| TEMA 1 : TRAZADOS FUNDAMENTALES EN EL PLANO. PROPORCIONALIDAD. SEMEJANZA. EQUIVALENCIA : TEMA 1 : TRAZADOS FUNDAMENTALES EN EL PLANO. PROPORCIONALIDAD. SEMEJANZA. EQUIVALENCIA Proporcionalidad : Cuarta, tercera y media proporcional. T del cateto y T. de la altura
Sección áurea y rectángulo áureo
Ángulos en la circunferencia. Arco capaz
Rectificación de una circunferencia, de una semicircunferencia, de un arco de 90 º y de un arco menor de 90º.
Potencia, eje radical y centro radical. Haz de circunferencias coaxiales
Semejanza y escalas
Equivalencia |
| Slide2 : Conceptos sobre proporcionalidad RAZON DE DOS SEGMENTOS : Es la relación entre dos números o segmentos. Nos permite comparar dos segmentos para saber cuantas veces contiene uno al otro. Se lee : “a es a b”
A la razón se le denomina “k” PROPORCIÓN : Es la igualdad de dos razones Se lee : “a es a b” como “c es a d” MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES : Son las que aumentan o disminuyen guardando la misma relación. a y b y c y d lo son. “Su cociente es constante” Ejemplo MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES : Son las que cuando una disminuya, aumente la otra en la misma proporción. a y d y c y b lo son. “Su producto es constante” |
| Slide3 : TEOREMA DE TALES M P Q R P´ Q´ R´ MP = MP´ PQ = P´Q´ QR Q´R´ MP = MP´ MQ = MQ´ MR MR´ Tales de Mileto . Matemático y filósofo griego ( 628 a.C. – 548 a.C.)
Considerado el fundador de las matemáticas griegas, y uno de los siete sabios de Grecia, la tradición le atribuye el descubrimiento de algunos teoremas geométricos, así como la previsión del eclipse solar del año 585 a.C. Los segmentos determinados por un haz de rectas paralelas (c, d, e,..) interceptadas por dos rectas oblicuas (a,b) , son directamente proporcionales. |
| Slide4 : División de un segmento en partes iguales 1. Por uno de los extremos A se traza una recta cualquiera s 2. Sobre la recta s se llevan tantos segmentos iguales, de longitud arbitraria, como número de partes se quiera dividir el segmento 3. Se traza la recta t uniendo el último punto con el extremo B del segmento dado 4. Se trazan paralelas a t por los puntos 1, 2, 3, ... de la recta s. |
| Slide5 : División de un segmento en partes proporcionales 1. Por uno de los extremos A se traza una recta cualquiera s 2. Sobre la recta s se van llevando cada uno de los segmentos CD, EF, GH e IJ 3. Se une el último punto J con el otro extremo B mediante la recta t. 4. Se trazan paralelas a t por los puntos E, G e I o p q r = = = |
| Slide6 : 1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se cortan en A 2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y sobre la otra el segmento AC y a continuación el segmento unidad CD 3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta cortar a r en el punto E 4. El segmento BE es el producto de los segmentos dados 1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se cortan en A 2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y sobre la otra el segmento unidad AC y a continuación el segmento CD 3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta cortar a r en el punto E 4. El segmento BE es el producto de los segmentos dados Producto entre dos segmentos División entre segmentos Producto y división entre dos segmentos |
| Slide7 : Problemas de proporcionalidad Cuarta Proporcional : Nos darán tres segmentos, a, b y c, y nos piden obtener otro segmento x, que sea Cuarto proporcional con los otros tres Tercera Proporcional : Nos darán dos segmentos, a y b y nos piden obtener otro segmento x, que sea Tercero proporcional con los otros dos Media Proporcional : Nos darán dos segmentos, a y b , y nos piden obtener otro segmento x, que sea Medio proporcional con los otros dos |
| Slide8 : Cuarta proporcional 1. Se trazan dos rectas r y s cualesquiera que se corten 2. A partir del punto A se lleva AB sobre la recta r y CD sobre la recta s 3. Sobre la recta r y a continuación del segmento AB se traslada EF 4. Por el punto F se traza la recta paralela a BD 5. El segmento DG es al cuarta proporcional X es cuarto proporcional con a , b y c x |
| Slide9 : Tercera proporcional 1. Se trazan dos rectas r y s que se corten 2. A partir del punto A se lleva AB sobre r y CD sobre s 3. Con centro en A y radio AD se describe un arco 4. Por el punto E se traza la paralela a BD 5. El segmento AF es la tercera proporcional X es tercero proporcional con a y b x |
| Slide10 : Teorema del cateto A B C En el triángulo rectángulo de la figura, un cateto c es MEDIO PROPORCIONAL entre la hipotenusa a y la proyección m del cateto sobre ella |
| Slide11 : Teorema de la altura C h En el triángulo rectángulo de la figura, la altura sobre la hipotenusa h es MEDIO PROPORCIONAL entre las dos partes m y n en que la altura divide a la hipotenusa A B |
| Slide12 : Media proporcional (I) 1. Sobre una recta se trasladan los segmentos dados 2. Se traza el punto medio E del segmento AD y la semicircunferencia de radio EA 3. La perpendicular trazada por B a la recta r corta a la circunferencia en el punto F 4. El segmento BF es la media proporcional a los segmentos dados. Vamos a resolverlo utilizando el teorema de la altura x |
| Slide13 : Media proporcional (II) 1. Sobre una recta se trasladan los segmentos dados, pero desde el mismo origen C. 2. Se traza el punto medio E del segmento CX y la semicircunferencia de radio EC 3. La perpendicular trazada por B a la recta r corta a la circunferencia en el punto A 4. El segmento CA es la media proporcional a los segmentos dados. Vamos a resolverlo utilizando el teorema del cateto x A X C B |
| Slide14 : Dado un segmento, hallar su raíz cuadrada 1. Sobre una recta se toma el segmento AB y a continuación el segmento unidad BC 2. Hallamos D, punto medio del segmento AC y trazamos semicircunferencia de diámetro AC 3. La perpendicular al diámetro por el punto B corta a la semicircunferencia en el punto E 4. El segmento BE es la raíz cuadrada del segmento AB x |
| Slide15 : Cuadrado de un segmento a |
| Slide16 : Sección áurea de un segmento: Definición: Se denomina Sección Áurea de un segmento a la división que le produce un punto B de forma que: La proporción que existe entre la parte más pequeña a y la más grande x es igual a la existente entre la parte más grande x y el todo b Dados un segmento b = AC |
| Slide17 : Planteemos algunos cálculos matemáticos: |
| Slide18 : ¿Qué relación existe entre a y x ? ¿Qué relación existe entre x y b ? Existe la misma relación entre el segmento áureo y el segmento total, que entre la parte menor y el segmento áureo.
O lo que es lo mismo x es el segmento áureo de b, pero también a es el segmento áureo de x |
| Slide19 : ¿Qué ocurre si a un segmento b le añadimos su segmento áureo x? El segmento total m, medirá b + x = b + 0,618 b = 1,618 b ¿Qué relación existe entre el segmento total m y el segmento b? ¡Curioso! De nuevo aparece ese número 0,618 O sea que si a un segmento le sumamos su áureo, el propio segmento es el áureo del total |
| Slide20 : A la proporción o = 0,618 Se le conoce como la Proporción áurea Los griegos, hablaban de “la divina proporción” y hay numerosos tratados sobre el tema. http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo
http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Curiosid/Rc-25/RC-25.htm
http://centros5.pntic.mec.es/~barriope/matematicas/web_taller_0203/mujeres/monica/oro.htm
Y se representa con la letra griega f |
| Slide21 : Dado un segmento, hallar su división áurea Hallar el segmento cuya división áurea es un segmento dado 1. Por B se traza la perpendicular a r 2. Se halla el punto medio C de AB y con centro en B y radio BC se traza un arco 3. Se unen A y D, y con centro en D y radio DB se traza un arco 4. Con centro en A y radio AE se traza otro arco. AF es la división áurea Sección áurea de un segmento |
| Slide22 : Rectángulo áureo Definición: Se denomina Rectángulo Áureo a aquel cuyos lados están relacionados según la proporción áurea 1. Por uno de los extremos se traza la recta r perpendicular al segmento AB y sobre ella se lleva la distancia BD=1/2AB Dados un segmento b = AC 2. Con centro en D y radio se traza un arco hasta cortar a la recta AD en el punto E, 3. El segmento AE es el otro lado del rectángulo |
| Slide23 : Ángulos en la circunferencia (I) Ángulo central El vértice es el centro de la circunferencia Ángulo inscrito El vértice es un punto de la circunferencia y los lados son cuerdas |
| Slide24 : Ángulos en la circunferencia (II) Ángulo semiinscrito El vértice es un punto de la circunferencia, un lado es una cuerda y el otro tangente Ángulo interior El vértice es un punto interior de la circunferencia, y los lados dos cuerdas. |
| Slide25 : Ángulos en la circunferencia (III) Ángulo exterior El vértice es un punto exterior de la circunferencia y los lados secantes Ángulo circunscrito El vértice es un punto exterior de la circunferencia y los lados tangentes |
| Slide26 : Arco capaz (I) Definición: lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve un segmento bajo un ángulo dado 1. Se traza la mediatriz del segmento AB 2. Por A se traza un ángulo a 3. Se traza la perpendicular en A, y se obtiene el centro del arco buscado O1 |
| Slide27 : Arco capaz (II) Hallar los puntos desde los que se ven dos segmentos bajo dos ángulos dados 1. Se dibuja el arco capaz de a respecto de AB 2. Se dibuja el arco capaz de b respecto de BC 3. Los puntos M y N son los puntos desde los que se ve el segmento AB con un ángulo a y BC con un ángulo b a b |
| Slide28 : RECTIFICACIONES De una curva cualquiera |
| Slide29 : Rectificación de una circunferencia 1. Se divide el diámetro AB en 7 partes iguales 2. Sobre una recta r se transporta 3 veces el diámetro, más un séptimo |
| Slide30 : Rectificación de una semicircunferencia 1. Se trazan dos diámetros perpendiculares AB y DE. 2. Se obtienen los lados del cuadrado y del triángulo inscrito. L4 y L3, respectivamente. 3. El segmento HJ es la solución buscada |
| Slide31 : Rectificación de arcos de circunferencia Rectificación de un arco menor de 90º 1. Se divide el radio OC en 4 partes iguales 2. Tres partes se trasladan sobre la prolongación del diámetro 3. Se une el punto D con el B hasta cortar a r en E Rectificación de un arco de 90º 1. Con centro en los extremos del diámetro AB y radio en O se trazan sendos arcos hasta cortar en C y D a la circunferencia. 2. Hallamos E, intersección de dos arcos con centros en A y B y de radio AD=BC 3. Con centro en C y radio CE dibujamos un arco hasta cortar en F a la circunferencia 4. El segmento AF es la rectificación de un arco de 90º |
| Slide32 : Potencia de un punto respecto de una circunferencia Potencia de un punto Potencia del punto P respecto de la circunferencia de centro O es el producto de las distancias de P a los dos puntos de intersección de una recta secante POTENCIA DE P RESPECTO DE LA CIRCUNFERENCIA O = PA x PB PA x PB = PC x PD = Cte |
| Slide33 : Eje radical Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto de ambas p = MA x MB = MC x MD EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS |
| Slide34 : Eje radical de dos circunferencias (II) Circunferencias secantes Se determina uniendo los dos puntos A y B de intersección de ambas circunferencias |
| Slide35 : Eje radical de dos circunferencias (III) Circunferencias tangentes Se determina trazando la recta tangente común a ambas circunferencias |
| Slide36 : Eje radical de dos circunferencias (IV) Circunferencias exteriores 1. Se dibuja una circunferencia auxiliar secante con las anteriores 2. Se halla el eje radical de las circunferencias de centro O y O1 3. Se halla el eje radical de las circunferencias de centro O y O2 4. Por el punto E se traza la perpendicular al segmento O1O2 |
| Slide37 : Centro radical de tres circunferencias Dadas tres circunferencias 1. Se halla el eje radical e de las circunferencias de centro O1 y O2 2. Se halla el eje radical e’ de las circunferencias de centro O2 y O3 3. El centro radical O se localiza en la intersección de los ejes radicales hallados |
| Slide38 : Haz de circunferencias coaxiales(I) e Cualquier punto del eje radical tiene la misma potencia respecto de todas las circunferencias del haz,
Es decir PT es igual para todas.
Lo mismo sucede al trazar las tangentes comunes a dos circunferencias cualesquiera de ese haz. |
| Slide39 : Haz de circunferencias coaxiales (II) Cualquier punto del eje radical tiene la misma potencia respecto de todas las circunferencias del haz,
Es decir PT es igual para todas.
Lo mismo sucede al trazar las tangentes comunes a dos circunferencias cualesquiera de ese haz. |
| Slide40 : T6 Haz de circunferencias coaxiales(III) Lo mismo sucede al trazar las tangentes comunes a dos circunferencias cualesquiera de ese haz. Cualquier punto del eje radical tiene la misma potencia respecto de todas las circunferencias del haz,
Es decir PT es igual para todas.
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| Slide41 : Semejanza directa por radiación Sea la razón de semejanza 2/3 1. Se elige un punto O y se une con todos los vértices 2. La recta OA se divide en tantas partes como indique el denominador de la razón de semejanza (3) y a partir de O se toman tantas partes como indique el numerador (2) 3. A partir del punto A’ se trazan paralelas Dado el polígono ABCDE Recordemos: Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales. |
| Slide42 : Semejanza inversa por radiación Sea la razón de semejanza -2/3 1. Se elige un punto O y se une con todos los vértices 2. La recta OA se divide en tantas partes como indique el denominador de la razón de semejanza (3) y a partir de O se toman, en sentido contrario, tantas partes como indique el numerador (2) 3. A partir del punto A’ se trazan paralelas Dado el polígono ABCDE |
| Slide43 : Semejanza por coordenadas 1. Se dibujan dos ejes coordenados X e Y 2. Se proyectan los vértices sobre el eje X 3. Se proyectan los vértices sobre el eje Y 4. Sobre dos nuevos ejes se llevan las distancias O’C’x = 2/3(OCx), O’C’y = 2/3(OCY), ... 6. Se unen los vértices hallados 5. Se trazan perpendiculares a X e Y Dado el polígono ABCDE |
| Slide45 : ESCALAS GRÁFICAS |
| Slide46 : EQUIVALENCIA 1. Por el punto C se traza la recta paralela a AB 2. Cualquier punto de esa recta determina junto con A y B una figura equivalente por tener en común un lado y su altura Dado un triángulo, dibujar otro equivalente 1. Por el punto C se traza la recta paralela a la diagonal BD hasta cortar a la recta AB en el punto F El polígono AFDE es equivalente al anterior pero de un lado menos Dado un polígono cualquiera, dibujar otro equivalente con un lado menos Dos figuras son equivalentes cuando tienen la misma superficie |
| Slide47 : Equivalencias 1. Se traza la semicircunferencia de centro E (punto medio de AB) que pasa por los puntos C y D hasta que corte en F y G con la recta AB 2. Se traza un arco de centro B y radio BG hasta que corte al lado BC en el punto H. Con centro en H y radio BC se traza otro arco hasta que corte a la prolongación de BC en el punto I Dado un cuadrado ABCD, dibujar un triángulo equivalente 3. Trazamos la recta r, paralela a AB por el punto I.
Cualquier punto J de la recta r unido con los puntos B y F determinan el triángulo equivalente L es medio proporcional entre b y h/2 |
| Slide48 : Dado un pentágono, dibujar un triángulo equivalente 1. Se traza por el vértice E la paralela a la diagonal AD hasta cortar a la recta AB en el punto F 2. Por el vértice C se traza paralela a la diagonal BD hasta cortar a la recta AB en el punto G Sea el pentágono ABCDE El triángulo FGD es la figura equivalente buscada |
| Slide49 : Dado un hexágono regular, dibujar un triángulo equivalente 1. Desde el vértice F se traza la perpendicular a la recta AB hasta cortar en el punto G, con lo que obtenemos el triángulo GEB equivalente al trapecio AFEB 2. El triángulo que buscamos será el doble del GEB por lo que llevamos BH = BG Sea el hexágono ABCDEF Los vértices G y H unidos con cualquiera de los puntos del lado ED determinan un triángulo equivalente Podemos considerar el hexágono dividido en dos trapecios: AFEB y EBCD |
| Slide50 : Convertir un triángulo en un rectángulo y en un cuadrado equivalente. 1. Por los vértices A y B trazamos sendas rectas perpendiculares al lado AB 2. La mediatriz de la altura CD corta a las rectas anteriores en los puntos E y F 3. Con centro en B y radio BE trazamos un arco hasta cortar a AB en G y hallamos la semicircunferencia de diámetro AG 4. Se prolonga el lado BE hasta cortar al arco en J. BJ es el lado del cuadrado Rectángulo equivalente Cuadrado equivalente |
| Slide51 : Dado un pentágono regular, dibujar un cuadrado equivalente En primer lugar transformaremos el pentágono dado en un triángulo. El triángulo obtenido lo transformamos en un rectángulo. Sea el pentágono ABCDE Por último, transformaremos el rectángulo en un cuadrado. |
| Slide52 : Equivalencias entre cuadrados 2. Esa diagonal será el lado del cuadrado buscado Dibujar un cuadrado que tenga por área el doble de otro 1. El lado del cuadrado buscado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos sean AB y GD Dibujar un cuadrado que tenga por área la suma de otros dos |
| Slide53 : Equivalencias entre cuadrados Dibujar un cuadrado cuya área sea la suma de otros tres 1. Trazamos un triángulo rectángulo que tiene por catetos los lados de dos de los cuadrados dados AB y GD, con lo que obtenemos como hipotenusa de ese triángulo, el valor de AG 2. Trazamos otro triángulo rectángulo de catetos AG y GH (lado del otro de los cuadrados). La nueva hipotenusa AK es el lado del cuadrado equivalente a la suma de los anteriores y se construye dicho cuadrado |
| Slide54 : K M N Equivalencias entre círculo y cuadrado: método aproximado (I) (Cuadratura del círculo) Dibujar un cuadrado equivalente a un círculo dado |
| Slide55 : Equivalencias entre círculo y cuadrado: método aproximado (II)
(Cuadratura del círculo) Dibujar un cuadrado equivalente a un círculo dado 1. Se divide en siete partes iguales el diámetro AB de la circunferencia 2. Dibujamos la recta r tangente a la circunferencia en el punto B.
Trazamos un arco de centro A y radio 3/7 de AB hasta cortar a la recta AB en el punto C 2. Con centro en el punto 4 del diámetro y radio en C trazamos arco hasta cortar a r en el punto D.
El segmento BD es el lado del cuadrado buscado d l |