 45 32 Propiedad 10 Sean a 2 R; c 2 R; d 2 R; n 2 N; n > 1; tales que npa representa un n¶umero real, entonces: c ¢ npa + d ¢ npa = (c + d) npa Esta propiedad es una consecuencia de la propiedad distributiva de la multiplicaci¶on con respecto a la adici¶on en el conjunto de los n¶umeros reales. Ejemplo 89 Usando la propiedad anterior realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones: a.) ¡p7 + 6p7 b.) 2 3 p6 ¡ 4 4 p6 + 5 3 p¡6 + 4 p6 Soluci¶on a.) ¡p7 + 6p7 = (¡1)p7 + 6p7 = (¡1 + 6)p7 = 5p7 o sea; ¡p7 + 6p7 = 5p7 b.) 2 3 p6 ¡ 4 4 p6 + 5 3 p¡6 + 4 p6 = (2 3 p6 + 5 3 p¡6) + (¡4 4 p6 + 4 p6) = (2 3 p6 ¡ 5 3 p6) + (¡4 4 p6 + 4 p6) = (2 ¡ 5) 3 p6 + (¡4 + 1) 4 p696 El Conjunto de los N¶umeros Reales = ¡3 3 p6 + (¡3) 4 p6 = ¡3 3 p6 ¡ 3 4 p6 o sea 2 3 p6 ¡ 4 4 p6 + 5 3 p¡6 + 4 p6 = ¡3 3 p6 ¡ 3 4 p6 Teorema 7 Sean a 2 R; n 2 N; n > 1 tales que npa representa un n¶umero real, si existe b; b > 0 , tal que a = bn ¢ c entonces: npa = b ¢ npc . Es decir como: a = bn ¢ c tenemos que: npbn ¢ c = b ¢ npc y en tal caso decimos que el factor b fue extra¶³do del radical. Demostraci¶on como a = bn ¢ c entonces npa = npbn ¢ c , por teorema = npbn ¢ npc , por teorema = b ¢ npc Ejemplo 90 a.) p52 3 = p52 ¢ p3 = 5p3 b.) 3 p32 = 3 p25 = 3 p23 ¢ 22 = 3 p23 ¢ 3 p22 = 2 3 p4 c.) 5 p¡64 = ¡ 5 p64 = ¡ 5 p26 = ¡ 5 p25 ¢ 2 = ¡( 5 p25 ¢ 5 p2) = ¡2 5 p2 d.) p360 = p2 ¢ 2 ¢ 3 ¢ 3 ¢ 5 ¢ 2 = p22 ¢ 32 ¢ 5 ¢ 2 = p22 ¢ p32 ¢ p5 ¢ 2 = 2 ¢ 3p10 = 6p10 De¯nici¶on 34J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 97 Se dice que el radical npa est¶a expresado de su forma m¶as simple si no es posible extraer del radical alg¶un factor primo de a. Ejemplo 91 Exprese en su forma m¶as simple cada uno de los siguientes radicales: a.) p72 b.) 3 p135 c.) 5 p¡96 Soluci¶on a.) p72 como 72 = 23 ¢ 32 entonces: p72 = p23 ¢ 32 = p22 ¢ 32 ¢ 2 = 2p32 ¢ 2 = 2 ¢ 3p2 = 6p2 Por lo tanto p72 = 6p2 Soluci¶on b.) 3 p135 como 135 = 33 ¢ 5 entonces: 3 p135 = 3 p33 ¢ 5 = 3 ¢ 3 p5 Por lo tanto 3 p135 = 3 ¢ 3 p5 Soluci¶on c.) 5 p¡96 como 96 = 25 ¢ 398 El Conjunto de los N¶umeros Reales entonces: 5 p¡96 = ¡ 5 p96 = ¡ 5 p25 ¢ 3 = ¡2 5 p3 Por lo tanto: 5 p¡96 = ¡2 5 p3 Ejercicios 58 Exprese los radicales involucrados en cada una de las siguientes expresiones en su forma m¶as simple y realice las operaciones indicadas: a.) p45 + p80 c.) p18 ¡ p50 b.) 3 p54 ¡ 3 p16 + 3 p128 d.) 14 ¢ 3 p25 ¢ 34 + 2 3 p28 ¢ 3 ¡ 3 p26 ¢ 34 Soluci¶on a.) p45 + p80 Factorizando 45 y 80 tenemos que: 45 = 32 ¢ 5 y 80 = 24 ¢ 5 As¶³: p45 + p80 = p32 ¢ 5 + p24 ¢ 5 = p32 ¢ p5 + p24 ¢ p5 = 3 ¢ p5 + 242 ¢ p5 = 3 ¢ p5 + 22 ¢ p5 = 3p5 + 4p5 = (3 + 4) p5 = 7 p5J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 99 es decir: p45 + p80 = 7p5 b.) 3 p54 ¡ 3 p16 + 3 p128 Factotizando 54, 16 y 128 tenemos que: 54 = 33 ¢ 2 ; 16 = 24 y 128 = 27 As¶³ 3 p54 ¡ 3 p16 + 3 p128 = 3 p33 ¢ 2 ¡ 3 p23 ¢ 2 + 3 p26 ¢ 2 = 3 p33 ¢ 3 p2 ¡ 3 p23 ¢ 3 p2 + 3 p26 ¢ 3 p2 = 3 ¢ 3 p2 ¡ 2 ¢ 3 p2 + 263 ¢ 3 p2 = 3 ¢ 3 p2 ¡ 2 ¢ 3 p2 + 22 ¢ 3 p2 = 3 ¢ 3 p2 ¡ 2 ¢ 3 p2 + 4 ¢ 3 p2 = (3 ¡ 2 + 4) 3 p2 = 5 ¢ 3 p2 es decir: 3 p54 ¡ 3 p16 + 3 p128 = 5 ¢ 3 p2 c.) p18 ¡ p50 Factorizando 18 y 20 tenemos que: 18 = 32 ¢ 2 y 50 = 52 ¢ 2 As¶³: p18 ¡ p50 = p32 ¢ 2 ¡ p52 ¢ 2 = p32 ¢ p2 ¡ p52 ¢ p2 = 3 ¢ p2 ¡ 5 ¢ p2 = ¡2p2 es decir: p18 ¡ p50 = ¡2p2100 El Conjunto de los N¶umeros Reales d:) 14 ¢ 3 p25 ¢ 34 + 2 3 p28 ¢ 3 ¡ 3 p26 ¢ 34 = 14 ¢ 3 p23 ¢ 22 ¢ 33 ¢ 3 + 3 p26 ¢ 22 ¢ 3 ¡ 3 p26 ¢ 33 ¢ 3 = 14 ¢ 3 p23 ¢ 33 ¢ 22 ¢ 3 + 2 3 p26 ¢ 22 ¢ 3 ¡ 3 p26 ¢ 33 ¢ 3 = 14 ¢ 3 p23 ¢ 3 p33 ¢ 3 p22 ¢ 3 + 2 3 p26 ¢ 3 p22 ¢ 3 ¡ 3 p26 ¢ 3 p33 ¢ 3 p3 = 14 ¢ 2 ¢ 3 ¢ 3 p4 ¢ 3 + 2 ¢ 263 ¢ 3 p4 ¢ 3 ¡ 263¢ 3 3 p3 = 64 ¢ 3 p12 + 2 ¢ 22 ¢ 3 p12 ¡ 22 ¢ 3 3 p3 = 32 ¢ 3 p12 + 8 3 p12 ¡ 12 3 p3 = (32 + 8) 3 p12 ¡ 12 3 p3 = 19 2 3 p12 ¡ 12 3 p3 es decir: 14 ¢ 3 p25 ¢ 34 + 2 ¢ 3 p28 ¢ 3 ¡ 3 p26 ¢ 34 = 19 2 ¢ 3 p12 ¡ 12 3 p3 Ejercicios 59 Exprese los radicales involucrados en cada una de las siguientes expresiones en su forma m¶as simple, y realice las operaciones indicadas: 1.) p108 ¡ p75 2.) 12 3 p16 + 3 p54 3.) 5 3 p81 ¡ 3 p56 + 3 p192 4.) 32 3 p24 + 15 3 p375 + 17 3 p1029 5.) 3 3 p40 + 3 p135 ¡ 3 p625 6.) 12 3 p16 + 23 3 p54 ¡ 25 3 p250 1.9.10 Productos de radicales de diferente ¶³ndice Considere los ejemplos a:) y b:) siguientes: a.) De acuerdo a la notaci¶on usada, 3 p5 = 513 Pero adem¶as, por ampliaci¶on de fracciones se tiene que:J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 101 13 = 1 ¢ 2 3 ¢ 2 ; de aqu¶³ que 3 p5 = 513 = 51 ¢ 2 3 ¢ 2 = 3 ¢ 2 p51 ¢ 2 = 3 ¢ 2 p52 ; o sea que 3 p5 = 3¢2 p52 b.) Por notaci¶on de p¶aginas (96-97), 4 p7 = 714 Pero adem¶as, por ampliaci¶on de fracciones se tiene que: 14 = 1 ¢ 5 4 ¢ 5 ; de aqu¶³ que 4 p7 = 714 = 7 5 4¢5 = 4¢5 p75, o sea que 4 p7 = 4¢5 p75 Los ejemplos a:) y b:) anteriores son casos particulares de la siguiente propiedad: Teorema 8 Si a 2 R; n 2 N; k 2 N; n > 1; k > 1; tales que npa representa un n¶umero real entonces: npa = n¢kpak Demostraci¶on npa = a1=n = a k nk , pues 1n = k nk = n¢kpak Por lo tanto: npa = n¢kpak Ejemplo 92 Escriba el n¶umero representado por 7 p2, por medio de un radical de ¶³ndice 21. Soluci¶on Por el teorema anterior: 7 p2 = 7¢3 p23 = 21 p23 = 21 p8 es decir: 7 p2 = 21 p8 Ejemplo 93102 El Conjunto de los N¶umeros Reales Escriba el n¶umero representado por 6 p10, por medio de un radical de ¶³ndice 24. Soluci¶on Por el teorema anterior: 6 p10 = 6¢4 p104 = 24 p104 es decir: 6 p10 = 24 p104 Ejercicios 60 1.) Escriba el n¶umero representado por p7, por medio de un radical de ¶³ndice 10. 2.) Escriba el n¶umero representado por 11 p2, por medio de un radical de ¶³ndice 25. 3.) Escriba el n¶umero representado por 5 p3, por medio de un radical de ¶³ndice 25. Considere los dos ejemplos siguientes: Ejemplo 94 Escriba los n¶umeros representados por 4 p2 y 6 p5 por medio de un radical cuyo ¶³ndice sea el m¶³nimo m¶ultiplo com¶un de 4 y 6. Soluci¶on Como m.m.c (4,6)=12 entonces: i:) 4 p2 = 4¢3 p23 = 12 p8 ii:) 6 p5 = 6¢2 p52 = 12 p25 es decir: 4 p2 = 12 p8 y 6 p5 = 12 p25 Ejemplo 95 Escriba los n¶umeros representados por p3; 5 p4 y 6 p5 Por medio de radicales cuyo ¶³ndice sea el m¶³nimo com¶un de 2, 5 y 6. Soluci¶on Como m.m.c (2, 5, 6) = 30 entonces:J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 103 i:) p3 = 2¢15 p315 = 30 p315 ; es decir p3 = 30 p315 ii:) 5 p4 = 5¢6 p46 = 30 p46 ; es decir 5 p4 = 30 p46 iii:) 6 p5 = 6¢5 p55 = 30 p55 ; es decir 6 p5 = 30 p55 Ejercicios 61 a.) Escriba los n¶umeros representados por 14 p5; 21 p2 por medio de radicales cuyo ¶³ndice sea m.m.c. (14, 21) b.) Escriba los n¶umeros representados por 24 p7; 9 p3 y 18 p2 por medio de radicales cuyo ¶³ndice sea m.m.c. (24, 9, 18) c.) Escriba los n¶umeros representados por 7 p5; 3 p2 y p3 por medio de radicales cuyo ¶³ndice sea m.m.c. (7, 3, 2) Teorema 9 Sean m 2 N; n 2 N; n > 1 , sea m.m.c. (m; n) = k y sean a 2 R; b 2 R , tales que mpa y npb representan n¶umeros reales, entonces: mpa ¢ npb = kpap ¢ br ; donde k = m ¢ p; k = r ¢ n Demostraci¶on. Si m.m.c. (m; n) = k entonces existen p; r con p 2 N y r 2 N tales que: k = m ¢ p y k = n ¢ r , as¶³ pues mpa ¢ npb = m¢ppap ¢ m¢rpbr , como k = m ¢ p y k = r ¢ n = kpap ¢ kpbr = kpap ¢ br es decir: mpa ¢ npb = kpap ¢ br Ejemplo 96104 El Conjunto de los N¶umeros Reales Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y exprese el resultado en forma m¶as simple: a:) p5 ¢ 3 p2 b:) 4 p8 ¢ 6 p32 Soluci¶on a.) Como m.m.c. (2; 3) = 6 entonces: p5 = 3 p2 = 6 p53 ¢ 6 p22 = 6 p53 ¢ 22 = 6 p125 ¢ 4 = 6 p500 es decir: p5 ¢ 3 p2 = 6 p500 b.) Como m.m.c. (4; 6) = 12 entonces: 4 p8 ¢ 6 p32 = 12 p83 ¢ 12 p322 = 12p(8)3 ¢ (32)2 = 12p(23)3 ¢ (25)2 = 12 p29 ¢ 210 = 12 p219 = 12 p212 ¢ 27 = 2 ¢ 12 p27 = 2 ¢ 12 p128 es decir: 4 p8 ¢ 6 p32 = 2 ¢ 12 p128 Ejercicios 62 Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y exprese el resultado en su forma m¶as simple: 1:) 5 p4 ¢ 3 p12 4:) 6 p3 ¢ 3 p¡5 2.) 7 p9 ¢ 3 p36 3.) ¡3 p6 ¢ 3 p36 3.) 12 p13 ¢ 4 p2 6.) 7 p6 ¢ 5 p9