Ecuaciones Lineales. Ejercicio 002

a) Solución:• condiciona a que los valores de deben ser Enteros.• Convertimos a la forma Ecuación de la forma donde • Confirmamos que es una ecuación lineal puesto que: y además no son ambos cero.• Probamos la ecuación asumiendo diversos valores arbitrarios y enteros de , hasta encontrar tres pares ordenados que sean solución de la ecuación lineal :Para se cumple que Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación: → La ecuación lineal se cumple para el par ordenado Para se cumple que Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación: → La ecuación lineal se cumple para el par ordenado Para se cumple que Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación: → La ecuación lineal se cumple para el par ordenado Respuesta:• Convertimos la ecuación a la forma y observamos que se trata de una ecuación lineal:Donde • Tres soluciones para esta ecuación lineal que cumplen con la condición son: , , b) Solución:• condiciona a que los valores de deben ser Reales y menores que cero.• Convertimos a la forma Ecuación de la forma donde • Como puedes ver, hemos convertido correctamente la ecuación a la forma , sin embargo notamos que el coeficiente B es Racional, y por experiencias anteriores sabemos que es mejor trabajar con coeficientes enteros (sin embargo podemos ya trabajar desde aquí, el resultado sería el mismo pero un poco más laborioso).• Para convertir los coeficientes a números enteros, multiplicaremos por ambos miembros de la igualdad (con el fin de eliminar el denominador 7 del coeficiente B) y así obtenemos una ecuación equivalente a la anterior:Ecuación de la forma donde • Confirmamos que es una ecuación lineal puesto que y además no son ambas cero.• Probamos la ecuación asumiendo diversos valores arbitrarios, reales y menores que cero de , hasta encontrar tres pares ordenados que sean solución de la ecuación lineal :Para se cumple que Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación: → La ecuación lineal se cumple para el par ordenado Para se cumple que Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación: → La ecuación lineal se cumple para el par ordenado Para se cumple que Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación: → La ecuación lineal se cumple para el par ordenado Respuesta:• Convertimos la ecuación a la forma y observamos que se trata de una ecuación lineal:Donde • Tres soluciones para esta ecuación lineal que cumplen con la condición son:, , c) Solución:• condiciona a que los valores de deben pertenecer al conjunto de los números Enteros.• Convertimos a la forma : Ecuación de la forma donde • Confirmamos que es una ecuación lineal puesto que: y además no son ambos cero.• Probamos la ecuación asumiendo diversos valores arbitrarios y enteros de , hasta encontrar tres pares ordenados que sean solución de la ecuación:Para se cumple que Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación: → La ecuación lineal se cumple para el par ordenado Para no se cumple que Para no se cumple que Para no se cumple que Para se cumple que Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación: → La ecuación lineal se cumple para el par ordenado ¡ … Y aquí viene lo interesante !• A partir de las pruebas que hemos hecho con diferentes valores enteros de , notamos que no todos los valores enteros de tienen apareados valores enteros válidos de. Observamos lo siguiente:El primer par ordenado válido es El segundo par ordenado válido es pasa del valor entero 1 al valor entero 5 pasa del valor entero -1 al valor entero -4• Es decir, para que se cumplan las condiciones, podemos asumir una regularidad muy importante: varía su valor en +4 es decir (Sumando 4) varía su valor en -3es decir (Restando 3)• La razón de la deducción que acabamos de hacer es ésta: Este valor debe ser múltiplo de 4La división sea exacta y el resultado sea un número enteropara que• Por tanto, es de esperarse que el siguiente valor entero de que haga que también sea entero es:→• Ahora vamos a predecir el valor de :→• Para asegurarnos que esta regularidad se cumple, vamos a sustituir el nuevo valor encontrado en la ecuación lineal y despejamos . El resultado debe coincidir. → → →¡ Nuestra regularidad funciona ¡… (Por lo menos para un primer valor)• Por tanto se cumple que • Comprobemos sustituyendo los valores en la ecuación:→0• La ecuación lineal se cumple para el par ordenado Respuesta:• Convertimos la ecuación a la forma y observamos que se trata de una ecuación lineal:Donde • Tres soluciones para esta ecuación lineal que cumplen con la condición son:Con lo que has aprendido en este ejercicio, no dudo que seas capaz de encontrar más pares ordenados que cumplan las condiciones. Puedes recorrer ambos sentidos de la recta numérica, es decir trabajar con valores enteros negativos y positivos de x. Así que es tu turno de encontrar más pares ordenados.d) Solución:• condiciona a que los valores de deben ser Naturales. • Existe cierta polémica sobre si el cero está incluido o no en el conjunto de los naturales. Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural, mientras que otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, tienen la postura opuesta. • Para nosotros, el cero sí pertenece al conjunto de los números Naturales.• Convertimos a la forma Ecuación de la forma donde • Confirmamos que es una ecuación lineal puesto que: y además no son ambos cero.• Probamos la ecuación asumiendo diversos valores arbitrarios y naturales de , hasta encontrar tres pares ordenados que sean solución de la ecuación lineal :Para no se cumple que Para no se cumple que Para se cumple que Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación: → La ecuación lineal se cumple para el par ordenado Para no se cumple que Para no se cumple que • Analizando los resultados obtenidos, observamos:Que sólo es posible obtener un par ordenado que cumple las condiciones de la ecuación lineal: Conforme incrementamos el valor de , obtendremos valores de negativos y tendiendo a , por tanto no será posible encontrar ningún par ordenado adicional que satisfaga la ecuación lineal y sus condiciones.Respuesta:• Convertimos la ecuación la forma y observamos que se trata de una ecuación lineal:Donde • La única solución para esta ecuación lineal que cumple con la condición es: .d) Solución:• condiciona a que los valores de deben ser números Racionales. • Recuerda que los números Racionales son aquéllos que pueden ser expresados como una fracción o razón (de ahí el término racional). Tanto el numerador como el denominador son números enteros. Cuando se efectúa la división, el resultado es un número con una parte entera y una parte decimal que puede tener final o puede ser una fracción que se repite periódicamente hasta el infinito.Cuando el denominador es el número 1, el número racional se expresa como un número entero. Es decir: • Convertimos a la forma Ecuación de la forma donde • Confirmamos que es una ecuación lineal puesto que: y además no son ambos cero.• Probamos la ecuación asumiendo diversos valores arbitrarios y racionales de , hasta encontrar tres pares ordenados que sean solución de la ecuación lineal :Para se cumple que Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación: → La ecuación lineal se cumple para el par ordenado Para se cumple que Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación: → La ecuación lineal se cumple para el par ordenado Para se cumple que Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación: → La ecuación lineal se cumple para el par ordenado Respuesta:• Convertimos la ecuación a la forma y observamos que se trata de una ecuación lineal:Donde • Tres soluciones para esta ecuación lineal que cumplen con la condición son: